平面解析几何71向量和直线方程

1、第七章 平面解析几何 在初中学习阶段，你已经学过平面几何，也知道了坐标的概念，并且应用坐标来研究了一些基本初等函数的图象；在第五章还介绍了函数图象的移位缩放作图法，使你能在坐标系中作出不少函数的图象应该说所有这些，主要是为反映和研究函数的性质服务坐标系本来是一个几何概念，你会觉得对它的本家平面几何反而没有尽到服务的责任，这似乎有点说不过去 事实上，在数学发展的历史上，笛卡儿引入直角坐标系后，最早也是用于研究几何学上的一些问题本章的主要内容，可以弥补你的缺憾应用坐标来研究平面几何中的一些基本问题 平面几何中所研究的主要对象是两类，一类是直线及由线段构成的多边形，如三角形、平行四边形梯形等等；另一

2、类则是曲线，如圆等这些仍然是本章所研究的主要对象；在曲线方面，范围还会扩充到与圆密切相关的椭圆、双曲线、抛物线 在研究方法方面，当然不会完全重复平面几何中的一套，特别在直线及多边形方面，我们将用向量的观点及相关方法来考察它们的性质和关系§7.1 向量和直线方程预备知识·平面直角坐标系及坐标的概念重点·坐标系的基底和向量的概念·向量的坐标·各种形式的直线方程及其求法难点·对向量的理解·在不同条件下，以不同形式写出直线方程学习要求·理解向量和向量坐标的概念，会在直角坐标系中作 出已知坐标的向量·已知起终点坐标

3、，会熟练地写出向量的坐标·理解向量在确定直线中的作用·熟记点向式、点斜式、斜截式直线方程，并能在不同已知条件下 应用它们得到直线方程·掌握一般式直线方程及其与其它形式直线方程的转化·理解用二元一次不等式(组)表示的平面区域 几何中除了单个的点或有限个点之外，由无限个点组成的点的集合，最简单的莫过于直线了，本节就从这个最简单的集合直线讲起我们要解决两个基本问题：如何确定一条直线；确定的直线在一个坐标系中如何表示从确定直线的原始想法出发，要引进一种全新的量向量；为了在一个坐标系中表示直线，还要知道向量的坐标有了这两者，几乎所有有关直线的问题就都能得到解决了

4、1. 解析几何概述 什么是解析几何？它与平面几何的根本区别在哪里？为什么要学习解析几何？你在开始学习本章之前，也许已经在考虑这些问题了 (1)什么是解析几何 平面几何是研究形及其数量特性的，所谓形，无非是由直线构成的多边形(如三角形、平行四边形)或圆；所谓数量特性，是指线段的长度、圆或多边形的面积等等在平面几何中，告诉了你三角形的三个顶点A,B,C，三角形是完全被确定了的，但你却求不出面积来，这是因为在平面几何中对最基本的几何元素点，没有赋予任何数字特性，因此无法用数来表示点的位置，在平面上给了三点，除了三个黑点之外，什么都没有，要你求面积，当然是勉为其难了 若在平面上建立了坐标系，情况就不同

5、了，说给定三点，就得确实给出它们的信息它们的位置，即它们的坐标有了坐标，你就能知道每条边的长度，还能知道某条边上的高(这些正是本节和下一节要学习的内容)，面积就可以求出来了点的位置、即点的坐标是一对有序数，因此可以说，建立坐标系后，把点这个几何中最基本的元素，赋予了数字特性凭借这一点，继而可以把点集(包括直线、曲线)数字化，这就是所谓的直线方程、曲线方程；再继而，我们可以把它们之间的相关关系予以数字化，例如两直线垂直有什么数字特征等；最后，我们还能用函数关系去研究它们的性质因此可以说，把平面几何数字化就是解析几何，也可以说，解析几何是研究几何元素和几何形的数字特征的一门学科名词“解析”的来由，

6、是因为在坐标系下讨论几何的形，几乎都要用方程来表示，而正如你在第五章中所看到的，方程往往是坐标变量的解析式 (2)为什么要学习解析几何 把几何学数字化成为解析几何之后，明显带来两大好处 首先它能把几何元或形之间的关系数字化，精确表示出不同几何元和形之间的位置关系例如三点是否共线？在平面几何中去验证是很难的，在解析几何中只要验证这三点是否同时满足一个直线方程；又例如过圆外一点，向圆引切线，在平面几何中只能凭肉眼观察，再作得精确，到显微镜下去看一看，还可能有偏差；在解析几何中就不同了，有了坐标，就能有圆和过已知点的直线的方程，要相切，根据第五章中求曲线交点的方法，只要联立这两个方程且仅有一个解就行

