弹性水击理论

1、第三章：弹性水击理论如第一章第二节所述，在管道内不稳定分析中，把必须考虑管子和一体的弹性的情况称为弹性水击，简称水击。在弹性水击的情况下，管道各个截面上流量的变化不仅在时间上参差不齐，而且数值上也千差万别， ，情况是十分复杂的，为了从简到繁，本章从第一小段起，然后再研究全液流的情况。第一节 惯性水击压力的计算这一节研究在任何一个界面处，当流速发生DV的变化时所产生的压力变化24。从管道上取长度为DL的微小段加以研究(图3-1).由于惯性水击压力大，在研究此微小段的惯性水击压力时，完全可以忽略其坡度和摩阻，按水平、无摩阻分析。在稳定流动中，微小段的水力状态如图3-1a所示，其两端所受到的压头均为

2、H。假定下游毗邻邻段产生水击，流速减小DV，压头相应地增加DH，如图3-1b所示。此水击以a的速度经过Dt的时间传到微小段的左端，如图3-1c所示。考察微小段在水击波通过前后的压力变化，即可得到惯性水击压力DH的计算公式。在弹性水击的情况下，微小段速度的变化时惯性水击压力作用Dt的时间之后，所以应当采用冲量变化等于栋梁变化的原理进行分析。在水击波通过微小段的时间内： 忽略高阶微量，可得： 在忽略管子截面的变化，可得： 这里应当注意，Dt是微小段DL发生弹性形变和压力变化所需要的时间，与前面所述的关闭阀门快慢等无关，例如即使是瞬时将阀门关闭，但它产生的压力波仍需Dt的时间才能走完DL的路程，因此

3、DL/Dt=a。于是，可以得到惯性水击压力的计算公式： (3-1)式中：CW惯性水击系数，第二节 水击波传播速度的计算一、 纯液体中的波速(一)薄壁管(D/d>25)仍用图3-1所示的微小段，研究DL的长度发生管子和液体的弹性变形、速度和压力变化所需要的时间Dt，以确定水击波的传播速度a。根据质量守恒和连续性定地，在Dt时间内流入和流出该微小段的液体质量的增量，等于该微小段液体质量的增量。在Dt时间内流入该微小段的液体的质量为：流出微小段液体的质量为：忽略高阶微量，得：故在Dt时间内多流进的质量为：再从液体的压缩和管壁的膨胀来考察该微小段内液体质量的变化。在变化以前的质量为：在Dt以后的

4、质量为：忽略高阶微量，得到：液体质量的增量为：因为，所以：等号两边都处以，并用a代替，整理后可得：而，带入上式并消去DV，得到： (3-2) 下面对和这两项在作处理。按照图3-2，在单位长度上，水击压力对管壁的环向拉力(T)为，管壁上面的环向正应力为，环向应变为：，径向变形：，乘以周长后，得到面积的增量为：。因此： (3-3)液体密度的变化取决于液体的压缩性和压力。液体的压缩性可以用其体积模量K来表示： 、式中：V液体的体积。由此可得： (34)将式(3-3) 和(3-4)带入(3-2)，可得到茹科夫斯基的水击波传播速度的公式为： (35)在上述推导中没有考虑管道的固定情况，实际上认为在水击时

5、管子只是承受环向正应力，截面变形仅仅是由于这个环向正应力引起的。这对于设置有伸缩器，可以自由伸缩的管道是正确的。若管道被固定，由于管道将处于环向和轴向双正应力的情况下，这样的推导就有些偏差。对于一端固定、另一端没有固定的管道，水击压力对管道施加轴向拉力，管道上出现轴向正应力，使管子截面的变化减少，而管道的长度将略有增加。哈立维尔在1963年按照有这两种尺寸的变化，推导出式(3-5)中的应为，这里的m是泊松因数。这样结论已经被许多文献引用。但是按照斯特里特后来的分析3，轴向应力对管径变化的影响当然应当计及，管道长度的影响则不应当考虑。这可做如下解释：微笑段长度的延伸一方面造成容积增大，是液体质量

