奥赛立体几何中的截面问题学生

1、立体几何的截面问题一主要知识：（1）【公理1】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.意义作为判断和证明是否在平面内的依据；证明点在某平面内的依据；检验某面是否平面的依据.（2）【公理2】如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.意义作为判断和证明两平面是否相交；证明点在某直线上；证明三点共线；证明三线共点.（3）【公理3】经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论经过两条相交直线有且只有一个平面.推论经过两条平行直线有且只有一个平面.意义公理及其推论

2、是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.（4）【公理4】平行于同一条直线的两条直线互相平行（5）【等角定理】一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。推论两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相2【主要题型】截面形状的判断 截面面积和周长的计算 截面图形的计数 截面图形的性质和最值二预备练习1. 如图,点确定的平面与点确定的平面相交于直线, 且直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,试作出面与面的交线2. 如图, 分别是四面体的棱上的点，若直线与直线的交点为，直线与

3、直线的交点为，与相交于，证明三点共线3. 四面体中,分别为的中点,在上, 在上,且有,求证：三线共点4. 平行六面体中, 平面，求证：三例题讲解题型1。截面形状判断1（05年全国）如图,分别是正方体的棱上的中点,试作出过三点的截面是（ ）A三角形 B四边形 C五边形 D六边形变题：过棱长为2的正方体棱中点作一个与底面成.角的截面,则截面的图形为 题型2。截面面积及周长的计算1. 过正方体的对角线的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为 ( )ABC D2. 已知正四棱锥的棱长都等于，侧棱的中点分别为和，若过三点的平面交侧棱于，则四边形的面积为_3. 如图，正方体的三

4、条棱为,是体对角线。点分别在上，,那么，平面向各个方向延伸后与正方体的交线组成的多边形面积是多少？4. 一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”，棱长为1的正方体中，分别是,的中点，求过三点的截面图形的周长。题型3。截面图形的计数1.设四棱锥 的底面不是平行四边形, 用平面去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面( )A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个2.过正四面体的顶点做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面成角，问这样的截面可作几个？题型4。截面图形的性质1水平桌面上放置着一个容积为的密闭的长方体玻璃容器,其中装有的水

5、则下列说法中正确的是 把容器一端慢慢提起,使容器的一条棱保持在桌面上,这个过程中,水的形状始终是柱体； 在中的运动过程中,水面是矩形； 把容器提离桌面,随意转动,水面始终过长方体的一个定点； 在中水与容器的接触面积始终不变2设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（ ）A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值，两者不等D是一个与面QPS无关的常数3如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（ ）AS为定值，不为定值 BS不为

6、定值，为定值CS与均为定值 DS与均不为定值题型5。截面图形的最值1. 如图，在正方体中盛满水，分别为、的中点.若三个小孔分别位于三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的（ ）A、 B、 C、 D、2. 顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，垂足为B，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥OHPC的体积最大时，OB的长是 （ ）A. B. C. D. 3. 如图，四面体的各面都是锐角三角形，且，平面分别截棱于点,求四边形的周长最小值4. 在长方体中，。记过的截面的面积为，求的最小值，并指出此时截面的位置。三课外练习：1.正方体

7、的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形；下述选项正确的是： ( )A. (1)(2)(5) B. (1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D. (3)(4)(5) 2 (08年江西)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部P图1P图2镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2） 有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点；C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点；D若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）3.已知正四面体的棱长为2，求出所有与它的四个顶点距离相等的截面的面积之和。4.过正方体的对角线的截面面积为，记的最大值