7、了，这样我们可以精确地算出切点的坐标，理论上来讲，偏差已经不存在了 其次，在计算机日益普及的今天，大量图形都通过计算机处理和存储；然而计算机只能处理数字，因此必须把图形数字化以计算机存储图形来说，不外两种方式一种是全息存储，例如把一张彩色照片存放到计算机内，扫描仪会把彩照划分成极细密的格子(一般一平方英寸要分成60´60格)，在每一小格内找一个代表点，把这点的坐标、灰度码、色别码(所谓码也是一个数字)等信息存储到计算机内要显示这幅彩照时，只要读出这些信息，在计算机坐标系内，逐点按坐标、色别、灰度显示，彩照就出来了另一种是参数存储，例如要存放一个红色虚细线描绘的三角形，只要存储三个顶点

8、的坐标，线型、色别码及连线顺序，计算机根据这些信息，会算出连接这三点的直线方程，然后在计算机坐标系内按要求的线型和色别，逐点描绘直线上的点，三角形就会再现于显示屏上这种存储方式不但信息量少，而且更加精确可见，无论用哪一种方式存储，都离不开几何的数字化，也即离不开解析几何 2. 直线的确定和向量 现在让我们从最简单的直线讲起 (1)平面上确定直线的条件 在实际生活中直线方式是经常遇到的，实际中是如何确定一条直线的呢？如果忽略地球表面近似是球面这个因素，那么可以认为一架飞机从上海飞到北京是按直线方式飞行的，你没有见过在地面上，从上海到北京划一条直线，然后要求飞行员按这条线飞行吧？实际上只要告诉飞行

9、员从上海出发，按什么方向飞行就得了，因为一个起点，再有一个方向，飞行员就能确定一条直线方式的飞行路线说得近一些，在操场上跑100公尺，划好直线跑道固然可以顺利沿直线跑到终点，难道不划线，你就不能按照直线跑到终点了？其实只要在终点竖立一个标记，例如插一面旗，甚至站立一位裁判，你就会奋力按照直线跑向终点，为什么呢？因为有了起点，根据终点标记，你又明确了方向，你会自觉地确定一条直线方式的行进路线这些生活经验告诉我们，一个定点和一个方向，就能确定一条直线路径·图7-1Al 这种生活经验反映到几何上，用数学语言来表述，那就是说，在平面上给定一个点A，一个方向(在图上暂时用一个带有短线段的箭头表

10、示)，就能确定一条与指定方向平行的直线l(见图7-1) 若在平面上建立了直角坐标系，给定一个点A，就是给出了点A的坐标；什么叫给定了一个方向呢？在实际生活中好说，从上海到北京的方向，谁都能明白；可是在数学上怎么来理解和表示一个给定方向？这个问题的本质，其实就是如何把通俗所称的方向予以数字化图7-2ENWS30°(y)(x) (2)向量的概念 在实际中常常是以东南西北作为一个参照系统来指明一个方向例如说东偏北30°，你立即知道是图7-2上所画的那个方向坐标轴与图7-2上的东南西北指向很相似，只要你把x轴的正向看作东，把y轴的正向看作北，把坐标系作为参照系，我们不是也能用x轴偏

11、y轴30° 来说明上述方向吗？但这种说法还是比较含糊，如何将其进一步数字化呢？图7-4(2)xyOxyAA1x1y1图7-4(1)xyOyAA1x1y1x图7-3xyOxyA 如图7- 3，在坐标平面内，用一个带有箭头的短线段来表示方向若把箭头的始点移到坐标原点，终点的位置A就确定了，它的坐标也就确定了，不妨设它的坐标为(x,y)显然，点A坐标(x,y)与两个因素有关：一个是指向；另一个是短线段的长度如图7-4(1)，两个长度相同的箭头因为指向不同，把始点移到原点后，终点A,A1的坐标不同；而图7-4(2)，两个指向相同的箭头因为长度不同，把始点移到原点后，终点A, A1的坐标也不同

12、这就是说，数学上所讲的方向，包含了两个因素：指向和长度 指向和长度合起来就是所谓已知方向的数字化；把箭头的始点移到原点，终点坐标是数字化的具体体现 我们希望有一个确切的名称来同时包含指向、长度的意思这个确切的名称就是向量即所谓向量，是一个既有指向、又有大小的量(长度就是这个量的大小)，也就是说，我们把指向、长度合起来看作为一个量向量因此，当且仅当指向相同且大小相等的两个向量，才能称为相等 在一个坐标系中，把一个向量的始点移到原点，终点的坐标称为这个向量的坐标相等的向量的坐标也相同 有了向量的名称，我们可以说，一个点和一个向量，就能确定一条平行于该向量的直线我们把这个向量称为直线的方向向量 例1