6、完成变化的时间延长，从而有降低波速和水击压力的趋势；另一方面又拖动着液流增加流速，加速向微小段补充液体，从而有提高波速和水击压力的趋势，而这两种效应恰恰互相抵消。因此，式(3-5)中的应变为。对于全部固定、轴向不能延伸的管道，如埋地管道，则二次性轴向正应力会削弱一次性环向正应力对管子截面变化的作用，使其变化减小。哈立维尔推倒公式(3-5)终的应为。综上所述，水击波传播速度的通用公式为14。 (36)式中：r液体的密度； K液体的体积模量；见表3-1； E管材的弹性模量，钢材一般取为； D管子的平均内径； d管子的壁厚；y因数，管道仅一端固定时；全部固定时；可自由伸缩时；m管材的泊松因数。表3-

7、1 某些液体的体积模量1液体名称(体积模量)/(0.1MPa)2030405090水23900(24400)22150(22600)21750(22200)丙烷1760(1800)1370(1400)1040(1060)715(730)丁烷3560(3640)3020(3080)2510(2560)2130(2170)汽油9160(9350)7600(7750)煤油13600(13900)12050(12300)润滑油15600(13900)13800(14100)原油7213815相对密度(0.83)15300(15600)13500(13800)12250(12500)15相对密度(0.9

8、0)19200(19600)17350(17700)15600(15900)表3-2 某些管材的弹性模量和泊松因数钢铸铁黄铜铝合金硬聚氯乙烯橡胶混凝土E(105MPa)2.02.10.81.70.781.10.680.730.240.288´10-50.140.3m0.240.280.250.360.330.450.470.10.15在通用公式里，1/K、yD/(Ed)两项分别反映液体的弹性、管子的弹性和结构对波速的影响。某些液体和管材的K、E、m值见表3-1和3-2。前面已经指出，对于一般的钢制管道，水击波在水中的传播速度大约为12001400m/s；在油品中大约为10001100

9、m/s。(二)其它管子对其它管子仍用公式(3-6)计算，只需要对其中的某些参数作相应的变换4。1.厚壁管(D/d<25)因数y按以下方法确定：管道仅一端固定时： (37)全部固定时： (38)可自由伸缩时： (39)2.圆形隧道可以把圆形隧道当作是管壁极厚、全部固定的厚壁管，按式(3-8)，在这种情况下d/D之值较大，等号右边的第一项可忽略不计，于是可简化为： (310)3.复壁管管壁有两种以上材料的管子称为复壁管，例如钢筋混凝土管，可以把这种管子变换为当量均质管。下面举例说明变换的方法。图3-3为夹钢筒和钢筋混凝土管。在制造时收紧钢筋使内层混凝土受预应力(压应力)，故这层混凝土具有弹性

10、，在计算波速时应予以考虑。外层混凝土没有预正应力，可认为不能承受拉伸荷载，在计算波速不予考虑。换算方法如下。(1)把钢筋“均匀化”，当量为一个壁厚为ds的钢筒。(2)把壁厚为d1的混凝土内衬当量为壁厚为的钢管(3)把钢筋混凝土管当量为d当的钢管， (4)以D+d当/2作为当量管的直径；(5)用式(3-6)计算当量管的水击波速。二、 含气液体内的波速液体内夹带有气体时，体积模量和密度发生变化，其变化程度和液体中气体的含量和所受的压力有关系。皮尔索尔推导出了含气液体内的波速公式。推导过程如下3：流体的体积模量可表达为： (a)式中DV/V为体积应变。对于液体： (b)对于气体： (c)含气液体的体

11、积为： (d)在增压DP的作用下，此体积变化为： (e)联解(b)（e）四式，可得： (f)就所研究的情况而言，可以认为气体状态的变化处于等温过程(等于液体的温度)，故可取K气=P(P是绝对压力)；又,于是式(f)可写为： (g)将式(g)带入(a)，可得含气液体的体积模量为： (h)式(h)中，V气/V混是在绝对压力P下，气体在单位含气液体内的体积含量。在水里瞬变中，压力是随地点和时间而变的，为了使其他含量独立于压力，宜将体积含量转变为质量含量。按照克拉柏龙方程： (i)式中：m气体的物质质量 M气体的摩尔质量； R摩尔气体常数； T热力学温度。令mu为气体在单位含气液体体积内的含量，则在体

