广义积分与含参量积分

1、第十二章广义积分与含参量积分一。广义积分1. 无穷积分与瑕积分定义：设为瑕点，。2。收敛充要条件。 设为瑕点，3无穷积分的性质（1） 若收敛，则。（2） 若收敛，则收敛。（3） 与有相同的敛散性。（4） 若与收敛，则。 （5）,（已知其中两项收敛）. （6）若收敛，且上严格增加，存在连续导数，则。 瑕积分有类似的性质。4 无穷积分与瑕积分可互化设为瑕点，。5 收敛判别法（1）若 ，则；。若 ，则；。常用来比较的广义积分：；。极限形式：，若，则收敛； 若，则发散。设为的瑕点，若，则收敛； 若，则发散。 （2）若，上有界，则当 时，收敛。若在上有界，则当 时，收敛 二含参量积分（一） 概念：1 定

2、义（1）含参变量的有限积分：（2）含参变量的无穷积分：。2 无界函数的广义积分可以化为无穷限的广义积分。3 含参量无穷积分可以化为函数级数：其中为单调增加趋于无穷的数列，。所以，含参量无穷积分的理论可平行于函数级数来建立。（二） 含参量无穷积分一致收敛判别法1 利用定义判别：，则在上一致收敛。2 利用充要条件：（1）柯西准则：在上一致收敛的充要条件是.(2) 在上一致收敛任给单调递增数列在上一致收敛。3M-判别法：若有控制函数满足：收敛，则在上一致收敛。4阿贝尔判别法：若（1）关于在一致收敛；（2）单调，并关于为一致有界；则关于在上一致收敛。5狄立克莱判别法：若（1）对于和一致有界；（2）单调

3、，并当时关于上的一致趋于零；则关于在上一致收敛。6证明不一致收敛的方法：（1）若，则在上不一致收敛。（2）若连续，又在上收敛，但在处发散，则在上不一致收敛。（见例4）（三）含参量积分的分析性质：性质含 参 量 定 积 分含参量无穷积分条 件结 论条 件结 论连续性关于在一致收敛。可微性在上一致收敛。在上可微，且可积性I（x）、J（y）分别在a，b、c，d可积在上一致收敛。 I（x）在a，b可积性质含参量无穷积分条 件结 论可积性关于y在任何闭区间c，d一致收敛；关于x在任何闭区间a，b一致收敛；与中有一个收敛。（四）利用含参量积分计算定积分。方法一：（1） 把表成含参量积分；（2） 验证条件，

4、施行积分号下积分法。方法二：（1） 找一个适当的含参量积分：，使得，从而，；（2） 验证条件，施行积分号下微分法，（要关于x的原函数，易于求得）； （3） 对求积分；（4） 令取极限，或取，以确定常数，从而得出的表达式；（5） 。上述积分号下积分法与积分号下微分法就是交换两种运算的顺序，其作用是使不易直接求出的积分，先经过积分处理或微分处理之后，变得易于求出。三例题1 设，求：。解：及都在上连续，且，又因为，收敛，所以，一致收敛，从而，= （8。1）所以， ，当 ，由（8。1）式，得=。2 设在内成立不等式，若在上一致收敛，证明：在上一致收敛且绝对收敛。 证明：由条件，从而有，。所以，在上一致

5、收敛且绝对收敛。3 证明：若（存在），则。证明：先证在上一致收敛。方法一：用阿贝尔判别法因为（1）收敛，即关于一致收敛；（2）且对固定的y ，对x单调。所以，在上一致收敛。 方法二：关于在非负、单调减少，在可积，由积分第二中值定理，对一切，有因此，从收敛，可以推出在上一致收敛。因为收敛，在上一致收敛，所以，当时，有时， 。所以，。4设在连续,对上每一个,收敛,但积分在发散,证明:这积分在非一致收敛. 证明:因为发散,所以，.又因为在连续,所以,在一致连续.对,有从而有， 故所以，关于非一致收敛.5。证明：在上连续可微。（厦门大学2002年试卷）证明：,在连续； 单调一致趋于零，由狄立克莱判别法知在一致收敛，从而在连续可微，因此，在连续可微，由的任意性，在连续可微。6设在连续，证明：。（武汉大学2003年试卷）证明：因为在连续，对任意的自然数，从而，在0，1有界，设。因为，由的连续性，所以，从而有。所以，。练习题1. 证明，若函数在是正值单调减少的，且，则无穷积分与极限同时收敛，且。2. 判别下列无穷积分的敛散性：（1）；（2）；（3）。3证明，若函数在可导，且单调减少，而积分收敛，则无穷积分收敛。4判别广义积分的绝对收敛与条件收敛。5证明，若瑕积分收敛（0是瑕点），且函数在（0，1）上单调，则。6已知，计算。7计算无