13、 (1)已知一个向量与x轴的正向成150°角，长度为3，求其坐标； (2)已知一个向量的坐标为(-3,-1)，试以(1,1)为始点，作出这个向量，并求此向量的长度 解 (1)建立坐标系；以原点为顶点、x轴正向为始边，作150°角，在终边上量取长度为3的线段OA，并在点A处标以箭头(见图7-5) 设点A的坐标为(x, y)，则 xyOA150°图7-5 x=3×cos150°=-，y=3×sin150°=所以所求向量的坐标为(-,) xyOA图7-6BP (2)建立坐标系，作出点A(-3,-1)；连接OA，并在点A处标以箭头，

14、得到一个与求作的向量相等的向量把它平移，使始点到坐标为(1,1)的点P处，所得向量即为所求(见图7-6) 向量长度=OA= 例2 若把向量的始点移到原点，终点总是落在以原点为圆心、半径为5的圆上请问向量的坐标有何特点？ 解 设向量与x轴正向的角为a，则把它的始点移到原点后，其终点坐标为 (5cosa, 5sina) (1)所以向量的坐标总是具有(1)的形式，其中的a为向量与x轴正向的角 课内练习11. (1)已知一个向量与x轴的正向成270°角，长度为4，求其坐标； (2)已知一个向量与x轴的正向成240°角，长度为a，求其坐标； (3)已知一个向量的坐标为(-1,-1)，

15、试以(3,-1)为始点，作出这个向量，并求 此向量的长度2. (1)长度相等为a的向量，当把始点移到原点后，其终点位置有何特征？ (2)指向相同而长度不同的向量，当把始点移到原点后，其终点位置有何 特征？ (3)关于向量的一些说明 过去你所接触的全是数量，即只有大小、没有指向的量，因此向量对你来说，是一个全新的概念 向量的实际背景 首先你会觉得向量是不是搞数学的人想出来的花样，实际生活中是否有那么一种量，它确实是向量？事实上，实际中很多的量就是既有大小、又有指向的，例如你所熟悉的速度，就应该是一个向量，你以某个大小的速度往哪儿跑？这不有一个指向问题吗？要没了指向，就无法考虑具体的运动了，因此物

16、理学中的速度是一个向量你会反驳，过去我也处理过不少行程问题，速度从来就是数量，不也解决问题了吗？其实在你以前考虑的行程问题中，物体的运动路径(即指向)都是事先设定好了的，这样剩下的问题仅仅是算算路程的长短和速度的大小，当然不会涉及指向了又例如你所熟悉的作用力，也应该是一个向量，你对举重杠铃施以往上的力，杠铃会被你提起来，若施以推力，杠铃能被提起来吗？它只会滚动而绝不会上升对吗？因此只有力的大小而没有指向，是无法确定物体在力的作用下的运动的但是过去我们只考虑力与运动方向指向一致的情况，使力的指向问题被掩盖起来了再例如稍微抽象一点的点的位移，除了移动多少距离(即大小)之外，也有一个移向那里(即指向

17、)的问题，例如你笑的时候，嘴角的位移应该是往上的，如果指向错向下了，那岂不令人啼笑皆非？因此总体来看位移量，不得不是一个向量由此可见，向量并不是数学家凭空的想像，而有着坚实的实际背景，离开几何仍然有着广泛的应用课内练习21. 请你举出若干个实际生活中的向量 向量与有向线段 你不会去想数量的位置问题，而对于向量，因为经常提到什么始点、终点，你可能会有误解，以为向量应该有一个位置其实向量不过是一个量，只是这个量既有大小，还有指向；而指向与位置是没有关系的因此向量不应该受囿于位置反映在几何上，在一个坐标系中表示一个向量，只要指向、大小(即长度)相同，表示向量的箭头画在哪儿没有关系，因此箭头是可以自由

18、移动的，所谓始点、终点只是相对于箭头而言，相对于坐标系来说，始点、终点可以随便放在那里有人为了强调这一点，称向量为自由向量在物理、工程中，有着具体含义的表示力或位移等的向量，作用点的问题是必须考虑的，但这并不表示力或位移等的向量本身与位置有关，引起作用效果不同的仅是其作用点一个大小为100牛顿、垂直向上的力，就是一个向量，它没有什么位置，不论作用在那儿都是这个力但因为作用点不同，引起物体的运动会不同，如作用在举重杠铃的中点，杠铃会被整体提升；如作用在杠铃的一端，只有杠铃的作用端被提升 请注意，不要把向量的几何表示(一条带有箭头的短线段)与有向线段(一条有方向的短线段，记得吗？三角函数线就是有向