12、积V混中，气体的总质量为V混mu，于是上式可写为： (j)将式(j)带入式(h)中可得： (k)含气液体的密度为： (l)实际上，上述推导只有在液体中的含气量很小时才能适用，否则就会形成两相流，故上式可近似的取为： (m)将式(k)内地K液改为K后，仍用1/K混置换式(3-6)内地1/K，含气液体的密度仍可取液体的密度r，则可得到含气液体的波速公式为： (3-11)联解式(3-6)和(3-11)可得： (3-12)式中：a对给定的系统为常数，其导出单位为压力的平方， (3-13)mu单位体积内气体的质量；M气体的摩尔质量，其数值等于气体的相对分子量；R摩尔气体常数，等于8.31J/(mol.K

13、);T热力学温度，取液体的温度；P绝对压力，取液体的压力。某些气体的相对分子质量和摩尔质量见表3-3.空气氧气氮气氢气CO2水蒸气相对分子质量约29322824418摩尔质量/(g/mol)约29322824418从式(3-12)看出，除了气体的含量之外，液体压力对含气液体的波速有巨大的影响；波速随压力的增大而急剧增加，直至基本上等于纯液体内的波速。在水力瞬变过程中，压力是地点和时间的函数，P的具体取法将在下章第四节讨论。例题3-1已知输水管道的，假定水中含有空气，其体积含量按标准状态计，试计算含气液体在、T=293K下的波速。解：按式(3-6)，水中波速为：在标准状态下，空气的密度约为1.2

14、9kg/m3。本例中单位体积内的空气质量为按式(3-13):按式(3-12)第三节 水击的基本微分方程至此，我们已经可以计算一条管道中的一个微小段管子在某一时刻流速变化量为已知时的惯性水击压力。现在，要计算整条管道上任何一个截面在任何一个时刻的惯性水击压力，并能够计及摩阻的影响，计算该处的总压力。为此，应用意大利学者阿列维于1902年所推导出的水击基本微分方程，即运动微分方程和连续性微分方程14。一、运动微分方程不稳定流动的运动方程已经在第二章反复的用到了，在那里认为它可以描述整条管道，但这里它只能描述一个微小段，因为各微小段的流量及其变化情况是千差万别的。从图3-4所示的管道的管道中取长度为

15、Dx的微小段液体来考察，其受力情况如图3-5所示，液体密度的变化在此分析中影响很小，可以忽略不计。在时刻t，该微笑段在管轴方向有以下几个作用力：液体压力： 地心吸引力的轴向分量为：摩擦阻力：从现在起，将摩擦项中的Q2-m，写成的形式。因为在水击过程中，流动的方向可能改变，而摩擦阻力总是与作用力反向的，况且计算机也不能进行负值的2-m次幂的运算。设合力与液流同方向，则有：将F1、F2、F3、Gx、S的值代入，得：该微小段液体的质量为rwDx，它在力F的作用下产生加速度d(Q/w)/dt,因为Q=f(x,t)，按微分法则：由此可建立微小段的运动方程为：整理得到： (3-14)在实际的计算中，动水压

16、力P换成该压头距基准面的高度H更为方便。从图3-14看出：而在一般的情况下，管道各个截面的高程不随时间变化，可以直接写成，于是 (3-15)将式(3-15) 带入(3-14)，得到： (3-16)式(3-16)是完整形式的运动微分方程。在大多数情况下，尤其在长输管道中，故可以将此式近似的简化为： (3-17)运动微分方程也可以用于刚性水柱理论，这时，整条管道各个截面上的流量和流量的变化速率是相同的，不是地点(x)的函数，于是可将运动微分方程写为：将此式整理后进行积分，得到：即可得到刚性水柱理论的运动方程：在运动微分方程(3-17)中有Q和H两个变量，仅有这个方程不能求解，必须再有一个方程，就是

