大位移变形弹性理论的变分原理基础

1、第8章 大位移变形弹性理论的变分原理基础§8.1 大位移变形弹性理论的Lagrange法大位移变形也称为有限变形。一般研究弹性体的大位移变形时多采用Lagrange法。在Lagrange法中，利用变形前物体内一点的坐标，来决定该点在随后变形中的位置。本节首先说明了大位移变形的应变、位移、应力之间的关系式以及相关方程式的简要推导过程。将卡氏直角坐标固定在空间，这个坐标值在变形过程中不改变，但随着各点在移动，坐标架的形状发生改变。研究弹性体的变形，就是研究坐标架的变形。变形前弹性体任一点A0的位置可由坐标系原点至该点的矢量表示，设卡氏直角坐标系的基向量（单位矢量）为，则可表示为 （8-1

2、）现假定A0点变形后移至新的位置A点，并用表示A点的位置矢量，过A0点的微小正六面体的三个正交边，也均发生相应的变形，从而形成过A点的一个新的平行六面体（注意一般不再是正六面体），平行六面体的三个边可分别由，（，称为格向量）给出，如图8-1所示。图7-1 无限小平行六面体的几何图形及平衡设，是位移向量，可表示为 （8-2）而 （8-3）式中称为Kronecker算子， （8-4）又因为，有 （8-5）而 （8-6）式中及本章中，记号表示对于的微分，即。将(8-3)、（8-6）式代入（8-5）式中，得 （8-7）式中 （8-8）且有 （8-9）在大位移条件下，应变可定义为 （8-10）式中 （8

3、-11）将（8-8）、（8-9）式代入（8-10）式中，可得应变与位移之间的关系式为了以后需要，将上式改写为下面形式 （8-12）（8-12）式就是我们熟知的大位移应变位移关系式，展为一般形式为下面六个方程 （8-13）下面导出平衡方程。作用在变形后六面体上的面力分别可写出如下作用在变形六面体内的体力为。则变形六面体的力的平衡平衡方程式为 （8-14）而沿三个格向量方向上的分量分别为 （8-15）于是可写为 （8-16）而体力也可以用其分量表示为 （8-17）将（8-16）、（8-17）式代入（8-14）式中，得 （8-18）为了以后使用方便，将上式改写为如下形式 （8-19）这里要注意的是，

4、面积和体积都是对未变形的状态而言的。外力已知的表面边界条件（在上）可写为 （在上） （8-20）显然，在式（8-19）和(8-20)中，如果略去中之，则化简为小位移的平衡条件和力的边界条件。位移已给的边界条件（在上）可写为 （在上） （8-21）§8.2 大位移变形弹性理论的最小位能原理小位移变形的最小位能原理同样也适用于大位移变形。大位移变形的最小位能原理与小位移变形的最小位能原理相同，只是将平衡方程（8-19）和表面外力边界条件（8-20）两式分别替代原方程中的平衡方程和力的边界条件即可。取最小位能泛函的一阶变分为 （8-22）根据（8-12）式的应变位移关系 （8-23）同时，

5、利用格林公式，可以证明 （8-24）注意到，且在上由于，所以，上述积分只有在上有值，于是有 （8-25）（8-22）式可以写为（8-26）由泛函极值条件给出下面欧拉方程和边界条件 （在V内） （8-27） （在上） （8-28）将（8-27）式与（8-19）式、（8-28）式与（8-20）式相比较，显然可知 （8-29）(8-29)式为应力应变关系，故由最小位能原理泛函的极值条件可以得到平衡方程（8-19）式和力的边界条件（8-20）式。以下证明它是最小。将代入位能泛函中可得注意，这里的是满足所有条件和方程的真解。根据（8-22）式，有而 （8-30）对于线性物理关系，则有将上式代入（8-30

6、）式，有 （8-31）由应力与应变所造成的应变能密度，一定为正值。而对于非线性的物理关系，一般材料的应力应变关系可以使得 （8-32）所以也是正值，这就证明了在极值函数时 （8-33）于是，大位移弹性理论的最小位能原理得到证明。最小位能原理可叙述为：在满足大位移应变关系（8-12）式和边界条件中位移已给定的条件（8-21）式的所有允许的和中，实际的和必使弹性体的总位能 （8-34）为最小值。这里的应力应变关系应用（8-29）式。这一原理与线性的最小位能原理相似，其差别只是采用了非线性的应变位移关系而已。§8.3 大位移变形弹性理论的余能驻值定理余能原理在大位移变形弹性体并不存在着极小

