定积分在数学计算中的若干方法 2

1、渭南师范学院本科毕业论文题 目： 定积分在数学计算中的若干方法 学 院： 数学与信息科学学院 专业班级： 数学与应用数学09级数本2班 毕业年份： 2013 姓 名： 范 鑫 学 号： 090741059 指导教师： 周 焕 芹 职 称： 教 授 渭南师范学院教务处 制定积分在数学计算中的若干方法范 鑫(渭南师范学院数学与信息科学学院09级数本2班)摘 要 ：在计算中灵活选出适当的方法和公式以简化计算过程. 定积分是高等数学微积分的重要组成部分，是一种实用性很强的数学计算方法.归纳总结定积分在数学计算中若干方法，包括用定义的方法,根据被积函数的奇偶性、对称性以及具有某些函数特征的性质来运用定积

2、分的换元积分法、分部积分法对一些常用的定积分计算方法进行归纳总结，从而使在以后的计算中灵活选出适当的方法和公式以简化计算过程.关键词 ：定积分；被积函数；换元积分法；分部积分法定积分的计算在微分学中占有相当重要的位置，也是学好微分学的关键和基础，但在定积分的计算中往往会使很多人感到比较困难.在初接触定积分时，大多是按定积分的定义来计算的，运算量大而繁杂，因而很多人都对学习定积分感觉比较困难，其实在定积分的计算中是有简单办法可以运用的，通过被积函数的特点性质以及对定积分计算方法的归纳总结，从而可以找出一些简单的解题思路与方法.这里简单介绍几种根据定积分定义、基本性质、被积函数的特点总结归纳出来的

3、具有一般性的计算方法和公式.1. 按照定义计算定积分定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以为例：任意分割,任意选取作积分和再取极限.任意分割任意取所计算出的I值如果全部相同的话，则定积分存在.如果在某种分法或者某种的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取.但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作的特殊分法，选取特殊的，计算出定积分.第一步：分割.将区间分成n个小区间，一般情况下采

4、取等分的形式.，那么分割点的坐标为，.，在上任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小长方形.第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和，也就是.第三步：取极限.，即，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.例1 用定义法求定积分.解 因为在连续所以在可积 令将等分成n个小区间，分点的坐标依次为取是小区间的右端点，即于是= 所以，.2. 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分引理1 若函数在上连续，且存

5、在原函数即=，则在上可积，且=-，这称为牛顿莱布尼茨公式，它也常写成=.有了牛顿莱布尼茨公示后，计算定积分关键就是找的一个原函数.这就转化为不定积分的问题了.例2 求.解 已知=+ =-=.3. 换元积分法定理1 设1) 函数在区间上连续；2) 函数在区间上单调,且有连续导数；3) 时,且,则=该公式称为定积分的换元积分公式运用换元积分法需注意两点：第一,引入的新函数必须单调,使在区间上变化时,在区间上变化,且,第二,改变积分变量时必须改变积分上、下限,简称为换元必换限例3 求 解 应用两种方法.(1) 应用牛顿莱布尼茨公式,首先求不定积分（原函数）. 设=,有=.= = =+ =+所以+是的

6、一个原函数,由牛顿莱布尼茨公式, =+=.(2) 应用定积分换元积分公式.设 ,有 当时,；当时,.于是= = = =.显然上述两种计算方法,后者使用定积分换元积分公式比较简便.说明计算定积分有时可避免某些复杂的计算.利用三角函数进行换元,这类换元多为下面三种情况：(1) 被积函数含有因子,设或进行换元；(2) 被积函数含有因子,设或进行换元；(3) 被积函数含有因子,设或进行换元；根据被积函数因子的不同形式,通过适当的换元,可以简化定积分的计算.例4 求解定积分.解 设,有.当时,；当时,.= = = = =.4. 分部积分法定理2 设函数在区间上具有连续导数，则有.在这等式的两边各取由的定