17、连续性方程。二、连续性微分方程仍取图3-4所示的微小段进行研究，图3-6表示该微笑容积在时刻t至时刻t+Dt期间的平均变化情况。在Dt时间内，流入该微小段的液体质量为：流出该微小段的液体质量为：故在Dt时间内多流进的质量为（忽略高阶微量）： 又因为，假定该微小时刻液体在时刻t具有平均截面积w和平均密度r，此时刻的液体质量为：而在t+Dt时刻，液体的质量为：液体的质量的增量为(忽略高阶微量)：因为，所以可得：等式两边同时除以rw，并用dx/dt表示V，整理后可得：式中，第一项的括号等于dw/dt，第二项的括号等于，于是该式可写为： (3-18)式(3-18)中，第一项描述管道截面积随时间变化的情

18、况，由式(3-3)可得： (3-19)式(3-18)中，第二项描述密度随时间变化的情况，由式(3-4)可得： (3-20)将(3-19)和(3-20)带入 (3-18)可得到： (3-21)而按照(3-5)，故上式可以写为： (3-21a)现在对这一项进行分析。从理论上讲，。这就是说，水击的连续性方程中有管道的坡度项，过去的文献一直是按照此方法处理的。但是后来怀利教授分析10，从水击计算所采用的方法来看，水击的连续性方程中不应该有坡度项。因为水击计算通常是在稳态的基础上进行的，以稳定流动为初始条件；而在稳定流动的连续性方程中，一般即既忽略水力坡降线的影响，又忽略管道坡度的影响，即把动水压力的影

19、响忽略不计，按管道各截面上的体积流量相同来处理。为了使瞬态连续性方程与稳态的连续性方程相衔接，也应将管道坡度的影响去掉，因此： (3-22)将式(3-22)带入(3-21a)，并以流量置换流速，得到： (3-21a)应为H=f(x,t),，故上式可写成： (3-23)式(3-23)是完整形式的连续性微分方程，在大多数情况下，尤其在长输管道中，可以将此式近似简化为 (3-24)三、水击基本微分方程组综上所述，水击的基本微分方程为：(一)、完整的运动方程： (3-25)连续性方程： (3-26)(二)、近似的运动方程： (3-27)连续性方程： (3-28)基本微分方程组全面而确切地描述了水击过程

20、中各个变量之间的关系，但是难以得到分析解。四、波动方程由于水击基本微分方程组难以求解，早期求助于忽略某些项而得到近似解。最有名的是忽略近似方程组中的摩阻项而得到的波动方程1，3，它是形形色色的图解法的理论基础。在有了特征线解法的今天，波动方程及图解法已经黯然失色，因此我们只对此作简要的介绍，目的在于承前启后，并借助之说明水击基本微分方程的物理意义。近似的水击基本微分方程组忽略摩阻项后可写为：运动方程： (3-29)连续性方程： (3-30)将公式(3-29)对x求导，得到： (3-31)将公式(3-30)对t求导，得到： (3-32)联解式(3-31)和式(3-32)消去Q，得到： (3-33

21、)用类似的方法，将式(3-29)对t求导，式(3-30)对x求导，小区H，得： (3-34) 式 (3-33)和式(3-34) 具有波动方程的形式，由德国数学家黎曼(Reiman)解出，为： (3-35) (3-36)波动方程给出了管道任意截面x在任一时刻t的压头和流量的变化值，说明它们的变化是和这两个波合成的结果，前者叫做直接波，后者叫做反射波。直接波和反射波都是t和x的函数，但具体数值则完全有边界条件决定，与t和x的值无关。现以图(3-7)作略为具体的描述。假设在t=0的时刻将终端阀门关闭，则在阀门处产生惯性水击压头，用函数F(t+x/a)来代表，此函数为F(0+L/a)= F(L/a)=DH。到了时刻t，波行驶到L-x处，x=L-at，,波峰依然是F(L/a)所代表的DH。这个波是随时间向上游推进的。在t<L/a的时间内，没有反射波，即f(t-x/a)=0。当t=L/a时，产生反射波-DH，用函数f(L/a-0/a)代表，f(L/a)=- DH。不难证明，这个波是随时间向下游推进的，且都是f(L/a)。由此可见，当管道突然关闭阀门产生水击时，在忽略摩阻的情况下，管道各截面上压头和流量的变化是数值不变的两个波来回传播的结果。缓慢关闭阀门的分析可以按这个原理进行。第四节 水击波衰减和管道充装已经知道，对于水力摩阻接近于、甚至大大超过水击压力的管道，忽略摩阻