高中数学选修2-2教学案1.4：优化问题举例（教师版）

1、.优化问题举例导数与函数的极值_ 1、结合函数图象，理解可导函数在某点获得极值的必要条件和充分条件 2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 一、导数与函数的极值：1观察图1.3.8 表示高台跳水运发动的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，答复以下问题1当t=a时，高台跳水运发动距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？2在点t=a附近的图象有什么特点？ 3点t=a附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳: 函数ht在a点处h/a=0,在t=a的附近,当ta时,函数单调递增, 0;当ta时,函数单调递减, 0,即当t在a的附近从小到大经过a时,

2、先正后负,且连续变化,于是h/a=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？<二>、探究研讨1、观察1.3.9图所表示的y=fx的图象，答复以下问题：1函数y=fx在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?2 函数y=fx在a.b.点的导数值是多少?3在a.b点附近, y=fx的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a叫做函数y=fx的极小值点，fa叫做函数y=fx的极小值；点b叫做函数y=fx的极大值点，fa叫做函数y=fx的极大值。极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 类型一：函数的单调性与导数：例1

3、、求函数的极值解:=x2-4=x-2x+2令=0,解得x=2,或x=-2.下面分两种情况讨论:(1) 当0,即x2,或x-2时;(2) 当0,即-2x2时.当x变化时, ,fx的变化情况如下表:x-,-2-2-2,222,+0_0+fx单调递增单调递减单调递增因此,当x=-2时,fx有极大值,且极大值为f-2= ;当x=2时,fx有极小值,且极小值为f2=函数的图象如:归纳：求函数y=fx极值的方法是:1求,解方程=0,当=0时:(1) 假如在x0附近的左边0,右边0,那么fx0是极大值.(2) 假如在x0附近的左边0,右边0,那么fx0是极小值练习：1求以下函数的极值.1y=x27x+6 2

4、y=x327x1解：y=x27x+6=2x7令y=0，解得x=.当x变化时，y，y的变化情况如下表.0+极小值当x=时，y有极小值，且y极小值=.2解：y=x327x=3x227=3x+3x3令y=0，解得x1=3，x2=3.当x变化时，y，y的变化情况如下表.-3-3,33+00+极大值54极小值-54当x=3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=54考点一 求含字母参数的函数的极值考例1.06安徽卷设函数，是奇函数。求、的值。求的单调区间与极值。思路分析：先求出,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：，。从而

5、是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；由知，从而，令=0，解得，由，由此可知，函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；进而得在时，获得极大值，极大值为，在时，获得极小值，极小值为。锦囊妙计：纯熟掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写标准。举一反三：2019年全国高考题设a为实数,函数 求的极值.当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解：I=321假设=0，那么=，=1当变化时，变化情况如下表：，111，+00+极大值极小值的极大值是，极小值是II函数由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有

6、一个交点结合的单调性可知：当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在1，+上。当的极小值1>0即1，+时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在，上。当1，+时，曲线=与轴仅有一个交点。考点二 求函数的最值考例2.a为实数，1假设，求在2，2 上的最大值和最小值；2假设在，2和2，+上都是递增的，求a的取值范围.思路分析：1按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。2当函数fx在给定的区间上递增时，那么在该区间上恒有,从而得到关于a的不等式。解: 由原式得由 得,此时有.由得或x=1 ,当变化时，的变化如下表-递增极大值递减极小值递增 所以

7、fx在2,2上的最大值为最小值为 2解法一: 的图象为开口向上且过点0,4的抛物线,由条件得 即 2a2. 所以a的取值范围为2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x2或x2时, 0, 从而x12, x22, 即 解不等式组得: 2a2. a的取值范围是2,2.锦囊妙计：1极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进展比较，才能下结论。2在函数fx是增函数或减函数求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使fx恒等于0，假设能恒等于0，那么参数的这个值应舍去，假设fx不恒为0，那么由，x恒成立解出的参数的取值范

8、围确定。举一反三：1.06浙江卷在区间上的最大值是A-2B0C2D4解：，令可得x0或22舍去，当1£x<0时，>0，当0<x£1时，<0，所以当x0时，fx获得最大值为2。选C2. 06全国卷a 0 ，函数fx=-2ax (1) 当x为何值时，fx获得最小值？证明你的结论； 2设 fx在 -1，1上是单调函数，求a的取值范围.解：I对函数求导数得令得+212=0从而+212=0 解得 当 变化时，、的变化如下表 + 0 0 +递增极大值递减 极小值 递增在=处获得极大值，在=处获得极小值。当0时，<1,在上为减函数，在上为增函数而当时=，当x

