平行四边形提高练习

1、一选择题（共10小题）1如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，BEF=2BAC，FC=2，则AB的长为（）A8B8C4D62如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分ACD交BD于点E，则DE长（）ABC1D13如图，在RtABC中，B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE的最小值是（）A4B6C8D104如图所示，在菱形ABCD中，A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接E

2、F，在移动的过程中，EF的最小值为（）A1BCD5如图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若ABF的周长为6，则ABCD的周长为（）A6B12C18D246如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（）A1cmB1.5cmC2cmD3cm7如图为两正方形ABCD、BPQR重叠的情形，其中R点AD上，CD与QR相交于S点若两正方形ABCD、BPQR的面积分别为64、100，则四边形RBCS的面积为（）A8BCD8如图所示，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的

3、长是（）A12B14C16D189如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC=4，AEO=120°，则FC的长度为（）A1B2CD10如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE=BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BGAE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（）AAH=DFBS四边形EFHG=SDCF+SAGHCAEF=45°DABHDCF二填空题（共8小题）11如图，AC是正方形ABCD的对角线，DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE= 12如图，在ABCD中，E、F分别是AB、DC

4、边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若SAPD=16cm2，SBQC=25cm2，则图中阴影部分的面积为 cm213如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，PEF=35°，则PFE的度数是 14如图，在ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG=2BG，SBPG=1，则SAEPH= 15如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，且CE=2BE，DEF的面积等于2，则此矩形的面积等于 16如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：AFDE；AD=BP；PE+PF=PC；PE+PF=PC其

5、中正确的是 17如图，正方形ABCD的边长为2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm218如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则BDE的面积为 三解答题（共8小题）19如图，已知RtMBN的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，M=30°，O为AB中点，NO平分BNM，EO平分AEN（1）求证：MON为等腰三角形；（2）求证：EN=AE+BN20如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BGAE于G，延长BG至点F使CFB=45°（1）求证：AG

6、=FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长21如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？22如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BGCE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G（1）证明：BE=AG；（2）E位于什么位置时，AEF=CEB？说明理由23在ABC中，ACB=90°，AC=以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB24如图，正方形ABCD中，M为AD边上的

7、一点，连接BM，过点C作CNBM，交AD的延长线于点N，在CN上截取CE=BC，连接BE交CD于F，（1）若AMB=60°，CE=，求DF的长度；（2）求证：BM=DN+CF25如图，已知ABCD，AE平分BAD，交DC于E，DFBC于F，交AE于G，且DF=AD（1）试说明DE=BC；（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由26如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？完成以下题目：（1）当ABCD为任

8、意四边形时，EFGH为 ；当ABCD为矩形时，EFGH为 ；当ABCD为菱形时，EFGH为 ；当ABCD为正方形时，EFGH为 ；当EFGH是矩形时，ABCD为 ；当EFGH是菱形时，ABCD为 ；当EFGH是正方形时，ABCD为 （2）请选择（1）中任意一个你所写的结论进行证明（3）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？2018年05月04日神州N号的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF

9、，BEF=2BAC，FC=2，则AB的长为（）A8B8C4D6【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BOEF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得BAC=ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出ABO=30°，即BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB【解答】解：如图，连接OB，BE=BF，OE=OF，BOEF，在RtBEO中，BEF+ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，BAC=ABO，又BEF=2BAC，即2B

10、AC+BAC=90°，解得BAC=30°，FCA=30°，FBC=30°，FC=2，BC=，AC=2BC=4，AB=，故选：D【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出BAC=30°是解题的关键2如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分ACD交BD于点E，则DE长（）ABC1D1【分析】过E作EFDC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长【解答】解：过E作EFDC于

11、F，四边形ABCD是正方形，ACBD，CE平分ACD交BD于点E，EO=EF，正方形ABCD的边长为1，AC=，CO=AC=，CF=CO=，EF=DF=DCCF=1，DE=1，故选：A【点评】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用3如图，在RtABC中，B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE的最小值是（）A4B6C8D10【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当ODBC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理

12、即可求解【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当ODBC时，OD最小，即DE最小ODBC，BCAB，ODAB，又OC=OA，OD是ABC的中位线，OD=AB=3，DE=2OD=6故选：B【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键4如图所示，在菱形ABCD中，A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（）A1BCD【分析】连接DB，作DHAB于H，如图，利用菱形的性质得AD=AB=BC=CD，则可判断A

