小学数学八大思维方法

1、小学数学八大思维方法一、逆向思维方法二、对应思维方法三、假设思维方法四、转化思维方法五、消元思维方法六、发散思维方法七、联想思维方法八、量不变思维方法1、逆向思维方法小学教材中的题目，多数是按照条件出现的先后顺序进行顺向思维的。逆 向思维是不依据题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发 而进行逆转推理的一种思维方式。逆向思维与顺向思维是 训练的最主要形式，也是思维形式上的一对矛盾， 正确地进行逆向思维，对开拓应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会收到 积极的效果，例1 一个数扩大G倍，再减去即 然后除以2,再増加最后得7、数是仁.求这个数是多少？解：这是一道典型的“还原法”问题

2、，如果用顺向思维的方法，将难以解答。 正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的结果出发，一步步地向前逆推， 在逆向推理的过程中，对原来题目的算法进行逆向运算，即：加变减，减变加， 乘变除，除变乘。1 7从原题条件进行逆向推理看岀：一个数増加扌后得令，増加前必然7 11 1 1 2是= p这个弓是除以2后得到的.在除以2前则是-x2= jf再往 前推，这彳是减去彳而得到的，减以前应是）根据同样道理'333341扌再除专就是原来的这个数。列式计算为：r72X2 + -31、 丁3 X2+3例2 3彳吨小麦可磨面粉2；吨，现有中麦吨，可磨面粉多少吨?3o2此题如果按照顺向思维来考虑，要根

3、据归一的思路，先找出磨1吨面粉需要多少吨小麦，玮亠2|冲看（吨）。然后再求出”吨小麦可磨面粉1 33多少吨，= 6-吨）°这种解题的顺序与题目中条件的先后顺2 1 / o序是一致的。如果从逆向思维的角度来分析，可以形成另外两种解法：不着眼于先求1吨面粉需要多少吨小麦，而着眼于 1吨小麦可磨多少 吨面粉。憨后用乘法求岀7；吨小麦可磨面粉的吨数。列式计算为：5 1127"3-X7-6 32171X 720 2 冷（吨）3答可磨面粉生（:吨）先求出7吨小奏是?亍吨小奏的倍数，73-倍） 按照倍比的思路.有一个詁吨小奏可磨面粉2；吨，小麦的倍数必然也是面粉的倍数*3 6由此，可得出

4、下列算式:5 （ 1112存|7厂看5 1= 2-X2-6 4吨（吨）答：（同上）掌握逆向思维的方法，遇到问题可以进行正、反两个方面的思考，在开拓思 路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展4、对应思维方法对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。对应 思维包含一般对应和量率对应等内容，一般对应是从一一对应开始的。例1小红有7个三角，小明有5个三角，小红比小明多几个三角？ « *A A A A A这里的虚线表示的就是对应，即：同样多的 5个三角，而没有虚线的2个，正是小红比小明多的三角。一般对应随着知识的扩展，也表现在以下的问题上。131例2化肥厂上午工作4扌小时，共

5、生产化肥24扌吨，下午工作3三小时2,每小时生产化肥6吨，平均每小时生产化肥多少吨？这是一道求平均数的应用题，要求出每小时生产化肥多少吨，必须先求出上、 下午共生产化肥多少吨以及上、下午共工作多少小时。这里的共生产化肥的吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所要求的解。-46丄 + 84=邀吨）客 平均每小时生产化肥5工吨。在简单应用题中，培养与建立对应思维，这是解决较复杂应用题的基础。这 是因为在较复杂的应用题里，间接条件较多，在推导过程中，利用对应思维所求 出的数，虽然不一定是题目的最后结果，但往往是解题的关键所在。这在分数乘、 除法应用题中，这种思维突出地表现在实际数

