定积分的应用63062

1、第十章 定积分的应用在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。§1平面图形的面积教学目标：掌握平面图形面积的计算公式教学内容：平面图形面积的计算公式(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式(2) 较高要求：提出微元法的要领教学建议：(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公

2、式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握(2) 领会微元法的要领教学过程：1、微元法众所周知，定积分是由积分区间及被积函数所决定的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分记 把积分值看作是分布在上的总量，看作是在上的局部量，由积分性质可见总量等于各个子区间上对应的局部量之和。因此，凡是用定积分描述的量都应具有这种基本特征对积分区间的可加性。另一方面，若，则积分上限函数关于积分上限的导数，于是用定积分度量的量        在上的任意标准子区间上所对应的局部量的近似值就是在点处的微分，即  

3、;                                                  

4、0;（10.1）且。所以，用定积分度量的量在上的局部量所需要的近似值应是（10.1）表示的的线性函数，并且与之差为的高阶无穷小。通常，把式（10.1）中的局部量的近似值称为积分微元。此时总量                           这种建立总量的积分表达式的方法，通常称为微元法。2、平面图形的面积下面我们根据不同坐标系下的曲线

5、方程来建立平面图形面积公式。（1）直角坐标系下计算平面图形的面积，首先考虑介于两曲线，及直线，所围成的平面图形（图6.1）的面积。由于面积是非均匀连续分布在区间上且对区间具有可加性的量，所以面积可以用定积分来计算。根据微元法，取上的标准子区间，在其上小曲边梯形的高可近似看成不变的，它的面积可以用高为，宽为的小矩形的面积近似代替，即                 于是所求图形的面积    

6、0;             （10.2）特别，如果，由连续函数、轴及二直线与所围成的平面图形（图6.2）的面积                             （10.3）例1、求

7、由抛物线与所围成的平面图形（图6.3）的面积。 【解】  解联立方程                    求得交点与，由公式（6.1）知此图形的面积                     

8、;               例2、求由抛物线与直线所围成的平面图形（图6.4）的面积。解：解联立方程                       求得交点和。此时，取为积分变量比较方便，相应的积分区间为，于是  &#

9、160;               例3：求所围图形的面积。解：方程包括两条双曲线与和两条直线与。它们所围成的平面图形如图6.5所示。  解联立方程                        

10、解得交点、，故所求面积    例4、设，求使                    最小的与。解：若使积分最小，此时直线应与曲线相切，故，切点坐标为，故切线方程为               从而   令 &#

11、160;               解得驻点，此时，所以当，的值最小。（2）极坐标系下计算平面图形的面积。设曲线的极坐标方程是，求它与射线、所围成的曲边扇形（图6.6）的面积。其中。取极角为积分变量，它的变化范围为区间，则曲边扇形的面积可看作是展布在上的量。根据微元法，取上的标准子区间，在其上的小曲边扇形的面积可用半径为、中心角为的圆扇形面积来近似代替，即        &#

12、160;      于是所求曲边扇形的面积为                           （10.4）特别如图6.7所示的平面区域的面积           &#

13、160;   （6.4）同理，设图形是由极坐标方程、确定的二曲线与射线、所围成（图6.8），其面积        （10.5）例5、求四叶玫瑰线所围成的平面图形的面积（图6.9）。解：由图形的对称性，所求面积等于第一象限中阴影部分面积的8倍。在曲线的这一段上，对应的从变到，于是由公式（10.4），有                  &#

14、160; 例6、求笛卡尔叶形线所围成的平面图形的面积（图6.10）。解：因为这条曲线无法从所给方程中解出或，表成显函数的形式，所以不能按照公式（10.3）来计算面积。这就从一个侧面说明了掌握在极坐标下计算平面图形面积的必要性。将曲线方程化为极坐标方程，令，代入函数方程，经整理得                于是根据公式（10.4），有         &#

15、160;                         例7、求由曲线和直线所围成的平面图形的面积（图6.11）。解：在直角坐标系下，令                   &#

16、160;  ，则所给的两条曲线分别为抛物线和直线，它们的交点是和。因此在直角坐标系下图形的面积                  如果仍在极坐标系下计算，此时面积微元                因为两曲线交点为和，于是所求面积可表作   这个积分