13、BD和BCD都是等边三角形，再证明ADEBDF得到2=1，DE=DF，接着判定DEF为等边三角形，所以EF=DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可【解答】解：连接DB，作DHAB于H，如图，四边形ABCD为菱形，AD=AB=BC=CD，而A=60°，ABD和BCD都是等边三角形，ADB=DBC=60°，AD=BD，在RtABH中，AH=1，AD=2，DH=，在ADE和BDF中，ADEBDF，2=1，DE=DF1+BDE=2+BDE=ADB=60°，DEF为等边三角形，EF=DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，EF的最小值为故选：D【点评】本

14、题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线也考查了等边三角形的判定与性质5如图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若ABF的周长为6，则ABCD的周长为（）A6B12C18D24【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AF=FC，那么由ABF的周长为6可得AB+BC=6，再根据平行四边形的性质可得AD=BC，DC=AB，进而可得答案【解答】解：对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，AF=CF，ABF的周长为

15、6，AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=6四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，DC=AB，ABCD的周长为2（AB+BC）=12故选：B【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，平行四边形对边相等6如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（）A1cmB1.5cmC2cmD3cm【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB，由勾股定理求出OB即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，AE垂直平分

16、OB，AB=AO，OA=AB=OB，AE=cm，OB=2=OD；故选：C【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键7如图为两正方形ABCD、BPQR重叠的情形，其中R点AD上，CD与QR相交于S点若两正方形ABCD、BPQR的面积分别为64、100，则四边形RBCS的面积为（）A8BCD【分析】根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR，求出ABRDRS，求出DS，根据面积公式求出即可【解答】解：正方形ABCD的面积为64，正方形BPQR面积为100，正方形ABCD的边长为8，正方形BPQR的边长

17、为10，在RtABR中，AB=8，BR=10，由勾股定理得：AR=6，四边形ABCD是正方形，A=D=BRQ=90°，ABR+ARB=90°，ARB+DRS=90°，ABR=DRS，A=D，ABRDRS，DS=，阴影部分的面积S=S正方形ABCDSABRSRDS=8×82××=，故选：D【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出ABR和RDS的面积是解此题的关键8如图所示，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（）A12B14C16D18【分析】延长BN交AC于

18、D，证明ANBAND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可【解答】解：延长BN交AC于D，在ANB和AND中，ANBAND，AD=AB=8，BN=ND，M是ABC的边BC的中点，DC=2MN=6，AC=AD+CD=14，故选：B【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半9如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC=4，AEO=120°，则FC的长度为（）A1B2CD【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据RtBOF求得OF的长，即可得到CF的长【解答】解：EFBD

19、，AEO=120°，EDO=30°，DEO=60°，四边形ABCD是矩形，OBF=OCF=30°，BFO=60°，FOC=60°30°=30°，OF=CF，又RtBOF中，BO=BD=AC=2，OF=tan30°×BO=2，CF=2，故选：B【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分10如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE=BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BGAE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（）AA

20、H=DFBS四边形EFHG=SDCF+SAGHCAEF=45°DABHDCF【分析】先判断出DAE=ABH，再判断ADECDE得出DAE=DCE=22.5°，ABH=DCF，再判断出RtABHRtDCF从而得到A、D正确，根据三角形的外角求出AEF=45°，得出C正确；连接HE，判断出SEFHSEFD得出B错误【解答】解：BD是正方形ABCD的对角线，ABE=ADE=CDE=45°，AB=BC，BE=BC，AB=BE，BGAE，BH是线段AE的垂直平分线，ABH=DBH=22.5°，在RtABH中，AHB=90°ABH=67.5

21、76;，AGH=90°，DAE=ABH=22.5°，在ADE和CDE中，ADECDE，DAE=DCE=22.5°，ABH=DCF，在RtABH和RtDCF中，RtABHRtDCF，AH=DF，CFD=AHB=67.5°，CFD=EAF+AEF，67.5°=22.5°+AEF，AEF=45°，故ACD正确；如图，连接HE，BH是AE垂直平分线，AG=EG，SAGH=SHEG，AH=HE，AHG=EHG=67.5°，DHE=45°，ADE=45°，DEH=90°，DHE=HDE=45