6、量与分率（或倍数）的对应关系上, 正确的解题方法的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。例？韦架上有书若干本，借出总数的寸后，又放上游本，这时书架上 的书是原来总数的！求书架上原有书多少本？这是一道“已知一个数几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题，题 中只有20本这唯一具体的“量”，解题的关键是要找这个“量”所对应的“率” 如图：1-Q I 总731从图中看到：借出玄后，剰下的书应占总数的1拐=由于又放上20本，书架上的书又变成了总数的显然这20本所对应的正是与右的“率差”，找出“量”所对应的“率”，是解答这类题的唯一思考途径，按 照对应的思路，即可列式求出结果。2020亠 20

7、12240（本）答：书架上原有书240本。如果没有量率对应的思维方法，用 20除以而得的不是所对应的率，必然导致错误的计算结果。因此，培养并建立对应的思维方法，是解答分数乘除法应用题一把宝贵的钥匙67三、假设思维方法这是数学中经常使用的一种推测性的思维方法。这种思维方法在解答应用题 的实践中，具有较大的实用性，因为有些应用题用直接推理和逆转推理都不能寻 找出解答途径时，就可以将题目中两个或两个以上的未知条件， 假设成相等的数 量，或者将一个未知条件假设成已知条件，从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系， 趋于明朗化和简单化，这是假设思维方法的一个突出特点。当“假设”的任务完成后，就可以按照假设后的条

8、件，依据数量的相依关系， 列式计算并做相应的调整，从而求出最后的结果来。例1有两块布共长766米，第一块比第二块长右还多04米,这两块布各长多少米？解答这道题就需要假设思维方法的参予。 如果没有这种思维方法，将难以找 到解题思路的突破口。题目中有两数的“和”。而且是直接条件，两数的“倍” 不仅是间接条件，并且附加着“还”多 0.4米的条件，这是一道较复杂的和倍应 用题，思考这道题，必须进行如下的假设。如果第一块比第二块就长$丽不多04米，那么，从两块布共长的（1766氷中减去04米 这时所得的差（7方6米）与两块布的倍数和2二倍LJ是直接对应的，至此，就完全转化成简单的和倍应用题。根据题意，其

9、倍数关系如图：7 - 3 半 <淀一块(7.66 - 04)+ 7.26 2-=対米）第二块=33X1-+ Q.4-3.96 + 0.4工4充（米）第一块答：第一块4.36米，第二块3.3米。19例2两根电线共长24氷 第一根的扌与第二根彳的和是恥米，求两根电线各长多少米？此题中的百与彳的标准量并不是1个，按照一般解法E6米无法直接找19到它所对应的分率，必须运用假设的思维方法，把第一根的£假设成彳，两个标准量的分率一旦一致，就可以用共长的米数乘以假设后的统一分率，求出假设后的分量，这个分量与实际8.6米必有一个量差，这个量差与实际的率 差是相对应的。这样就可以求出其中一根电线

10、的长度， 另一根电线的长度可通过 总长度直接求出。列式计算为：15=以氷）第一根24-15=9 （氷）第二根答；第一根W米，第二根9米。2 1如果把笫一根的彳假设成夕 推理过程同上.就可以先求出第二根的8列式计算为:118.6-24 吗14)9# 9（氷）第二根24 -9 = 15 （米）第一根答：同上。上述两种解法都是从率入手的，此题如从量入手也有两种解法，无论从率从 量入手，都需要假设的思维方法作为解题的前提条件。 由此可见，掌握假设的思 维方法，不仅可以增加解题的思路，在处理一些数量关系较抽象的问题时， 往往 又是创造性思维的萌芽。四、转化思维方法在小学数学的应用题中，分数乘、除法应用题

11、既是重点，又是难点。当这类 应用题的条件中，出现了两个或两个以上的不同标准量，从属于这些标准量的分 率，就很难进行分析、比较以确定它们之间的关系。运用转化的思维方法，就可 以将不同的标准量统一为一个共同的标准量。由于标准量的转化和统一，其不同标准量的分率，也就转化成统一标准量下的分率， 经过转化后的数量关系，就由 复杂转化为简单，由隐蔽转化为明显，为正确解题思路的形成，创造了必要的条 件。培养转化的思维方法，必须具备扎实的基础知识，对基本的数量之间的相依 关系以及量率对应等关系，都能做到熟练地掌握和运用，没有这些作为基础，转 化的思维方法就失去了前提。转化的思维方法，在内容上有多种类型，在步骤