19、线段)混为一谈从表示的形式上来看，前者带有箭头，后者则没有；从表示的意义上来看，前者既以箭头表示了指向，又以短线段的长度表示了大小，后者则仅有正向、负向两个方向，以表明有向线段表示的量是正还是负；从位置关系上来看，前者的位置是自由的，平移到哪里都是同一个向量，后者的位置则是不可改变的，换了一个位置就变成另一条有向线段了课内练习31. 你乘飞机从上海到北京与坐火车从上海到北京，在地图上，以位移的角 度来看，是否相同？为什么？ (4)向量的表示和作图 向量常用下面两种方法表示：第一种，用一个小写的黑体西文字符，如a,b,m,n.；在书写时，因为写黑体不方便，就在西文字符上面加一个小的箭头，如.如果

20、向量的坐标已知，则把坐标写在它的后面，如a(1,-2), n(a,b), (,-),.；有时候也写成a=(1,-2), n=(a,b), =(,-),.这种表示方法通常用来表示并不在意始点位置的向量第二种，如果我们已经把一个向量的始点移到了点A，且此时向量的终点位置在点B，为了强调这一点，把向量表示为注意在以起、终点表示一个向量时，不要动摇你已经建立的向量可以自由移动的信念，说已知向量，仅表示这样一个事实：如果把已知向量的始点放在点A，那么终点就在点B 一个向量a或的长度，用记号|a|或|来表示根据向量坐标的含义，立即可以得到向量长度的计算公式：若a=(x,y) (或=(x,y)，则 |a|

21、(或|)= (7-1-1) 在工程物理中，有时会用到长度为0的向量，这种向量称为零向量，记作O或零向量的指向无法确定，因此认为它的指向是任意的 例3 设=(3,-2), =(-2,3), =(cos75°,sin75°)，其中点A的坐标为(1,1)， (1)求出,的长度；(2)在同一个坐标系中作出上述向量 (1)解 根据公式(7-1-1) |=； |=； |=1 (2)分析 建立坐标系，作出点A(1,1) 作出点B¢(3,-2)；连接O,B¢，并在B¢处标记小箭头，得到向量；把的始点移到点A处，标记终点为B，即得向量(见图7-7)xyO图7-7

22、ABCDB¢-1-1-22134123475° 这样作向量的手续比较烦琐，我们可以把定位作图法的思想用到这里来，改为下面的方法(见图7-7) 解 建立坐标系，作出点A(1,1) 以点A为原点，建立一个假想坐标系；在这个假想坐标系中作出点B(3,-2)，连接A,B，并在点B处标记小箭头，即得 在假想坐标系中作出点C(-2,3)，连接A,C，并在点C处标记小箭头，即得 过A作与x轴成75°角的半直线，截取AD=1，在点D处标记小箭头，即得(想一下为什么？参见例2) 课内练习41. 已知向量=(-1,-2), =(2,-3), =(cos45°,sin45&#

23、176;)，其中点A的 坐标为(-1,1)， (1)求出, , 的长度；(2)在同一个坐标系中作出上述向量 例4 已知直线过点A(2,2)，方向向量n(-1,1)，试作出这条直线 解 作出坐标系，在坐标为(2,2)处标注A；以原点为始点，作出向量n(-1,1)；过点A作n的平行线l，则l即为所求的直线(见图7-8) xyO图7-8An-12134123·l课内练习51. 已知直线过点B(0,2)，方向向量n(-1,0)， 试作出这条直线 (5)平行向量的坐标特征 平行向量的坐标特征 所谓向量平行，其实是表示向量的线段平行，因此向量a,b平行也表示为a|b 零向量的指向可以任意，所以可

24、以认为零向量和任何一个向量平行因此，在下面讨论平行向量问题中，我们都撇开零向量axbylO图7-9 若向量a|b，另作与a,b平行的直线l，当把a,b的始点都移到l上时，表示它们的有向线段必定都落在l上；反之，若表示a,b的有向线段能同时落到一条直线l上，则必定a|b因此又称平行向量为共线向量(见图7-9) 上述向量平行或共线的定义是一种描述性定义，那么平行向量有怎样的数字特征呢？设a|b，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)把它们的始点都移到原点，axbyO图7-10(1)Bx2x1A设终点分别为A,B 先讨论简单情况：若a,b平行于x轴，此时y1=y2=0(见图7-10(1)，反之若y1

25、=y2=0，则a,b必定都平行于x轴，因此a|b由此首先可得 a(x1,y1),b(x2,y2)平行且平行于x轴Ûy1=y2=0，且当x1,x2同号时指向相同，异号时指向相反axbyO图7-10(2)ABB1A1 类似讨论又可得 a(x1,y1),b(x2,y2)平行且平行于y轴Ûx1=x2=0，且当y1,y2同号时指向相同，异号时指向相反 其次讨论a,b与坐标轴不平行的情况，此时A,B不在坐标轴上因为OA|OB，所以S DOA1A DOB1BaxbyBO图7-10(3)AA1B1A1,B1为A,B在x轴上的垂足(见图7-10(2)(3)，由此可得 或 ，即 (1)当符号取