22、76;，EH=ED，DEH是等腰直角三角形，EF不垂直DH，FHFD，SEFHSEFD，S四边形EFHG=SHEG+SEFH=SAHG+SEFHSDEF+SAGH，故B错误，故选：B【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出ADECDE，难点是作出辅助线二填空题（共8小题）11如图，AC是正方形ABCD的对角线，DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=3【分析】根据正方形的性质得出AC的长，再利用平行线的性质和角平分线的定义得出E=ECA，进而得出AE=AC即可【解答】解：AC是正方形ABC

23、D的对角线，AB=3，AC=3，正方形ABCD，DCA的平分线交BA的延长线于点E，DCE=ECA，DCEB，CEA=DCE，E=ECA，AE=AC=3，故答案为：3【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出AC的长12如图，在ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若SAPD=16cm2，SBQC=25cm2，则图中阴影部分的面积为41cm2【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出SEFC=SBCQ，SEFD=SADF，所以SEFG=SBCQ，SEFP=SADP，因此可以推出阴影部分的面积就是SAPD+SBQC【解答

24、】解：连接E、F两点，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，EFC的FC边上的高与BCF的FC边上的高相等，SEFC=SBCF，SEFQ=SBCQ，同理：SEFD=SADF，SEFP=SADP，SAPD=16cm2，SBQC=25cm2，S四边形EPFQ=41cm2，故答案为：41【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形13如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，PEF=35°，则PFE的度数是35°【分析】根据中位线定理和已知，易证

25、明EPF是等腰三角形，进而可求出PEF的度数【解答】解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，FP，PE分别是CDB与DAB的中位线，PF=BC，PE=AD，AD=BC，PF=PE，故EPF是等腰三角形PEF=35°，PEF=PFE=35°，故答案为：35°【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识14如图，在ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG=2BG，SBPG=1，则SAEPH=4【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形

26、AEPH=S四边形PFCG，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案【解答】解：EFBC，GHAB，四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，SPEB=SBGP，同理可得SPHD=SDFP，SABD=SCDB，SABDSPEBSPHD=SCDBSBGPSDFP，即S四边形AEPH=S四边形PFCGCG=2BG，SBPG=1，S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；故答案为：4【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即两组对边分别平行四边形为平行四边形，两组对边分别相等四边

27、形为平行四边形，一组对边平行且相等四边形为平行四边形，两组对角分别相等四边形为平行四边形，对角线互相平分四边形为平行四边形15如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，且CE=2BE，DEF的面积等于2，则此矩形的面积等于16【分析】首先由矩形的性质，得到ADBC，AD=BC，即可得到AFDEFB，由相似三角形对应边成比例，可得AD：BE=DF：BF，求得DF：BF的值，则可求得DBC的面积，问题的解【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，AFDEFB，AD：BE=DF：BF，CE=2BE，DF：BF=3：1，SDEF=2，SBEF=，SBED=2+=SDEC=SDBC=SDE

28、B+SDEC=8，S矩形fBCD=2SDBC=16故答案为：16【点评】本题考查了矩形的性质，题目中多次用到了“高相等的三角形面积的比等于其底边的比”16如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：AFDE；AD=BP；PE+PF=PC；PE+PF=PC其中正确的是【分析】根据正方形性质得出AD=DC=BC；ADC=DCB；EC=DF=DC，证ADFDCE，推出AFD=DEC，求出DPF=90°即可判断；过B作BGDE交AD于G，交A于M，求出BG是AP的垂直平分线，推出ABP是等腰三角形，即可判断；延长DE至N，使得EN=PF，证CENCFP，推出CN=CP，ECN=PC

29、F，求出NCP是等腰直角三角形，即可判断【解答】解：如图1，正方形ABCD，E，F均为中点，AD=DC=BC，ADC=DCB，EC=DF=DC，在ADF和DCE中，ADFDCE（SAS），AFD=DECDEC+CDE=90°AFD+CDE=90°=DPFAFDE，正确；如图2，过B作BGDE交AD于G，交AP于M，AFDE，BGDE，E是BC中点，BGAP，G是AD的中点，BG是AP的垂直平分线，ABP是等腰三角形BP=AB=AD，正确；如图3，延长DE至N，使得EN=PF，连接CN，AFD=DEC CEN=CFP又E，F分别是BC，DC的中点，CE=CF，在CEN和CFP