12、上也有繁有简，现举例如下。例1有一批货物，甲车运走全部的乙车运的是甲车的丙车运的是乙车的I,这批货物还剩下几分之几？从题意中可知，求这批货物还剩下几分之几，必须先知道三辆车共运走全部 的几分之几，全部看作标准量“ 1”，但条件中的标准量却有三个，“全部”、“甲 车”和“乙车”，如果不把“甲车”和“乙车”这两个标准量，也统一成“全部” 这个标准量，正确的思路将无法形成。由于甲车运走全部的二 乙车运的又是甲车的孑，所以乙车运的就是34/1 3 114全部的- =4；根据乙车运的是全部的4,丙车运的又是乙车的-,3 4） 445丙李运的必然是全部的卜才冷至此，标准量经过两次转化，己经全 部统一。列式

13、计算为： 乙车运走全部* 2 = 11 4 1 丙车运建全部* -x -=- 剩下全部的3460答：这批货物还剩下舟。60上面的转化的思维方法，都是分率在乘法上进行的，简称“率乘”。例2甲乙两人年龄的和是60岁，甲年龄的与乙年龄的相等，求甲64乙两人年龄各多少岁？从题目中的条件与问题来分析，这是一道和倍应用题，但标准量却有两个（甲 年龄与乙年龄），不通过转化来统一标准量，则无法确定甲乙年龄之间的倍数关 系。己知甲年龄的2与乙年龄的;相等，如杲把甲年龄看作rs乙年龄o4就相当甲年龄的卜扌卜|,这样就转化成分数和倍的基本类型题，依据两人年龄和是60岁，就可以求出甲乙两人各自的年龄。 2160- 1

14、 + | -36岁）甲60-36=24 （岁）（乙）或36 X £ = 24岁）答：甲36岁，乙24岁如果把甲乙年龄不同的标准量，通过转化统一为乙年龄的标准量，把乙 年龄看作"甲年龄就相当乙年龄的匕個?求两人的年 龄则是：60+ （1扌 + 1）=24岁）乙60-21 =36 （岁）甲或：24X1136 （岁）如果根据题意画出线段图，还可以转化成另外一种思路图I十_）从图形的相等的部分看出；乙的年龄里面有几个扌，就一定有几个甲 年龄的换句话说，乙年龄r”是扌的几倍，就必然是甲年龄士的几倍，通过这个转化，就可以确定甲乙年龄的倍数关系。存卜护I乙年龄是甲年龄）60+ （1+ 勺

15、=36 （岁）甲236X | = 24 （岁）乙答：甲36岁，乙24岁。如果结合对图形中相等部分的观察，转化一下思维的角度，可以将这道较复 杂的分数和倍应用题转化为按比例分配的应用题。即：甲年龄是相等部分的二6倍）.乙年龄是相等部分的 1-弓=4 （倍）,这样，两人年龄的倍数关系就转化为 6：4 = 3：2，有了两人年龄的“和”，又有了两人年龄“比”的关系，按比例分配应用题的 条件已经具备。3 + 2 = 5总份数3、60X = 36 （岁）甲260X|24岁）乙上述的四种解法，前两种运用了分率转化法，第三种运用了倍比转化法，第 四种是将原题转化为按比例分配的应用题，这几种思路，在算法上大同小