7、积分， ， 即 ， 或 .这公式叫做定积分的分部积分公式.运用分部积分法是需要注意两点：第一，被积函数是两类不同性质函数的乘积；第二，选择的经验顺序为“反、对、幂、指、三”，即依次表示为反三角函数、对数函数、幂函数（多项式函数）、指数函数、三角函数，即被积函数中出现上述五类函数乘积时，次序在前的通常设为，次序在后的与结合在一起设为.只有合理的选择，积分才能较好进行.例5 计算.解 设，则，即 当时，；当时，故有 =2() =2() =2 =2所以=2.例6 计算.解 = = = = =.5. 含参变量的积分引理2 （连续性） 若二元函数在矩形区域=上连续，则函数 =在上连续.引理3（可微性）

8、若函数与其偏导数都在矩形区域=上连续，则 =在上可微，且=.引理4（可微性） 设，在=上连续，为定义在上其值含于内的可微函数，则函数 =在上可微，且 =+-.例7 计算积分.解 考虑含参量积分，显然，又，因，所以 = =， 因此 = =，另一方面，所以.6. 具有奇偶性函数的定积分结论1 若函数在关于原点对称的区间上连续，则=例8 设是上的连续函数，计算 .解 =. 因为偶函数，为奇函数，故为奇函数，又因为奇函数，为偶函数，故为奇函数，从而.7. 周期函数的定积分结论2 设是周期为T（>0）的连续周期函数，为常数，则 （1） （2），为自然数. 可以利用上面两式简化周期函数定积分的计算.

9、 利用下述各式简化正弦函数、余弦函数的计算 =0 （在一周期区间上正弦函数的定积分等于零）， （在一周期区间上余弦函数的定积分等于零）， （余弦函数在半周期区间上的积分等于零）.例9 计算.解 因为和都是以为周期的周期函数，故也是以为周期的函数，因而原式可以写成 =.8. 分段函数定积分的计算对于分段函数的积分首先要弄清积分上下限是常数还是变量，如是常数，就要找分段函数的分段点，然后依据分段函数的分段点将积分区间分为许多个小区间，在每个小区间上求定积分的和；如果是变量，就将变量分情况讨论；当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其化为给定函数的形式.例10 设 求.

10、解 令则有： =+ =+ =+ =+ =.9. 定积分在初等数学不等式中的应用运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设与都在上可积且；则特别的当时，有.例11 证明贝努利不等式：已知>且，且.求证：.证明 若或且时， 。因此 即为。若或且时因此 由此可得。综合以上可得：当时，且 且 时有由上面的证明我们可以推广，去掉条件时，结论仍然成立所以，我们可以得到一个一般的结论设 则若时，有若或时，有当且仅当时，两式中的等号成立.例12 已知是实数，并且，其中是自然对数的底，证明.证明 当时，要证明，只要证明 既要证明 时，因为 从而-=<所以当时， 于是得到.求和：根据微分与积

11、分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积分和,再求导即可.小结：本文主要介绍了以下几种函数积分方法，牛顿莱布尼茨公式法，换元积分法，分部积分法以及含参变量的积分方法等.牛顿莱布尼茨公式在积分中发挥了很大作用，但在使用时被积函数在被积区间必须联系，而且要求出原函数.在很多情况下被积函数不具备这样的条件，原函数不能表示为初等函数.这时可以考虑使用换元积分法、分部积分法和含参变量积分方法，而在实际问题解决中会有很多变数，因而有时采用某一种方法可能不能解决某些问题，这就需要我们灵活应用所学方法去解决那些问题. （指导老师：周焕芹）参考文献1同济大学数学系，高等数学（上册） M，北京：

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13、n(Class 2 Grade 2009 Department of Mathematics and Information Science Weinan Normal University)Abstract: choose the appropriate flexible method and formula in computing in order to simplify the calculation of definite integral is higher mathematics.The important part is the calculation, a practical

14、 mathematical method. Summarized the definite integral in the calculation ofMethod, including the definition of the method according to the integrand parity, symmetry and has certain function characteristic properties to use Integration by substitution, integral subsection integral method of some commonly used the definite in