30、中，CENCFP（SAS），CN=CP，ECN=PCF，PCF+BCP=90°ECN+BCP=NCP=90°NCP是等腰直角三角形PN=PE+NE=PE+PF=PC，正确，错误；正确故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，垂直定义等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，综合性比较强，有一定的难度17如图，正方形ABCD的边长为2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是cm2【分析】连接BD，可看出阴影部分的面积等于 正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出

31、三角形的面积，阴影部分的面积可证【解答】解：连接BD，EF阴影部分的面积=ABD的面积+BDG的面积 （G为BF与DE的交点），ABD的面积=正方形ABCD的面积=2EF是BCD的中位线，EFBD，EF=BD，GEFGBD，DG=2GE，BDE的面积=BCD的面积BDG的面积=BDE的面积=BCD的面积=阴影部分的面积=2+=故答案为：【点评】本题考查正方形的性质，正方形的四个边长相等，关键是连接BD，把阴影部分分成两部分计算18如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则BDE的面积为24【分析】先判断出四边形ACED

32、是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出BDE是直角三角形，计算出面积即可【解答】解：ADBE，ACDE，四边形ACED是平行四边形，AC=DE=6，在RTBCO中，BO=4，即可得BD=8，又BE=BC+CE=BC+AD=10，BDE是直角三角形，SBDE=DEBD=24故答案为：24【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断BDE是直角三角形，是解答本题的关键三解答题（共8小题）19如图，已知RtMBN的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，M=30°，O为AB中点，NO平分B

33、NM，EO平分AEN（1）求证：MON为等腰三角形；（2）求证：EN=AE+BN【分析】（1）根据三角形内角和定理、角平分线的性质和等角对等边证得结论；（2）如图，延长EO交CB延长线于点P构造全等三角形：AOEBOP（ASA），结合全等三角形的判定与性质进行解答【解答】（1）证明：B=90°，M=30°，BNM=60°，NO平分BNM，ONM=BNM=30°，ONM=M，OM=ON，MON为等腰三角形；（2）证明：如图，延长EO交CB延长线于点P依题意得：BAE=ABP=90°O为AB中点，OA=OB，在AOE和BOP中，AOEBOP（ASA

34、），AE=BP，OE=OP又NO平分BNM，ONEP，EN=PN，EN=PN=BP+BN=AE+BN，EN=AE+BN【点评】考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键，题型较好，综合性强20如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BGAE于G，延长BG至点F使CFB=45°（1）求证：AG=FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长【分析】（1）过C点作CHBF于H点，根据已知条件可证明AGBBHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以

35、可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG；（2）方法1、过D作DQMF交MF延长线于Q，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求出FD的长方法2、先判断出GM=2BG，再判断出BCGDCF，即可得出结论【解答】（1）证明：过C点作CHBF于H点，CFB=45°CH=HF，ABG+BAG=90°，FBE+ABG=90°BAG=FBE，AGBF，CHBF，AGB=BHC=90°，在AGB和BHC中，AGB=BHC，BAG=HBC，AB=BC，AGBBHC，AG=BH，BG=CH，BH=BG+GH，BH=HF+GH=FG，AG=FG；（2）方法1、解

36、：CHGF，CHGM，C为FM的中点，CH=GM，BG=GM，BM=10，BG=2，GM=4，AG=4，AB=10，HF=2，CF=2×=2，CM=2，过B点作BKCM于K，CK=CM=CF=，BK=3，过D作DQMF交MF延长线于Q，BKCCQDCQ=BK=3，DQ=CK=，QF=32=，DF=2方法2，如图3，CHGF，CHGM，C为FM的中点，CH=GM，BG=GM，根据勾股定理得，BG2+（2BG）2=100，BG=2连接CG，CGFM，CG=CM=CF，BCD=90°，BCG=DCF，BC=CD，BCGDCF，DF=BG=2【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角

37、形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高，题目难度不小21如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证CEBCFD，从而证出CE=CF（2）由（1）得，CE=CF，BCE+ECD=DCF+ECD即ECF=BCD=90°又GCE=45°所以可得GCE=GCF，故可证得ECGFCG，即EG=FG=GD+DF又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成

38、立【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，CBECDF（SAS）CE=CF（2）解：GE=BE+GD成立理由是：由（1）得：CBECDF，BCE=DCF，BCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90°，又GCE=45°，GCF=GCE=45°，ECGFCG（SAS）GE=GFGE=DF+GD=BE+GD【点评】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立22如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BGCE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G（1）证明