16、异，在 算理上也有难有易，但都有一个明显的共同点：与转化的思维方法紧密相连。13五、消元思维方法在小学数学中，消元的思维方法，也叫做消去未知数的方法。在一些数量关 系较复杂的应用题里，有时会出现由两种或两种以上物品组合关系所构成的问 题，而已知条件只给了这几种物品相互混合后的数量和总值，如果按照其他的思维方法，很难找到解决问题的线索。这就需要运用消元的思维方法，即：依据实 际的需要，通过直接加、减或经过乘、除后，再间接加、减的方法，消去其中一 个或一个以上未知数的方法，来求出第一个结果，然后再用第一个结果推导出第 二个或第三个结果来。运用消元的思维方法，是从求两个未知数先消去其中一个未知数开始

17、的， 然 后过渡到求三个未知数，首先消去其中两个未知数。例1有大小两种西红柿罐头，第一次买了2个小罐头，3个大罐头，共重于善公斤，第二次买了2个水罐头，7个大罐头，共重1玷公斤，求大 、小罐头每个各重多少公斤？根据题目中的条件，排列如下：2个小耀头3个大蘿头琮公斤2个小耀头了个大罐头1玷公斤从条件排列中观察到：两次买罐头的总重量是不一样的，关键在于两次买的 大罐头的个数不一样，如果用第二次的总重量减去第一次的总重量， 所得到的量 差与两次买的大罐头的个数差是直接对应的。 这样一减，实际上就消去了 2个小 罐头的重量，所得的结果就是（7-3）=4个大罐头的重量，据此，可以求出每个大罐头的重量，有

18、了每个大罐头的重量，再代入原题中任何一个条件，就可以求 出每个小罐头的重量。列式计算为：19 1= '7-4胡？公斤）大耀头945-1-X3 -25-扌（公斤）小耀头答：大罐头每个岭公斤 小罐头每斤土公斤。例2食堂买盐、酱、醋，第一次各买2斤，共付0.96元，第二次买4斤盐、 3斤酱、2斤醋共付1.48元，第三次买5斤盐、4斤酱和2斤醋，共付1.82元, 求每斤各多少元？根据第三次和第二次所买的物品数量，醋的斤数一样，两次付出钱数相减， 就把醋消去了。所得的结果就是两次盐、酱斤数差所对应的钱数。于斤盐4斤酱2斤醋L82元-4斤盐？斤酱2斤醋 1 48元1斤盐 1斤酱024元考虑到第一次

19、各买2斤付出0.96元，用0.96元除以2,所得的0.48元， 正是各买1斤应付的钱数。再用0.48元减去1斤盐、1斤酱的0.34元，就可求 出1斤醋的价钱。】斤盐诉醫诉醋0恣元-1斤盐诉酱0?4元1斤醋0,14元每斤醋的价钱已求出，再想办法消去盐和酱，如果先消去酱，可用：0.34元X 3=1.02 （元），这1.02元是3斤盐和3斤酱的价钱和，再用第二次共付的（1.48-0.14 X 2） =1.2 （元），这1.2元是消去2斤醋的价钱，也就是4斤盐、3 斤酱的价钱之和，由于1.02元里也有3斤酱的价钱，这两个数相减，即可求出 每斤盐的价钱。4斤盐3斤酱12元?斤盐3斤酱102元1斤盐CH8

20、元如果求出每斤醋的价钱后，也可以先消去盐，即用：0.34 X4=1.36 （元），这是4斤盐与4斤酱的价钱和。然后按上述求出4斤盐与3斤酱的价钱和（1.2 元），即可求出每斤酱的价钱。4斤盐4斤酱1.367L-4斤盐3斤酱1.2元诉酱元如下式：通过以上两例说明：解答上面这类应用题，按照一般的常规思路，会感到不 得其门而入。运用消元的思维方法，就会发现解答上面这类题的规律。由于解题 步骤和分析消元的角度上，不是唯一的，因此，消元的思维方法也会促进整个思 维的发散性。小学数学中的消元思维方法与中学代数中的消元法是一致的，所不同的是小学数学中的消元没有字母，都是具体的数量。六、发散思维方法发散的思维