17、计算起来就复杂多了。可见计算平面图形的面积一般要先画出草图，选择在直角坐标系，还是在极坐标系下的方程来表达边界曲线，目的应该使所得曲线方程简单易于积分运算。（3）用参数方程表示的曲线所围成的平面图形面积的计算。如果所给曲线方程为参数形式                     （10.6）其中单调增加，且，；，则由曲线（6.6）、轴及直线所围成的平面图形面积（图6.2）  &#

18、160;          （10.7）事实上，由条件知，存在反函数，因而曲线方程为                    所以由公式（10.2）知，该平面图形的面积为       （10.8）上述公式当单调减少时仍成立，这时，同时。例8、求旋轮线与轴所围成图

19、形的面积。解：由公式（10.8），有                     §2 由平行截面面积求体积教学目标：掌握由平行截面面积求体积的计算公式教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式 基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式教学建议：(1) 要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练掌握(2) 进一步领会微元法的要领教学过程：设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的两

20、平面之间若在任意一点处作垂直于x轴的平面，则它截得的截面面积显然是的函数，记为，并称之为的截面面积函数。下面将导出由截面面积函数求立体体积的计算公式和旋转体的计算公式。一、立体体积设截面面积函数是上的一个连续函数。对作分割 过这些分点作垂直于x轴的平面它们把分成n个薄片（）。分别表示在上的最大值和最小值，则有 于是，的体积满足： 由在上连续知，它在上可积。所以对任意当分割的细度足够小时，就有 所以有 例1、求两 个柱面与所围立体的体积。解： 由对称性知，只须计算第一卦限的体积再乘以8即可。对任一平面与这部分立体的截面是一个边长为的正方形，所以由公式得 例2、求由椭球面所围立体的体积。 解： 以

21、平面截椭球面。得椭圆 所以截面面积函数为于是椭球体积为 注：当时，球的体积为二、旋转体的体积设是上的连续函数，是由平面图形 绕x轴旋转一周所得的旋转体。则截面面积函数为 因此旋转体的体积公式为例3、求圆锥体的体积公式。解： 设正圆锥的高为，底圆半径为这圆锥体可由平面图形绕x轴旋转一周而得。其体积为 例4、 求由圆绕x轴旋转一周所得环状立体的体积。 解： 圆的上、下半圆分别为 其中故圆环体的截面面积函数是 圆环体的体积为 作业：P246 : 1;2;3.§3 平面曲线的弧长与曲率教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧

22、长计算公式(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式教学过程：一、曲线弧长的概念设平面曲线，在其上从到依次取分点得曲线的一个分割： 用线段联结相邻的点得：。记 分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 定义1 对于平面曲线的无论怎样的分割，若极限 存在，则称曲线是可求长的，并称为曲线的弧长。二、参数形曲线的弧长的计算公式定义2 设平面曲线若与在上连续可微，且与不同时为零，则称为一条光滑曲线。定理1 设平面曲线为一光滑曲线，则是可求长的，且弧长为 证： 对作任意分割： ，并设分别对应与，且

23、于是与对应地得到区间的一个分割在上应用微分中值定理得 从而有 由为一光滑曲线知，与是等价的。又由在上连续从而可积，因此由定义1，只需证明 （*）记则有 由三角不等式易证 又因在上连续，从而一致连续，故当时，只要，就有 于是有 由此及（*）式知，所证公式成立。例1、求摆线一拱的弧长。解： 由公式 得 =三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式若曲线：，则当在上连续可微时，此曲线为一光滑曲线，它的弧长公式为 例2、求悬链线从到一段的弧长。解： 由公式得 四、极坐标形曲线的弧长的计算公式设曲线：将其化为参数形： 当在上连续，且与不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲线，其弧长的计算公式为 例3、求心形线的周

24、长。解： 由公式得 注意：若定理1中公式的上限改为变量，则有 由于被积函数 连续，所以有 =后式称为弧微分。作业：P246 : 1.§4 旋转曲面的面积教学目标：掌握旋转曲面的面积计算公式教学内容：旋转曲面的面积计算公式 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积教学过程： 一、微元法 对任意小区间，若能把函数的微小增近似地表示为的线性形式：，其中为某一连续函数，且当时，即，则得 此法称为微元法。注：采用微元法需注意： 1、所求量关于分布区间是代数可加的； 2、关键是给出，但一般要检验二、旋转曲面的面积 设平面光滑曲线，不妨设。下面求这段曲线绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。 在点分别作垂直于x轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即 其中由于 因此由的连续性有 所以得到