对差比型数列求和方法的再思考

1、对“差比型”数列求和问题解法的再思考人教A版必修5课本中在推导等比数列前项和公式 的过程中运用了的“错位相减法”，随后在课本第61页的习题中给出了这类求和问题的习题：。已知数列满足其中为公差不等于0的等差数列，为公比不等于1的等比数列，我们可以把这类数列简称为“差比型”数列。求这类数列前项和时通常在和式的两边都乘以（或除以）组成这个数列的等比数列的公比，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为等比数列求和，这种方法即所谓的“错位相减法”。近几年来的高考试卷中频频出现“差比型”数列的求和问题。如2017年山东文科高考题第19题：已知an是各项均为正数的等比数列,且.（1）求数列an通项公式；（2

2、） bn为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.参考答案：（1）设数列的公比为，由题意知, . 又，解得，所以.（2）由题意知 又,所以.令因此,又,两式相减得所以.大部分同学解决这个问题时，和上述参考答案一样使用“错位相减法”。这个方法的优点是有固定的求解模式，思路比较清晰。缺点是计算量大，一不小心就会出现计算错误，容易失分。其实只要大家深入思考就不难发现，“差比型”数列求和问题的求解方法，不是非“错位相减法”不可的。下面就向大家介绍两种解决 “差比型”数列求和问题的方法。先看结论1 ：若数列的通项公式为，其中数列是公差不为0的等差数列，是公比不为1的等比数列，则数列也

3、是“差比型”数列。这个结论很容易证明。我们不妨设等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，则=令，显然数列是以为首项，以为公差的等差数列。于是，故数列也是“差比型”数列。再看结论2：若数列的通项公式为其中数列是公差为（）的等差数列，数列是公比为（）的等比数列，则存在一等差数列使，其中等差数列的首项和公差分别为、。我把它称为裂项公式。利用结论2，很容易地得到前项和公式+ =+ =下面，根据上述结论我们给出2017山东高考文科19题的第二种解法：解：（1） （过程略）（2）设易得.即=所以.从前面的解题过程中可知，利用“裂项相消法”解决“差比型”数列的求和问题步骤简洁，该方法的实质在学生深入

4、了解数列之间的联系的基础上，利用转化与化归思想，发现知识间的内联系，是学生探索能力、创新能力的重要体现。同样下面的解法也能说明这一点。结论3：若数列的通项公式为，其前n项和为，其中数列是公差为()的等差数列，数列是公比为（）的等比数列，则存在一等差数列使为一个常数列。该结论的证明思路如下：不妨设等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，则可设 ，整理后比较系数可解出的值，级得到常数列，其中。根据结论3，我们给出2017山东高考文科19题的第三种解法：解：（前面部分同上，略）根据，可得设,即比较式可得所以数列为常数列。因此所以.普通高中数学课程标准中指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、

5、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，是学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。在数列这一章节的学习中，以等差、等比等特殊的数列为基础，考察一部分能转化为等差、等比等特殊数列的综合知识，是培养学生自主探索、动手实践、勇于创新精神的很好的课题。参考文献：1.教育部.普通高中数学课程标准（实验）M.人民教育出版社，20032.徐学军.从错位相减法到裂项相消法J.中学数学教学，2014（1）3.李建华.普通高中课程标准实验教科书：数学5（必修A版）.人民教育出版社跟踪练习：已知为等差数列，前n项和为，

6、是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【考点分析】1.等差，等比数列；2.“差比型”数列求和.【名师点拨】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想(2)对于“差比型”数列的求和问题，可以尝试使用本文提供的三种方法，感受一下每一种方法各自的优点。【解题思路1】（）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的公比为，建立方程求解；（）先求的通项，再求 ，最后对其利用错位相减法进行求和.（）解：设数列的前项和为，由，有，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.【解题思路2】（）设等