21、方法，是依据题目中的条件与条件、条件与问题的相依关系，从 不同的角度去分析，从不同的途径去思考，在推理中寻求正确的答案，在比较中 选择最佳思路，从而使学生的求异思维得到锻炼和发展。求同思维是求异思维的前提，没有求同就没有真正的求异，或者说就没有真 正的发散，但求异思维不是求同思维的自然发展， 重要的是教师有计划、有重点 地进行发散思维方法的培养。让学生在“同中求异”和“异中求同” ，使求同思 维与求异思维协同配合，做到培养中的同步发展。例1在分数化、聚法教学时，对1寻吨二()公斤这道填空题，同是一个正确答案，却是从不同角度进行发散思维的结果。思路O 因为1吨是1000斤，1000*斤的/是10

22、0公斤.看里面有孑 个占孑个100公斤是刘0公斤，再加上1000公斤，得数是1300i斤。思路因为1吨是1000公斤，用进率0000公斤)乘以1佥，就得出1300公斤。思路：扌巴1亦吨改写成小数1.3吨，由于进率是1000,给L 3扩大1000倍，小数点向右移动三位，结果是1300公斤。上述的三种思路，其与旧知识的联系不尽相同，所以形成了不同的发散点。思路是将带分数1盒分为整数利分数两部分，采用分别相乘然后相加的方法，实际上在运算中使用了乘法的分配律。 思路是用求一个数是另一个 数的几又几分之几倍的分数乘法则来进行计算的。思路是先将分数化成小数， 然后在乘法中，根据小数点移位所引起的小数大小变

23、化的规律，从而简便、准确、 迅速地求出结果。例2当分数、百分数应用题学完后，可通过变直接条件为间接条件的表述，来进行发散思维方法的培养。甲储蓄80元，乙储蓄50元。如果把乙储蓄的这个直接条件改为间接条件， 并用分数或百分数的形式进行表述，可能有几种表述方式： 甲储蓄80元，乙储蓄的钱数是甲的;或62珑）°O3 甲储蓄80元，乙储蓄的钱数比甲少石或？74%）。O 甲醋蓄酌元，乙储蓄的钱数比甲的（或50%）多元。£3 甲储蓄乩元，乙诸蓄的钱数比甲的:（或75%）少1D元。如果把甲储蓄的钱数转化为间接条件，仍用分数或百分数的形式进行表述， 可有以下几种表述方式：小3 甲储蓄的钱数

24、是乙的倍，（或160%）,乙储蓄刃元。¥ 甲储蓄的钱数比乙多三（或旳）,乙储蓄刃元。 甲储蓄的钱数比乙的詁倍还多5元乙诸蓄刃元& 甲储蓄的钱数比乙的1*倍少10元，乙储蓄咒元。类似的表述方法还有多种，解答步骤也会由简到繁。由此可见，发散思维方 法的形成，对于应用题中的数量关系或量率关系， 能够进行多角度、多侧面的发 散性思考，这种自觉习惯的养成，将是一种宝贵的思维品质。七、联想思维方法联想思维方法是沟通新旧知识的联系， 在处理新问题的数量关系时，能够对 已掌握的旧知识与新问题之间，产生丰富的联想，并运用知识的正迁移规律，变 换审题的角度，使问题得到更顺利、更简捷的解决。例如：

25、当学完分数和比例应用题后，下面的一组数量关系，就可以显示联想 思维方法在开阔思路上的作用。行驶一段路程，甲车与乙车速度的比是 5 ： 4。 甲车与乙车的速度比是5 : 4，甲车与乙车所用的时间比就是 4 : 5。这是 依据速度与时间成反比关系而联想出来的。 如果原题的后面条件是给了甲（或乙） 行完全路的时间，按原来速度比去思考，此题将是反比例应用题，通过联想，将 速度比转化为时间比，此题便由反比例应用题转化为正比例应用题。 甲车与乙车的速度比是4,甲车速度就是乙车速度的1扌倍&这是依比与除法关系联想的结果。如果原题条件的后面给了乙车的速度求甲车速度 是多少，就可以用求一个数几又几分之几

