导数定义的应用

1、导数定义的应用 杨 文摘 要 通过实例讨论导数定义式在计算中的应用，有助于理解和应用导数概念.关键词 导数;定义;应用;连续;分段函数0 引言导数是微分学中一个很基本的概念，它形式上虽然是一个简单的极限式子，同时还有具体的几何和物理意义，但还是相对抽象，尤其是当定义式需要灵活变化时.深入理解导数的概念能够帮助我们很好地解题.1 预备知识定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点+仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量,如果与之比当0时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为,即 . (1) 令（1）中的时，则当时， 因此（1）式又可写为 . (2)

2、令，则得到（3）式 . (3)显然，导数概念说到底是一种特殊极限，它同连续概念（也是种特殊极限）一样，都是描述在某一点的性态.由于求的是极限值，故由左，右极限的定义，可引出左,右导数的定义： ， .显然在某些点处（如分段函数），必须分别讨论左右导数的存在性，然后再断定函数的可导性.2 用导数的定义判断函数的可导2.1应用导数的定义求函数导数函数可导性已知时，求导函数用导数的定义法可简化步骤例1 已知，求分析对函数，如果先求，再 求就会很麻烦，这里直接用导数的定义来求解会更方便.解 2006.所以求可导函数在处的函数值，通常是先求这个函数的导函数，再将代入，这是一般处理方法.然而，在本题情况下，

3、不易求得，此时，我们可返回到导数的原始定义，直接利用函数在某一点的导数定义来求，就显得比较简单.函数的可导性未知时，求导函数往往用导数的定义例2 设函数在上连续，又，对满足的一切，求.分析由于题设中没有说明的可导性，所以不能直接利用复合函数求导法则对求导，这里用导数的定义求.解 不妨设，由于的连续性，所以存在>0,当<时，于是有 = = = = =1.由的任意性知=.求带绝对值符号的函数在分段点处的函数导数时，求导函数往往用导数的定义例3 设=，求.分析由于分段函数在分段点两侧的解析式不同，要求分段点处的导数值则显然要用定义来求.而含有绝对值的函数，先要去掉绝对值，再转化为分段函数

4、，再考虑其可导性.解 将函数=去掉绝对值，化为分段函数=，显然，当时,无定义.当时，=.当时，=， 又=-1，=1.可知不存在.当时,=.当时,=，又，可知也不存在.综上所述，有=.求分段函数在分段点的导数，往往用导数的定义例4 已知函数,那么求.分析此题目是有间断点的分段函数，我们必须应用导数的定义对其分段讨论，判断其导数的存在性.解 ，.所以 不存在，即的值不存在.2.2用导数的定义判断函数在某点的可导性判断一般函数某点的可导性例5 判断函数在处是否可导.解 ，.则有.可见在处不可导.判断带有绝对值函数的可导性 判断绝对值函数在其零点的可导性，我们通常以此点为分界点，转化为分段函数，再利用

5、导数的定义判断是否可导.例6 设，其中在点连续，试问在什么条件下在处可导.分析先去掉绝对值符号，再利用在处可导，即可判断结果.解 由于，则有0， ， ，由于存在的充要条件是.若要存在，必须=，即=0，此时=0.例7 判断函数在点处是否可导？解 ，由导数的定义可知 ， .因为 ，所以 在处不可导.判断分段函数的可导性例8 讨论函数在处的可导性. 分析函数为分段函数，且在连续，则我们只需要判断函数在处是否导数存在，即左导数等于右导数.解 1， 1.则有 1.所以函数在处可导，且.2.3用导数的定义求函数极限显然导数的定义是型函数的极限，因此当所求极限的形式与导数定义式相似时，可考虑通过变形后转化为

6、导数的定义的形式，再进行求解.例9 求.分析对于求此型函数极限用洛比达法则求极限比较麻烦，我们考虑变形后用导数的定义求解.解 = = = =102.例10 求解 = = =sin.例11 设在处可导，且，试求.分析对于求此型函数极限，若用洛比达法求极限需要在处具有连续的导数，因此我们考虑用导数的定义解题.解 =2.2.4利用导数定义解函数方程此类题目中一般出现“函数在某个区间上有定义，且存在”在附加一些其他条件.如果类似于下题中求，总是：先由附加条件求出，再由导数定义写出，最后求出.例12 设在上有定义，且，又对任给有求，求.分析本题不能直接从已知条件中求出，必须先由附加条件求出，再用导数的定

7、义求出，最后积分求出.解 在中，令， 得，则，.即=，积分得，令，于是，则，因此.2.5题中有形如时，可考虑由导数的定义式及函数的连续性求某些结果例13 设且，证明：.分析由二阶可导，知连续.又，故有 =.=0及.由已知条件连续，可推得隐含的条件0，.解 根据以上讨论，的带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式为（在0与之间）.由，便得=.3 导数定义法与其他方法的综合应用 导数的定义在题目中的变式有多样，我们需要配合使用多种数学方法，进行灵活处理，以便寻求合适的解决方法.例14 设=，求.分析题目已知了=，则我们可应用导数与积分的互逆关系求解.解 原式=2=2. 另外，仿照一阶导数的定义式（3），我们

8、还可以写出二阶，三阶.阶导数的定义形式，如：.例15 若在处二阶可导，求.分析本题明确给出在处二阶可导，则我们可将其变形后再应用二阶导数的定义式求解.解 原式=.例16 如果函数y=处处二阶可导，且点是曲线的拐点，求.分析先将和导数定义式相似的式子进行变形，由已知函数y=处处二阶可导，再次利用二阶导数的定义式.解 原式= =.因为处处可导，且点是曲线y=的拐点，故必有=0.在应用函数的高阶导数的定义式解题时一般应用到2阶至5阶即可简化题目，但由应用函数高阶导数的定义式解题会适得其反.可见，如果熟练掌握导数的定义，再适当配合使用洛比达法则等方法，我们就会方便地求出所需结果. 定义是我们解决问题的

9、有力手段，我们要有效应用导数定义解题，这需要我们对导数的定义有深刻的理解.而且，通过应用导数的定义解题，能够促进我们对导数定义的进一步理解.参考文献12 同济大学数学研究室. 高等数学(第四版)M.北京：高等教育出版社，1996：97.3 齐邦交. 极限解题的策略与技巧M.西安：陕西科学技术出版社，2009.7.4 华东师范大学数学系. 数学分析(下)(第三版)M.北京：高等教育出版社2001.6.5 张一龙. 浅谈导数定义在导数计算中的地位和作用J.高等数学研究，2003（3）.6 蔡子华. 2006年考研数学历年真题精析（数学一）（修订版）M.北京：现代出版社， 2005.7 金圣才. 高等数学考研真题与典型题详解M.北京：中国石化出版社，2005.Derivative Definition of Applications YangwenAbstract In this paper, we give several examples to show the applications of the definition of derivative ,which