7、值原理，而存在有余能驻值定理。大位移变形弹性理论的余能原理可叙述为：在满足大位移变形的平衡方程（8-19）式及边界外力已给的边界条件（8-20）式的所有允许的中，实际的应力及位移必使弹性体的泛函 （8-35）为驻值。为余能密度，它满足 （8-36）注意到该原理属于两变量变分原理，原因是应力分量和位移是偶合的，不能再单纯地用应力分量表达了。下面将证明，使式（8-35）的泛函为驻值的和，必将满足边界位移（8-21）式。在证明中，我们引用了应力应变关系（8-36）式中的第二个式子，和应变位移关系（8-21）式。对的变分式为（8-37）利用了（8-36）式中的第二式及（8-12）式以后（8-38）而且

8、，因为为一常数，所以（8-37）式第三项可化为 （8-39）所以，有 （8-40）（8-40）式中等号右侧第一项利用格林公式化简后的形式如将上式代入（8-40）式后，可进一步化简为 （8-41）因为自变函数满足平衡方程（8-19）式，而且为不变的，故只有 （在V内） （8-42）另外，因为在边界上，满足外力已知条件（8-20）式，所以只有 （在内） （8-43）因为，将（8-42）、（8-43）式代入（8-41）式，（8-41）式可化为 （8-44）根据驻值条件，给出 （8-45）（8-45）式就是（8-21）式，也就是我们所需要证明的，于是以上余能驻值定理得到证明。十分明显，当是小位移时，从

9、（8-35）式中略去高级小量，即是第四章的小位移最小余能原理。以上证明可适用于线性与非线性弹性体。§8.4 大位移非线性弹性理论的广义变分原理我们也可以仿照小位移线性弹性理论一样，利用拉格朗日乘子法，导出大位移非线性弹性理论的有关的广义变分原理。最小位能原理（见§8-2）泛函中的必须满足应变位移关系（8-12）式和边界位移已知的条件（8-21）式。设和为拉格朗日乘子，于是，可导出无条件广义变分泛函为 （8-46）把当作独立变量进行变分，得 （8-47）其中，利用应力应变关系（8-29）式，有 （8-48）其次，利用格林公式（8-49）其中为表面外向法线单位矢量。把（8-48

10、）、（8-49）式代入（8-47）式得 （8-50）因为都是独立变分，由上式可得 在V内 在V内 在V内 在内 在内 在内 （8-51a,b,c,d,e,f）(8-51a,f)给出了待定的拉格朗日乘子及，即 （8-52）其余各式满足应变位移关系（8-51b），平衡方程（8-51c），位移已给定的边界条件（8-51d）和外力已给定的边界条件（8-51e），即满足了（8-12）、（8-19）、（8-20）、（8-21）各式，推导过程中我们只引用了物理关系（8-29）式。将（8-52）式代入（8-46）式，即得到广义变分原理的泛函。于是，可得变分原理（基于最小位能原理导出的大位移非线性弹性理论的完全

11、广义变分原理）满足（8-12）、（8-19）、（8-20）、（8-21）式的解必使下述泛函 （8-53）为驻值。变分原理（基于余能驻值原理导出的大位移非线性弹性理论的完全广义变分原理）满足（8-12）、（8-19）、（8-20）、（8-21）式的解必使下述泛函 （8-54）为驻值。（8-54）式的证明可以按以下步骤进行。上式的泛函是在（8-35）式的泛函基础上增加由拉格朗日乘子组成的附加部分而形成下面的泛函 （8-55）对（8-55）式中的取变分 （8-56）上式等号右边第四个积分，利用分部积分可化为下式 （8-57）（8-56）式等号右边第一个积分中的第三项利用分部积分可化为 （8-58）将

12、（8-57）式和（8-58）两式代入（8-56）式，经过整理可得下式（8-59）取，因为都是独立函数，相应的变分也是独立，故由（8-59）是为零的条件，并且由式中的第1、6、4项，可得 （在V内） （8-60a,b,c）由（8-59）式的第二项，第五项及第七项可知拉格朗日乘子为位移，即 （在上） （8-61） （在V内和S上） （8-62）第三项给出了位移给定边界条件，而（8-60a,b,c）分别得到应变位移关系，平衡方程和力给定的边界条件。显然，以上为无条件的完全变分原理，问题证毕。将（8-61）、（8-62）式代入（8-55）式，即可求得泛函（8-54）式。现在让我们证明大位移问题两个广义