26、倍的方法， 将原题的正比例应用题转化 成分数乘法的应用题。如果原题给了甲车的速度去求乙车的速度， 就可以用已知 一个数的几又几分之几倍是多少，求这个数的方法，将原题转化成分数除法的应 用题。 根据甲车与乙车速度的比是第 乙车速度必然是甲车的孑 这是 依据分数与比的关系联想的结果。如果后面给了甲车速度，求乙车速度，则转化 成求一个数几分之几是多少的乘法应用题；反之，则转化成已知一个数的几分之几是多少，求这个数的除法应用题 根据甲车和乙车速度的比是第甲车速度必然比乙车快这是 在比与除法关系的基础上，联想到求一个数比另一个数多几分之几。乙车速 度作为标准数，如果原题后面给出甲乙两车速度的差量，这个差

27、量与吕这 个差率直接对应，那么，用分数除法就可以直接求出乙车的速度。 根据甲车与乙车速度的比是 4,则乙车速度比甲车速度慢' 这是依据求一个数比另一个数少几分之几而联想出来的。甲车作为标准量，如果原题后面出现甲乙两车速度的差量，这个差量必然与+相对应，用分数 除法可求出甲车的速度。 根据甲车与乙车速度的比是5 : 4，则甲乙两车的速度和为（ 5+4 ）a _s4=9。甲车速度是两车速度和的§或乙车速度是两车速度和的§这是依据按比例分配应用题所进行的联想。如果原题后面给出两车速度和是多少的 条件，就可以用分数乘法分别求出甲车和乙车的速度。 根据甲车与乙车速度的比是 5

28、 : 4,在速度与时间成反比的基础上，联想到甲车与乙车的时间比是4 : 5，并由此联想出甲车每小时行完全路的* 乙车每小时行完全路的£如果原题后面又给了两车分别从两地同时出发，相向而行，求中途的相遇时间，那么，把全路作为标准量，这道题又转化 成分数的工程问题。从上例可以看出：联想的面越广，解题思路就越宽，解题的步骤也就会越加准确和敏捷。由此可见，联想思维方法所带来的效益，不仅可以促进学生思维力 的发展，也可以直接、有效地提高解答应用题的能力。实践证明：联想思维方法往往是创造性思维的先导。八、量不变思维方法在一些较复杂的分数应用题中，每个量的变化都会引起相关联的量的变化，就如同任何一个

29、分量的变化都会引起总量变化一样，这种数量之间的相依关系， 常常出现以下情况：即在变化的诸量当中，总有一个量是有恒的，不论其他量如 何变化，而这个量是始终固定不变的。有了量不变的思维方法，就能在纷繁的数量关系中，确定不变量，理顺它们 之间的关系，理清解题的思路，从而准确、迅速地确定解答的步骤与方法。运用量不变思维方法，处理应用题时，大体上有以下三种情况：（1）分量发生变化，总量没有变。（2）总量发生变化，但其中的分量没有变。（3）总量和分量都发生了变化，但分量之间的差量没变。因此，要结合题目内容，区别不同情况，做出具体的分析。例1甲乙二人共存款若干元，甲存款数是乙存款数的专倍，如果乙给甲12元后，乙的存款数则是甲现存款数的壬，求二人原来存款各多少元彳从题意分析中可以得出：这是一道总量不变的应用题，乙给甲12元后，二人的存款数（分量）都发生了变化，但二人存款的总钱数（总量）却始终不变， 抓住了这个不变量，就抓住了解题的关键，把乙的存款数看作“ 1 ”如下图所示。 1、 2乙给甲12元以前，乙存款数占总存款数的+乙给甲12 元后，乙存款数所占总存款的分率也发生了变化，如图所示1閣（十二）逸吋，由于乙存款数占甲存款数的亍，甲存款数看作"1",总存款数 则为：l + =