26、正，a,b指向相同；符号取负，a,b指向相反反之，从(1)逆推上述过程，易得a|b 若记l=±，则上述结论可表示为： a(x1,y1)|b(x2,y2)Û或(x2, y2)=(l×x1, l×y1) 或x2y1=y2x1 (2) 只要经过简单的验证，可知当a,b平行且平行于x轴或a,b平行且平行于y轴时，(2)的最后二式仍然成立因此可得一般的结论： a(x1,y1)|b(x2,y2) Û (x2, y2)=(l×x1, l×y1) 或 x2y1=y2x1 (7-1-2)其中l=±，符号取“+”，表示a,b指向相同，

27、取“-”，则指向相反 具体检验两个向量是否平行，首先看是否成立y1=y2=0或x1=x2=0，若成立，则已经可以得到平行的结论，然后根据非零坐标符号的异同决定指向的异同；否则，检验是否成立或x2y1=y2x1 例5 检验下列各组向量是否平行，若平行，它们的指向是否相同？它们的长度有何关系？ (1)a(1,-3), b(-2,6)； (2)c(1,-3), d(-2,-6)； (3)m(0,-3), n(0,6)； (4)s(p,2p), t(-p,-2p)； (5)p(sin20°,cos20°), q(-3sin200°,-3cos200°) 解 (1

28、)因为=-2，即b=-2a，所以a|b；因为-2<0，所以它们的指向相反，且b的长度是a的2倍 (2)因为，所以c,d不是平行的向量 (3)因为x坐标同时为0，所以n|m；因为=-2，即n=-2m，所以它们的指向相反，且n的长度是m的2倍 (4)因为=-1，即t=-s，所以t|s；因为-1<0，所以它们的指向相反，且s, t的长度相等 (5)因为 =3， =3，即q=3p，所以p|q；因为3>0，所以它们的指向相同，且q的长度是p的3倍 第(4)小题中的向量s,t有些特点，它们平行且长度相等，仅是指向相反具有这样特点的两个向量，称它们是互为相反的向量其实指向相反已经包含了平行

29、的意思，因此可以说：若两个向量长度相等而指向相反，则称它们是互为相反的向量相反向量相当于数量中的相反数 数乘向量 把(7-1-2)等式右边的l形式地移到括号外面来，则得 b=(x2, y2)=l (x1, y1)=l×a我们把这种形式运算合法化，称为数乘向量运算即已知向量a和任意实数l,(l¹0)，l×a表示一个平行于a、长度为|a|的|l|倍(即|la|=|l|a|)的向量，且其指向，当l>0时与a相同，当l<0时与a相反 这样一来，向量平行的条件又可表述为：向量a|b Û b=l×a 表示平行向量数字特征的(7-1-2)，也给出

30、了数乘向量的坐标运算法则： 若a=(x1,y1)，则l×a=(lx1,ly1),(l¹0) (7-1-3) 在上面的讨论中，我们一直限制l¹0这是出于我们不考虑零向量的平行问题对数乘向量而言，l=0也无何不可，即若b=0×a，那么b=(0,0)只是此时说l×a的指向与a一致或相反显得有些勉强 例6 已知a=(-4,1)，在下列条件下，求b的坐标： (1)b=-a； (2)b=-2a； (3)b=a； (4)b是a的相反向量； (5)b是a的单位化 解 (1)b=-a=(-)´(-4), (-)´1)=(2,-) (2)b=-

31、2a=(-2)´(-4),(-2)´1)=(8,-2) (3)b=a=(´(-4), ´1)=(-4,) (4)a=-b=(4,-1) (5)说明：所谓一个向量a的单位化，是指把向量的长度化为1个单位，而指向不变，因此向量a的单位化向量是 因为 |a|=，所以 b=a=(,) 课内练习61. 检验下列各组向量是否平行，若平行，它们的指向是否相同？它们的长 度有何关系？ (1)a(-1,-3), b(-2,6)；(2)c(0.011,-3), d(0.022,-6)；(3)m(-1.5,0), n(-100,0)； (4)s(ln4,ln2), t(-ln

32、16,-ln4)；(5)u(tan15°,cot110°), v(-cot75°,tan340°)2. 已知a=(-2,-1)，在下列条件下，求b的坐标： (1)b=-3a； (2)b=2a； (3)b=-a； (4)|b|是|a|的两倍而指向相反； (5)b是a的单位化 (6)已知始、终点坐标的向量的坐标 已知始、终点的向量a的含义是：如果把a的始点移到点A，则它的终点为点B；或者说向量a就是向量我们的问题是，若A的坐标(x1,y1)、B的坐标(x2,y2)是已知的，那么a的坐标是多少？OxyABx2y2y1x1图7-11 如图7-11，在点A处建立一

