多元函数极值的判定

1、目 录摘 要.1关键词.1Abstract.1Keywords.1引 言.11定理中用到的定义.22函数极值的判定定理. .53多元函数极值判定定理的应用.7参考文献.8多元函数极值的判定摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值.关键词：极值；条件极值；偏导数；判定The judgement of the extremum of the function of many variablesAbstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, an

2、d give several methods to judge the extremum of the function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables.Keywords: extremum; conditional ;partial derivative引言 在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二元函数的极值判定，在参考文献1和3中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多

3、元函数极值问题中去.1 定理中用到的定义定义1.1 函数在点的某领域内有定义.若对于任何点，成立不等式（或），则称函数在点取得极大值（或极小值），点称为的极大值（或极小值）点.定义1.2 设函数， .若,且在的某一领域内有定义，则当极限存在时，称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作.定义1.3 设为开集， ，若在某个矩阵，使当时，有,则称元函数在点可导.称为在点处的导数，记为.注1：为维列向量.注2：.注3：在导数存在的条件下，可求得：,它是一个维向量函数.定义1.4 （二阶导数）若元函数的一阶导数在（或内某一点）上可微，则称在（或内某一点）上二阶可微，并定义维向量函数的导数为的二阶导数，记作

4、，并可求得此矩阵为在点的Hesse矩阵.在二阶混合偏导数连续的条件下，它是一个对称矩阵. 元函数在点的二阶Taylor公式可简单地写成：.2 函数极值的判定定理对于二元函数的无条件极值的判定，先给出数学分析教材中有的相应的判定定理.定理2.1 （必要条件）若函数在点的某领域内偏导数存在，切点是是其极值点，则.定理2.2 （充分条件）设点是函数的驻点，且在点的某领域内有二阶连续偏导数存在.记则1）当时，点不是函数的极值点;2）当是，若,则点是函数的极小值点，若,则点是函数的极大指点；3)当时，该方法不能判断其是不是极值点.注3：对于二阶导数存在的二元函数的极值，这两个定理能解决绝大多数的我们碰到

5、的问题（除了的情形）.利用定义1.3和定义1.4，我们可以将这定理2.1和定理2.2推广到二元以上的函数中去.定理2.3 （必要条件）设为开集，n元实值函数在点可微，且在该点取得极值，则（此0表示n维向量）.证明 由费马定理知当在点取得极值时，.定理2.4（充分条件）设为开集，n元实函数在上存在二阶连续偏导数，且，则当为正定或半正定时，在点取得极小值，当为负定或半负定时，在点取得极大值.证明 ，点坐标分别满足与，且,，当时，由Taylor公式，有当充分小时,只要，则该式子的符号由确定.当为正定时，二次型，当为半正定时，二次型.故当为正定或半正定时，所以，故点是的极小值点.同理可证，当为负定或半

6、负定时，点是的极大值点.定理2.5 设在条件的限制下，求函数的极值问题，其中与在区域内有连续的一阶偏导数.若的内点是上述问题的极值点，且雅可比矩阵的秩为，则存在个常数，使得为拉格朗日函数的稳定点，即为下述个方程：的解.此定理的证明可参阅文献1第二十三章的定理23.19的证明.由定理5可见条件极值的问题都可以通过拉格朗日数乘法转化为无条件极值的形式来求解，即上述判定无条件极值的定理都可以用来判定条件极值.除此之外，我们用二阶全微分的符号来判定其是极大值还是极小值.定理2.6 设为开集，元实值函数在存在二阶连续偏导数，且,则当时，在点取得极小值；时，在点取得极大值.证明 ，.又因为，固由定理4知当

7、正定，即时，为的极小值点，当负定，即时，为的极小值点 .3 多元函数极值判定定理的应用由于函数的条件极值都可以通过定理5转化成无条件极值，也就是说在条件极值的判定中能充分体现无条件极值的判定. 例3.1 求三元函数在受约束条件限制下的极值.解 设，由有：当时，当时，现判断是极大值还是极小值 .方法1：对函数用定理2，其中视为的函数，即，它由决定。可求得，然后，可求得：当时，故是极大值点.同理可知，当时，其是极小植点所以：注4：利用约束条件把其中的某些变量视为另一些变量的函数，对目标函数直接用极值的必要条件来判定.方法2：用二阶微分的符号来判定，此时应视为常数，即把前面所求的的值代入，当时，该点

8、是极大值点，当时，该点是极小值点，注5：利用拉格朗日函数的二阶全微分的符号来判定（其中应视为常数）.方法3：利用Hesse的正定或负定性来判定.可求得：，当时，是负定阵，是极大值点；当时，是正定阵，是极小值点.注6：利用本文所引入的多元函数的导数与二阶导数的定义，由拉格朗日函数的Hesse阵的定性来判定（其中应视为常数）.例3.2 求函数的极值，若.解 设,由，可求得： , ,又由，有，代入中，有, ,所以该点是极大值点，且.注7：直接从约束条件中解出某些变量来，再代入函数中去，一般有个约束条件，就可以解出个变量来，这样，可是目标函数减少个自变量，达到减员的目的.除了这几种方法外，还可以利用极值的定义来直接判定，某些实际问题利用实际意义来判定极值.这些方法在现行的数学分析或高等数学教材中均有涉及，就不在此赘述.参考文献：1华东师.范大学数学系编数学