39、：BE=AG；（2）E位于什么位置时，AEF=CEB？说明理由【分析】（1）要证明AG=BE，只要证明三角形ABG和EBC全等即可两三角形中已知的条件有一组直角，AB=BC，只要再得出一组对应角相等即可我们发现1和2都是3的余角因此1=2，这样就构成了两三角形全等的条件ASA，因此两三角形全等（2）要求E位于什么位置时，AEF=CEB，我们先看若两角相等能得出什么若AEF=CEB，由（1）中的全等三角形我们可得出AGF=CEB，因此AEF=AGF，三角形GFA和AEF中，有一条公共边，DAC=CAB=45°，因此两三角形全等，那么AG=AE，由（1）知AG=BE，因此AE=BE，那么

40、只有AE=BE时，AEF=CEB【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=90°，1+3=90°BGCE，BOC=90°2+3=90°1=2在GAB和EBC中，GAB=EBC=90°，AB=BC，1=2，GABEBC（ASA）AG=BE（2）解：当点E位于线段AB中点时，AEF=CEB理由如下：当点E位于线段AB中点时，AE=BE；由（1）知，AG=BE，AG=AE；四边形ABCD是正方形，GAF=EAF=45°；又AF=AF，GAFEAF（SAS）；AGF=AEF；由（1）知，GABEBC；AGF=CEB；AEF=CEB【

41、点评】本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质等知识点，利用全等三角形来得出线段相等是这类题的常用方法23在ABC中，ACB=90°，AC=以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB【分析】要证明AEBE，只要证明AEB是直角即可，当AEB=90°时，AEC+DEB=90°又因为DBE+DEB=90°，那么要证明AEEB，只要证明AEC=DBE即可那么我们可通过构建全等三角形来实现过E作EFBC交BD于F，DEF=DCB=45°根据E是CD中点，那么EF是直角三角形BCD的中位线，那么EF=BC=AC，CE=BF，直角三角形EF

42、B和ACE中，已知的条件有EF=AC，CE=BF，只要再得出两边的夹角相等即可，我们发现ACE=BFE=90°+45°=135°，由此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形就全等了AEC=DBE【解答】证明：过E作EFBC交BD于FACE=ACB+BCE=135°，DFE=DBC=45°，EFB=135°又EF=BC，EFBC，AC=BC，EF=AC，CE=FBEFBACECEA=DBE又DBE+DEB=90°，DEB+CEA=90°故AEB=90°AEEB【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定

43、等知识点，利用全等三角形得出线段和角相等是解此类题的关键24如图，正方形ABCD中，M为AD边上的一点，连接BM，过点C作CNBM，交AD的延长线于点N，在CN上截取CE=BC，连接BE交CD于F，（1）若AMB=60°，CE=，求DF的长度；（2）求证：BM=DN+CF【分析】（1）由正方形的性质可以得出ADBC，再由CNBM就可以得出四边形BCNM是平行四边形，就可以得出MBC=60°，就有BCN=120°，由BC=EC就可以得出FBC=30°，勾股定理就可以求出CF的值，从而可以得出结论；（2）过点C作CGBE交AD于点H，可以得出BCFCDH，根

44、据全等三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出CHN=ECG，由四边形MBCN为平行四边形就可以得出结论【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，A=ABC=BCD=ADC=90°，AB=BC=CD=DA，ADBCCNBM，四边形BCNM是平行四边形，BM=CN，AMB=MBCAMB=60°，MBC=60°，BCN=120°BC=CE，1=2=30°，BF=2CF在RtBCF中，BC=2，由勾股定理，得CF=2CD=2，DF=22答：DF=22；（2）过点C作CGBE交AD于点H，BGC=FGC=90°1=4在BCF和CDH中，BCF

45、CDH（ASA），CF=HDCHN=90°4，ECG=90°2=90°1=90°4CHN=ECG，CN=HN四边形MBCN为平行四边形，BM=CN，BM=CN=HN=DN+HD=DN+CF【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键25如图，已知ABCD，AE平分BAD，交DC于E，DFBC于F，交AE于G，且DF=AD（1）试说明DE=BC；（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由【分析】（1）AE平分BAD，则BAE=DAE；ABCD，则BAE=DEA，从而有DAE=DEA，所以，