33、个假想坐标系，则的坐标就是点B在假想坐标系中的坐标所以 =(x2-x1,y2-y1) (7-1-4)即已知起、终点坐标的向量的坐标，是终点坐标对应地减去起点坐标 因为|=AB，所以据向量长度公式(7-1-1)，顺便还能得到平面上两点间距离公式：若已知A(x1,y1),B(x2,y2)，则 AB= (7-1-5) 例7 已知向量的始点A、终点B的坐标如下，求的坐标，并求AB： (1)A(3,1), B(2,-1)； (2)A(0,4), B(3,-2) 解 (1)=(2-3,-1-1)=(-1,-2)； AB= (2)=(3-0, -2-4)=(3,-6)； AB= 例8 (1)已知向量a的坐标

34、为(0,-4)，若把其始点移到点A(4,4)处，其终点B在哪里？ (2)已知向量b的坐标为(-7,2)，若把其终点移到点A(-6,-1)处，其始点B在哪里？ 解 (1)设终点B的坐标为(x,y)，则 x-4=0, y-4=-4，得x=4, y=0所以把a的始点移到点A处时，终点在点B(4,0)处 (2)设始点B的坐标为(x,y)，则 -6-x=-7, -1-y=2，得x=1, y=-3所以把b的终点移到点A处时，始点在点B(1,-3)处 课内练习71. 已知向量的始点A、终点B的坐标如下，求的坐标，并求 AB： (1)A(8,6),B(2,1)； (2)A(-2,4),B(-2,-2)2. (

35、1)已知向量a的坐标为(1, 4)，若把其始点移到点A(-1,-3)处，其终点B 在哪里？ (2)已知向量b的长度为4，与x轴正向的夹角为120°若把其终点移到 点A(-6,-1)处，其始点B在哪里？ (7)向量的简单应用 中点公式图7-12xyAB·C·O· 在平面几何中，你会用圆规直尺，得出一条线段的中点现予以数字处理，若已知线段AB的端点坐标A(x1,y1), B(x2,y2)，线段中点C的坐标(x,y)是多少呢(见图7-12)？ 以向量处理这个问题再简单不过了视线段AB为向量，线段AC也视为向量，则这两个向量平行且指向相同，而的长是的一半，所以=

36、 =(x2-x1,y2-y1)，=(x-x1,y-y1)=(x2-x1,y2-y1)，解出 x=(x1+x2), y=(y1+y2) (7-1-6)这就是以(x1,y1),(x2,y2)为端点的线段的中点坐标公式图7-13xyAB·C·O·12018045°30° 例9 在某中心城市邻近有两个通讯中继站，一个在东偏北30°的120km处，另一个在北偏西45°的180km处现欲在这两个中继站的中点加建一个中继站，请确定加建站的位置 解 如图7-13，设原两个中继站为A,B，则加建站C是AB的中点以中心城市为原点，正东方向为x轴

37、正向，建立坐标系 A坐标为(x1,y1)，则 x1=120cos30°=60, y1=120sin30°=60；B的坐标为(x2,y2)，则 x2=180cos135°=-90, y2=180sin135°=90；C坐标为(x,y)，则由(7-1-6) x=(x1+x2)=15(2-3)»-11.68， y=(y1+y2)=15(2+3)»93.64 OC=(km) 设OC与x轴正向夹角为a，则a=180°+arctan»97°7¢ 所以加建的中继站应位于北偏西7°7¢的94

38、.36km处 例10 已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-2,1),(-1,3),(3,4)，求顶点D的坐标 分析 如图7-14，因平行四边形的两条对角线互相平分，所以可由中点坐标公式，先求出对角线AC的中点M的坐标，再由中点公式求得D的坐标图7-14xyAB·DO···CM· 解 如图7-14，设D的坐标为(x,y)，因 A(-2,1), C(3,4)，所以中点M的坐标为 ()=(,)；因B(-1,3)，所以 =, =，解之得 x=2, y=2所以D的坐标为(2,2) 课内练习81. 已知线段AB端点的坐标如下，求其中点

39、坐标： (1)A(3, 4), B(-3, 2)；(2)A(-7, -1), B(3, -6)2. 已知平行四边形ABCD三个顶点的坐标A(-3,0),B(2,-2),C(5,2)求顶点D第3题附图ENDBC60°A··· 的坐标3. 国道经过A村正东9km处的B村和北偏 西60°处的C村，C村距A村为11km 现在A村准备修一条便道连通国道，连接 点D距B,C村等距请问D的位置？便 道要多长？4. 已知AB上的点C分AC:CB=1:2，设A(x1,y1), B(x2,y2)，求C的坐标 (x,y) 平移变换公式图7-15xy·O&#

