平面向量的数量积及应用

1、【本讲教育信息】一、教学内容：平面向量的数量积及应用 二、学习目标1、掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用。2、平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件。利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。 三、知识要点（一）主要知识：（1）平面向量的数量积的定义1）向量的夹角：已知两个非零向量，过O点作，则AOB=（0°180°）叫做向量的夹角。当且仅当两个非零向量同方向时，=0°，当且仅当反方向时，=180°，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。2）垂直；

2、如果的夹角为90°则称垂直，记作。3）的数量积：两个非零向量，它们的夹角为，则叫做的数量积（或内积），记作，即=规定=0    非零向量当且仅当时，=90°，这时=0。4）在方向上的投影：（注意是射影）所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。（2）平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有：当同向时，；当反向时，特别地，。（3）平面向量数量积的运算律交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=0或=0但是乘法公式成立：；等等。（4）平面向量数

3、量积的坐标表示1）若=（）,=（）则=2）若=（x,y）,则|=.=x2+y2,3）若A（）,B（）,则4）若=（）,=（）则（）5）若=（）,=（）则 （二）主要方法：1、注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2、垂直的充要条件的应用；3、当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4、距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题上来解决 5、特别提示：数量积不满足结合律。 【典型例题】例1、已知两单位向量与的夹角为120°，若，试求与的夹角。解：由题意，且与的夹角为120°，所以，同理可得  而，设为与的夹角，则   

4、;例2、已知，按下列条件求实数的值。（1）；（2）解：（1）；（2）；（3）。点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。 例3、已知向量且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。解：（1）（2）当时，当时，当时，综上所述：。 例4、三角形ABC中，A（5，1）、B（1，7）、C（1，2），求：（1）BC边上的中线AM的长；（2）CAB的平分线AD的长；（3）cosABC的值解：（1）点M的坐标为=D点分的比为2xD=（3）ABC是与的夹角，而=（6，8），=（2，5） 例5、已知向量，（1）当，且时，求的值； （2）当，且时，求的值解：（1）当时， ，

5、 由，   得，  上式两边平方得，因此，  （2）当时，由得即   ，    或 命题意图与思路点拨：本题考查三角函数与平面向量的综合运用，理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题。本讲涉及的主要数学思想方法1、解决关于向量的问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2、要体会思路的形成过程，体会数学思想方法的运用。创设问题情景，引导发现解题方法，展示思路的形成过程，

6、总结解题规律。搞好解题后的反思，从而提高综合运用知识分析和解决问题的能力。3、通过应用举例，让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法向量法和坐标法。 【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1. 设A、B、C、D四点坐标依次是（1，0），（0，2），（4，3），（3，1），则四边形ABCD为（    ）A. 正方形                    B.

7、 矩形            C. 菱形               D. 平行四边形2. 已知ABC中，=，=，·<0，SABC=,|=3,| |=5,则与的夹角是（    ）A. 30°           &

8、#160;            B. 150°           C. 150°              D. 30°或150°3. 设a，b是非零向量，则使a·b=成立的一个必要非充分条件是（）A.   

9、;                   B.              C.              D. *4. 已知P是内一点，且满足0，记、的面积依次为、，则：等于（

10、60;     ）A. 1：2：3                B. 1：4：9          C. ：1  D. 3：1：25. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）A.             

11、; B.             C.            D. *6. 将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）A.                      

12、60;            B. C.                                  D.  二、填空题*7. 已知，与的夹角为，则使向量

13、与的夹角为钝角的实数的取值范围是_8. 三角形ABC中,A（5,1）,B（1,7）,C（1,2）.则角B的大小为_ 三、解答题*9. 已知：、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若|，且，求的坐标；（2）若|=且与垂直，求与的夹角.10、非零向量满足，求与所成角的大小。*11、设=（1+cos，sin），=（1cos，sin），=（1，0）（0，），（，2），与的夹角为1，与的夹角为2，且12=，求sin的值。 【试题答案】1. 解析：=（1，2），=（1，2），=，又线段AB与线段DC无公共点，ABDC且|AB|=|DC|，ABCD是平行四边形，又|=，=（5，

14、3），|=，|,ABCD不是菱形，更不是正方形；又=（4，1），1·4+2·1=60,不垂直于，ABCD也不是矩形，故选D答案：D2. 解析：·3·5sin得sin=,则=30°或=150°又·0,=150°答案：C3. 提示：由a·b=可得；但，a·b=，故使a·b=成立的一个必要非充分条件是故选4. 解析：取AC、BC中点D、E，连接PA、PB、PC、PD、PE，由0， 即由此可知，：=3：1：2，选D5. A6. A7. 提示：由已知条件可得，且a·b=cos60°由于与的夹角是钝角，则且·，即解得8. 解：、，9. 解：（1）设，由和可得：     或 ，或（2）  即 ，        所以                      . 1