13、变分原理的等同性。从（8-53）、（8-54）式，有 （8-63）利用格林公式上式等号右边第一个积分可化为所以0，这只是形式上的差别，实质上是解决相同物理问题的两个相同的泛函（只差一个符号）。所以，对完全的广义变分原理来说，基于位能和基于余能的广义变分原理，因为其满足等同原理，两者无本质上的差别，这一概念是十分重要的，有时，对两种形式的泛函统称为广义变分原理泛函，而在形式上可指明以“位能形式”和以“余能形式”表示而已。利用了（8-36）式第一式后，我们可以分别从导出，从导出，即 （8-64） （8-65）以上四个广义泛函并没有本质上的差别，只是和是以位能形式（）表示，而和是以余能形式（）表示。

14、前者独立变量为而后者独立变量为。§8.5 大位移变形弹性理论的不完全的广义变分原理对于大位移变形弹性理论也存在各种不同的不完全的广义变分原理，它们的泛函都可以通过拉格朗日乘子法来完成，也可以从广义位能原理和余能原理中追加变分条件来完成。1、大位移非线性弹性不完全广义位能变分原理变分原理IA：在满足给定位移的边界条件（8-21）式的所有允许的中，实际的必使下列广义泛函为驻值 （8-66）证明 泛函对自变量之一只要求满足位移边界，即（在Su上），显然 （在Su上） （8-67）现在用拉格朗日乘子将应变位移关系引入泛函，于是形成以下泛函（8-68）的变分为引用了（8-29）式，上式可化为

15、（8-69）（8-69）式等号右边末项利用格林公式又可以化为（8-70）（8-70）式等号右侧第一个积分为周边S积分。而，引用（8-67）式，显然（8-70）式可写为（8-71）把（8-71）式代入（8-69）式中，经过整理后可得下式 （8-72）根据的条件，且都是独立变分，所以得 (a) ，即 （在V内） (b) （在V内） (c) （在内）(d) （在V内） （8-73a,b,c,d）上式（b）、（c）、（d）中均引用了（a）的结果。显然（8-73）式中（a）表示，（b）为平衡方程，（c）为在给定力的边界上力的边界条件，（d）为应变位移关系式。于是证明了IA的不完全变分原理。将（8-73a

16、）式得到的代入（8-68）式即得到（8-66）式。我们将不加证明地给出下面几个不完全广义变分原理。变分原理IB：在满足大位移应变关系（8-12）式的所有允许的中，实际的必使下列广义泛函为驻值 （8-74）变分原理IC：在满足位移边界中的一个给定位移边界如的所有允许的须使下列广义泛函为驻值 （8-75）变分原理ID：在满足一个应变位移关系式如的所有允许的中，实际的必使下列广义泛函为驻值 （8-76）还有的不完全广义变分原理，满足一部分应变位移关系式或满足一部分已知的位移边界条件等等，这里不再一一列出。2、大位移非线性弹性不完全广义余能变分原理变分原理A：在满足边界外力已知的条件（8-20）式的所

17、有允许的中，实际的j必使下列广义泛函为驻值 （8-77）证明 因为满足力的边界（在上），所以有 （8-78）首先，利用拉格朗日乘子法，将平衡方程（8-19）式作为约束方程用拉格朗日乘子引入到原有的余能泛函（8-35）式中，组成如下的泛函 （8-79）（8-79）式的变分为 （8-80）利用格林公式，上式等号右侧第一个积分中的第三项和最后一个积分可化为 （8-81） （8-82）将（8-81）、（8-82）式代入（8-80）式，并利用（8-78）式和（8-36）式第二式，经过整理并移项后，可得 （8-83）上式等号右侧第一个积分是由下式得到（8-84）根据（8-83）式，取时，都是独立变分，所以

18、，得 （a） （在V内） （b） （在上） （c） （在S上） （d） （在V内） （e） （在V内） （8-85a,b,c,d,e）上式（c）、（d）两式给出了拉格朗日乘子代表位移，（a）式是应变位移关系式，（e）式为平衡方程，（b）式为位移给定的边界条件。将上式（c）、（d）代入（8-79）式，即得到（8-77）式。因此，的泛函得到证明。 该式编者作了修改，与原著有别（增加了项）。下面的（8-86）式类同。变分原理B：在满足平衡方程（8-19）式的所有允许的中，实际的必使下列广义泛函为驻值 （8-86）证明上式并不困难，我们可以取拉格朗日乘子，将给定力的边界条件作为约束条件，组成新的泛函如