40、183;P0a1aa2P 在几何中，图形平移问题是经常遇到的例如第五章的定位作图法，实际上就是一个图形平移问题，当时为了避免重复作图，介绍了定位法定位法能解决从函数y=f(x)的图象得到y-b=f(x-a)的图象的问题，但却掩盖了这两个图象之间的平移关系现在如果换一个角度提问题：y=f(x)的图象F0，在x方向平移a个单位、y方向平移b个单位后，得到图象F，那么新图象F的方程是怎样的？以你在定位作图法所积累的经验，也许能写出方程y-b=f(x-a)，但究竟是什么道理呢？ 要解决这个问题，实际上只要解决下面的问题：若已知一个点P0(x0,y0),把它在x,y方向分别移动a1,a2个单位，到达P(

41、x,y) (见图7-15)，(x,y)与(x0,y0) 之间有怎样的关系？若记a=(a1,a2)，那么也可以说，P0移动向量a到达P后，平移前后的坐标有怎样的关系？ =(x-x0, y-y0)因为=a，故 x-x0=a1, y-y0=a2，所以 x=x0+a1, y=y0+a2 (7-1-7) 在坐标平面内，把一个点P0移动向量a后到达点P，是一个变换，称为点的平移变换(7-1-7)是平移变换的坐标变换公式 按(7-1-7)处理前面提出的问题，就十分明确了：原图象F0的方程是y=f(x)，经平移向量a(a,b)后，F0上每一点P0(x0,y0)变换到P(x,y)，据(7-1-7)应有 x0=x

42、-a, y0=y-b，因为(x0,y0)满足y0=f(x0)，因此F上每一点(x,y)应满足y-b=f(x-a)这正是你所预期的结论 例11 把已知函数y=x2+6x+11的图象F0平移向量a=(3,-2)，得到图象F求F的方程 解 设P(x, y)为图象F上任意一点，它是由F0上点P0(x0,y0)经平移后得到据平移坐标变换公式(7-1-7) x=x0+3, y=y0-2， 即 x0=x-3, y0=y+2因为P0在F0上，所以P0的坐标满足y=x2+6x+11，因此(x,y)满足 (y+2)=(x-3)2+6(x-3)+11，即 y=x2所以F的方程为y=x2 课内练习91. 已知点A平移

43、向量a后成为点A1请应用平移坐标变换公式，求下列有 关坐标： (1)a=(-1,2), A1(4,-3)，求A；(2)A(-2,0), a=(3,-2)，求A1； (3)A(1,-3), A1(1,3)，求a2. 把函数y=sin(2x+)+1的图象F0，平移向量a(-,-2)后成为图象F，求 F的方程 3. 直线方程 有了向量的那么多的准备，可以解决直线问题了 (1) 点向式直线方程图7-16xy·OA·Pxyml 在上部分开始你已经知道，一个点和一个方向向量，就能确定一条直线；你也知道了，所谓给定一个向量就是给出它的坐标现设给定点A(x0,y0)和方向向量m(a,b)那

44、么我们讨论的由A和m所确定的直线l可以在图上画出来(见图7-16)，但在数学上将表示为怎样的形式呢？ 直线方程的点向式 在l上任取一点P(x,y)，向量 =(x-x0, y-yo)；据方向向量的定义，|m；反之，若|m，则PÎl，即 PÎl Û |m；又据向量平行的充要条件， PÎl Û |m Û (1)把最后那个比式写成 F(x,y)=0，那么就有结论 PÎl Û F(x,y)=0你回忆一下第五章关于曲线方程的内容所谓曲线l的方程是F(x,y)=0的意思是：点P(x,y)Îl，则(x,y)应满足F(x,

45、y)=0；反之，若(x,y)满足方程F(x,y)=0，则P(x,y)Îl.直线不过是曲线的特例，因此(1)就是直线l的方程由此得结论：过点A(x0,y0)、以m(a,b)为方向向量的直线方程是 (7-1-8)称(7-1-8)为直线方程的点向式 例12 求下列直线l的方程： (1)过点B(0,-1)且以m(2,3)为方向向量； (2)过点A(3,-1)且平行于向量a(-1,-2)； (3)过点C(-1,0)且平行于点A(-1,-3), B(3,-2)的连线； (4)过(-1, 2)且平行于第,象限的分角线 解 (1)据直线方程的点向式(7-1-8)，l的方程为 ，即3x-2y-2=0

46、(2)据题意，a是方向向量应用(7-1-8)，得l的方程为 ，即2x-y-7=0 (3)l的方向向量可取为，=(3-(-1),-2-(-3)=(4,1)，由(7-1-8)得l的方程为 ，即x-4y+1=0 (4)第,象限分角线的方向向量可取为m(1,1), l平行于,象限的分角线，因此m也是l的方向向量所以l的方程为 ，即 x - y +3=0 课内练习101. 求下列直线l的方程： (1)过点C(-2,-1)且以n(-3,-1)为方向向量； (2)过点B(-13,10)且平行于向量p(7,-1)； (3)过点P(2,2)且平行于连接Q(2,-2),R(1,-3)的直线图7-17(1)xy&#

