实数讲义教师版

1、讲义编号： 组长签字： 签字日期： 学员编号： 年 级：八年级 课时数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：课 题实数授课日期及时段2014年11月7日18:3020:30教学目标掌握实数的范围以及实数大小比较、平方根和立方根重点、难点实数的范围、无理数的判断教 学 内 容一、疑难讲解2、 知识点梳理考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。正数和零的算术平方根都只有一

2、个，零的算术平方根是零。 （0） ；注意的双重非负性：-（<0） 03、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点二、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。正整数又叫自然数。正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）

3、开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）考点三、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负

4、数，两个负数，绝对值大的反而小。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点四、实数大小的比较 1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。考点五、科学记数法和近似数 1、

5、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 三、典型例题1下面几个数：0.23 ，1.010010001，3，其中，无理数的个数有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001，3，是无理数故选C 2（2分）（2013河北）下列运

6、算中，正确的是（）A=±3B=2C（2）0=0D21=考点：负整数指数幂；算术平方根；立方根；零指数幂716288 分析：根据算术平方根的定义，立方根的定义，任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、=3，故本选项错误；B、=2，故本选项错误；C、（2）0=1，故本选项错误；D、21=，故本选项正确故选D点评：本题考查了任何不等于零的数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，算术平方根、立方根的定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键练习1、下列说法中正确的是（ ）A、的平方根是±3 B、1的

7、立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，=9，9的平方根是±3，A正确1的立方根是1，=1，是5的平方根，B、C、D都不正确2、如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）A、1 B、1.4 C、 D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，A表示数为，故选C3、 【答案】= 3.1415，9310因此3-90，3-100 4、（2012贵州安顺）在实

8、数：3.14159，1.010010001，中，无理数的（）A1个B2个C3个D 4个考点：无理数。解答：解：=4，无理数有：1.010010001，故选B5（2012六盘水）数字，cos45°，中是无理数的个数有（）个A1B2C3D4考点：无理数；特殊角的三角函数值。分析：根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给的数据判断即可解答：解：=2，cos45°=，所以数字，cos45°，中无理数的有：，cos45°，共3个故选C点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式6（2012黔东南州）计算12等

9、于（）A1B3C1D3解析：12=3故选D7. （2012湖北荆门）下列实数中，无理数是（）ABCD|2|解析：A、是有理数，故本选项错误；B、是无理数，故本选项正确；C、=3，是有理数，故本选项错误；D、|2|=2，是有理数，故本选项错误；故选B3设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选B3（2012娄底）计算：|2|+（3）0=1考点：实数的运算；零指数幂。专题：计算题。分析：分别根据绝对值的性质、0指数幂及算术平方根的定义计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可解答：解：原式=2+12=1故答案为：1点评：本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性

10、质、0指数幂及算术平方根的定义是解答此题的关键4（2012福州） (1) 计算：|3|(1)0考点：实数的运算；零指数幂专题：计算题分析：(1) 原式第一项根据绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数进行化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用|a|化简，合并后即可得到结果；解答： (1) 解：|3|(1)03122练习：1、1）1.25的算术平方根是_；平方根是_. 2） -27立方根是_. 3）_， _，_. 【答案】1）；.2）-3. 3）， ， 2（2012梅州）计算：+2sin60°+（）13、（2012广东）计算：2sin45°（1+）0+21考点：实数的

11、运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。解答：解：原式=2×1+=4（2012广东珠海）计算：解：|1|+（2012）0（）1，=21+12，=05、点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为_解析：在数轴上找到A、B两点，6、实数在数轴上的位置如图所示,化简:= 练习1、如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）A1 B1 C2 D2【答案】选C2、 已知实数、在数轴上的位置如图所示： 化简 【答案】：6化简下列各式：(1) |-1.4|(2) |-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3

12、| (x3)(5) |x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。解：(1) =1.4141.4 |-1.4|=1.4-(2) =3.141593.142 |-3.142|=3.142-(3) , |-|=-(4) x3, x-30, |x-|x-3|=|x-(3-x)| =|2x-3| = 说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|(x+3)20, (x+3)2+10|x2

13、+6x+10|= x2+6x+10练习： 1、化简：【答案】=+-=7已知：=0，求实数a, b的值。分析：已知等式左边分母不能为0，只能有0，则要求a+70，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值。解：由题意得 由(2)得 a2=49 a=±7由(3)得 a>-7，a=-7不合题意舍去。只取a=7把a=7代入(1)得b=3a=21a=7, b=21为所求。8已知、b互为相反数，c、d互为倒数，x、y满足，求的值练习：1、已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。解：(x-6)2+|

14、y+2z|=0且(x-6)20, 0, |y+2z|0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。 解这个方程组得 (x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=652、已知那么a+b-c的值为_【答案】初中阶段的三个非负数： ，a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-28、（9分）（2013河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a（ab）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：25=2×（25）+1=2×（3）+1=6+1=5=´-+（1）求（2）3的值；（2）若3x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来考点

15、：解一元一次不等式；有理数的混合运算；在数轴上表示不等式的解集716288 专题：新定义分析：（1）按照定义新运算ab=a（ab）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算ab=a（ab）+1，得出3x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示解答：解：（1）ab=a（ab）+1，（2）3=2（23）+1=10+1=11；（2）3x13，3（3x）+113，93x+113，3x3，x1在数轴上表示如下：点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键练习：1、（2010湖北孝感，17，3分）对实数a、b，定义运算如

16、下：ab=，例如23=2-3=.计算2（4）×（4）（2）【答案】12、（2011湖南湘潭市，16，3分）规定一种新的运算：，则_. 【答案】 9判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故 （2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根， 故的平方根是.（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义， 发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x0，所以当x=2时，x=0.（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，

17、它是无理数.4、 课后练习1、（2011湖北襄阳，6，3分）下列说法正确的是A.是无理数B.是有理数C.是无理数D.是有理数【答案】D2、（2011贵州贵阳，6，3分）如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（第6题图） （A）2.5 （B）2 （C） （D） 【答案】D3、（2011湖北宜昌，5，3分）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（ ）A a < b B.a = b C. a > b Dab > 0（第5题图）【答案】C4、（2011广东茂名

18、，9，3分）对于实数、，给出以下三个判断： 若，则 若，则 若，则 其中正确的判断的个数是A3 B2 C1 D0【答案】C5、若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( )A. 2 B. ( +1)2 C. D.(+1)6. （2012湖北荆门）下列实数中，无理数是（）ABCD|2|解析：A、是有理数，故本选项错误；B、是无理数，故本选项正确；C、=3，是有理数，故本选项错误；D、|2|=2，是有理数，故本选项错误；故选B7 对于来说（ ）A有平方根 B只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定8在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数 的个数有（ ）A3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个9面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ ）A B. C. D. 10.下列各组数