19、下： （8-87）对（8-87）式取变分 （8-88）（8-88）式等号右侧最后一个积分可以化为下式 （8-89）（8-89）式等号右侧第一个积分又可化为下式 （8-90）因为满足平衡方程的条件，所以 （8-91）根据上式，则（8-90）式可化为 （8-92）而（8-88）式等号右侧第一个积分中的末项，又可以化为 （8-93）把（8-92）式代入（8-89）式，再与（8-93）式一起代入（8-88）式，并引用（8-36）第二式，经过整理后，可化为下式 （8-94）当取时，因为都是独立变分，故有（a） （在V内）（b） （在上）（c） （在S上）（d） （在V内）（e） （在上） （8-95a,

20、b,c,d,e）显然，上式中（a）、（b）分别表示应变位移关系和力给定的力的边界条件，（c）、（d）表示乘子等于负的位移，（e）表示位移给定的位移边界条件。现在将（8-95）式（c）、(d)式代入（8-87）式中，即可得到（8-86）式。以上问题得到证明。变分原理C：在满足一个外力已知的条件如的所有允许的中，实际的必使下列广义泛函为驻值 （8-96）变分原理D：在满足一个平衡方程如的所有允许的中，实际的必使下列泛函为驻值 （8-97）还有其它情形的不完全广义余能泛函，此处就不一一列举了。除了上述的变分泛函外，尚有大位移变形非线性弹性理论的分区完全或不完全广义变分原理，其实质上与小位移情形有些类

21、似，同样这里也是由于非线性应变位移关系引起的某些物理量之变化。限于篇幅，这里不再介绍，需要时可参阅文献1第八章的有关内容。§8.6 弹性动力学问题的变分原理对于弹性体动力学问题，所有位移，应变和应力，都是空间坐标和时间坐标的函数，即 （8-98）而体积力一般也可以是时间坐标的函数，即 （8-99）物体的单元体积在运动时，除了受体积力作用外，还受到惯性力的作用，其中为物体的密度。对于弹性体的平衡方程（4-1）式或（8-19）式应该改写为动力方程 （小位移时） （8-100） （大位移时） （8-101）其它关系如旧，如（A）小位移问题（1）应变位移关系为 （8-102）（2）应力应变关

22、系 （8-103） （各向异性） （8-104） （8-105）或用应力表示应变 （8-106） （8-107） （8-108）（3）边界条件 （在上） （8-109） （在上） （8-110）（B）大位移问题（1）应变位移关系式 （8-111）（2）应力应变关系与小位移时相同。（3）边界条件 （在上） （8-112） （在上） （8-113）在动力学问题中，还必须知道物体在某一时刻的位移和速度，才能使解唯一地确定，这个条件就是动力学问题的初始条件。一般的，把已知初始值的时间取为，则初始条件可表示为在时： （8-114）式中，是已知的的函数。如果把一个系统看作是能量守恒系统，位能泛函可以写为

23、（8-115）动能应该是 （8-116）作用量为 （8-117）它也称为拉格朗日函数。最小作用量定理要求， （8-118）这里的在和两个积分限假定是已给定的，即 （8-119）所以，弹性动力学的哈密顿（Hamilton）原理为：在边界上满足给定边界位移（8-110）式或（8-113）式，在内满足应变位移关系（8-102）式和（8-111）式，在和时满足限定条件（8-119）式的条件下，使泛函 （8-120）为极值的必导出问题的正确解。即必可导出满足动力学方程的（8-100）式或（8-101）式和边界外力已知的条件（8-109）式和（8-112）式的。的变分极值给出 （8-121）上式也称为弹性

24、动力学的虚功原理。现在让我们考虑问题的一个近似解。设 （8-122）其中为时间函数，也称为广义坐标。而且不论是多少，一定满足上的位移已给定的边界条件。从（8-122）式，我们得到 （8-123） （8-124）将（8-123）式和（8-124）式代入（8-116）式和中，我们就可以用和来表示拉格朗日函数为 （8-125）对取 （8-126）这里我们已经使用了积分限定条件（8-119）式，即 （） （8-127）如果引进广义力，并定义广义力为 （8-128）由上式，可以得到 （8-129）因为都是独立的，因此有 （8-130）将（8-126）式和（8-128）式代入（8-121）式，得 （8-131）根据变分预备定理，可以得到个独立的弹性体拉格朗日运动学方程 （） （8-132）这个关系式适用于大位移理论和小位移理论，它是研究颤振的基本动力学方程式。（8-120）式的泛函是在已给定边界位移和应力应变关系（8-102）式或（8-111）式条件下的变分原理。显然，这是有条件的变分原理。如果利用了拉格朗日乘子后，通过变分，也可以化为弹性动力学广义变分原理，该原理可以写成：在和时，是已给的条件下，弹性体动力学的的