47、183;OAmlx0y0 (4)过点(a,-2a)且平行于第,象限的分角线 在(7-1-8)中，我们默认a¹0,b¹0，若a,b中有一个为0，(7-1-8)的分母将出现0，显然已经不合法了，这时的直线方程应该是怎样的呢？ 当a=0，即l的方向向量为m(0,b), b¹0，这表示m是平行于y轴的，因此l是过点A(x0,y0)且图7-17(2)xy·OAmlx0y0平行于y轴的直线(或与y轴重合)点P(x,y)ÎlÛx=x0，即l的方程是x=x0(见图7-17(1) 同理，过A(x0,y0)、以m(a,0),a¹0为方向向量的直

48、线l是平行于x轴(或与x轴重合)的，它的方程是y=y0(见图8-17(2) 例13 求下列直线l的方程： (1)过点A(3,-2)且平行于x轴； (2)过点B(-2,-3)且平行于y轴； (3)x轴所在的直线； (4)过点C(1,-3),B(100,-3)； (5)过点A(a,b),B(a,c)，其中b¹c 解 (1)平行于x轴的直线的方程为y=y0，因为l过A(3,-2)，所以y0=-2故l的方程为y=-2 (2) 平行于y轴的直线的方程为x=x0，因为l过B(-2,-3)，所以x0=-2故l的方程为x=-2 (3)x轴所在的直线，就是过原点O(0,0)、与x轴重合的直线，因此方程

49、是y=0 (4)l过C,B，因此可以取为方向向量 =(1-100,-3-(-3)=(-99,0)，所以l是平行于x轴的直线；又因为过B(100,-3)，所以l的方程是y=-3 (5)可取向量为l的方向向量，=(a-a,c-b)=(0,c-b)，所以l平行于y轴(或与y轴重合)；又因为l过A(a,b)，所以l的方程为x=a 课内练习111. 求下列直线l的方程： (1)过点A(-4,-1)且平行于x轴； (2)过点B(-a,-9), (aÎR)且平行于y轴； (3)y轴所在的直线； (4)过点C(1,-3),B(1,3)； (5)过点A(a,b),B(c,b)，其中a¹c 点

50、向式直线方程的应用 已知一个点和方向向量，并非是确定一条直线的唯一方式，我们还可以有其它确定直线的方式，但在很多情况下，还是可以归结为已知一个点和方向向量的方式例如两点A(x1,y1), B(x2,y2)可以确定一条直线AB，你只要认为AB是过点A(或B)、以m=(或)为方向向量，立即就可以用上面的方法得出它的方程 例14 求下列直线方程 (1) l1：过点A(3,3),B(2,1)； (2) l2：过点C(0,1),D(2,0)； (3) l3：过原点O及D(3,-5)； (4) l4：在x,y轴上的截距为-8, 5；并求l1上对应于横坐标为4的点P的纵坐标yP，对应于纵坐标为-3的点Q的横

51、坐标xQ 解 (1)=(2-3,1-3)=(-1,-2)，据(7-1-8)，l的方程为 ，即2x-y-3=0； 以点P的横坐标4代入，得8-yP-3=0，解得yP=5，即P的坐标为(4,5)；以点Q的纵坐标-3代入得2xQ+3-3=0, 解得xQ=0,即Q的坐标为(0,-3) (2)=(2-0,0-1)=(2,-1)，据(7-1-8)，l的方程为 ，即x+2y-2=0 (3)=(3,-5)，据(7-1-8)，l的方程为 ，即5x+3y=0 (4)所谓x轴上的截距，是指直线与x轴交点的横坐标，而y轴上的截距，则是指直线与y轴交点的纵坐标，因此题意表示l过点A(-8,0), B(0, 5)=(0-

52、(-8), 5-0)=(8, 5)，据(7-1-8)，l的方程为 ，即5x-8y+40=0 图7-18xy·OAl·DCB· 例15 已知DABC的顶点坐标为A(2,1),B(-2, 4), C(0,5)，求BC边、BC边上中线所在直线的方程 解 作出DABC的草图(见图7-18) =(2, 1)，据(7-1-8)，BC边所在直线方程为 ，即 x-2y+10=0； 设BC边上的中点为D据中点坐标公式(7-1-6)，D坐标为()=(-1,)中线为线段AD =(3, -)，AD所在直线方程为，所以中线所在直线方程为 x+3y-10=0，即7x+6y-20=0 课内练习121. 求下列直线的方程 (1) l1：过点P(-3,3),Q(-2,1)； (2) l2