9、=0时，所以当时，获得最小值II当0时，在上为单调函数的充要条件是 即，解得于是在-1，1上为单调函数的充要条件是即的取值范围是考点三 利用导数解决函数的综合问题考例3.06年深圳市模拟函数的图象与函数的图象相切,记.务实数的值及函数的极值；假设关于的方程恰有三个不等的实数根，务实数的取值范围.思路分析:首先由是的切线,利用导数的几何意义求出b,再由导数与单调性,极值的关系作出函数的图像,利用数形结合的思想求解.解：1依题意，令函数的图象与函数的图象的切点为,将切点坐标代入函数可得 .或:依题意得方程，即有唯一实数解, 故，即,故,令,解得,或. 列表如下 : -递增极大值递减极小值0递增从上

10、表可知在处获得极大值,在处获得极小值. 由可知函数大致图象如以下图所示.作函数的图象,当的图象与函数的图象有三个交点时, 关于的方程恰有三个不 等的实数根.结合图形可知：. 锦囊妙计:读题,审题,发现是的切线是解题的关键, 数形结合的思想在该题中再一次得到运用.此题综合了导数,单调性 ,极值 ,方程的解等知识与数形结合的思想方法.综合考察了学生的计算,推理,阅读理解的数学才能.举一反三: 中山市模拟. 函数的图象为曲线E. 假设曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系； 说明函数可以在和时获得极值，并求此时a,b的值； 在满足2的条件下，在恒成立，求c的取值范围.解：

11、1 ,设切点为,那么曲线在点P的切线的斜率,由题意知有解，即. 2假设函数可以在和时获得极值，那么有两个解和，且满足. 易得. 3由2，得. 根据题意，恒成立. 函数在时有极大值用求导的方法，且在端点处的值为. 函数的最大值为. 所以. 误区警示：例.设函数，其中.1求函数的极值；2假设当时，恒有，试确定实数的取值范围.常见错误：1忽略0<a<1导致错误；2解带参数的绝对值不等式出错。正解：1，得，.，. 列表如下：a0+0极小值极大值极小值=；极大值=2，. 即在上单调递减，即当时. 从而：.恒成立，故.1函数fx的定义域为R，导函数f x的图象如下图，那么函数fxA无极大值点、

12、有四个极小值点B有一个极大值点、两个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f x与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x<x1时，f x>0，fx为增函数，当x1<x<x2时，f x<0，fx为减函数，那么xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点点评有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是fx的图象还是f x的图象，假设给的是fx的图象，应先找出fx的单调区间及极最值点，假如给的是f x的图象，应先找出f x的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解2设fxx

13、3ax2bx1的导数f x满足f 12a，f 2b，其中常数a、bR.1求曲线yfx在点1，f1处的切线方程；2设gxf xex，求函数gx的极值解析fxx3ax2bx1，f x3x22axb，f 12a，32ab2a，f 2b，124abb，a，b3，fxx3x23x1，f x3x23x3，f1，f 13，切线方程为y3x1，即6x2y10.2gx3x23x3ex，gx6x3ex3x23x3·ex，gx3xx3ex，当0<x<3时，gx>0，当x>3时，gx<0，当x<0时，gx<0，gx在，0上单调递减，在0,3上单调递增，在3，上单调递

14、减，所以g极小xg03，g极大xg315e3.3函数fxx2alnx.1假设a1，求函数fx的极值，并指出是极大值还是极小值；2假设a1，求证：在区间1，上，函数fx的图象在函数gxx3的图象的下方解析1由于函数fx的定义域为0，当a1时，f xx，令f x0得x1或x1舍去，当x0,1时，f x<0，因此函数fx在0,1上单调递减，当x1，时，f x>0，因此函数fx在1，上单调递增，那么x1是fx的极小值点，所以fx在x1处获得极小值为f1.2证明：设Fxfxgxx2lnxx3，那么Fxx2x2，当x>1时，Fx<0，故fx在区间1，上单调递减，又F1<0，在

15、区间1，上，Fx<0恒成立，即fx<gx恒成立因此，当a1时，在区间1，上，函数fx的图象在函数gx图象的下方_根底稳固一、选择题1函数fx在点x0处连续，以下命题中，正确的选项是A导数为零的点一定是极值点B假如在点x0附近的左侧f x>0，右侧f x<0，那么fx0是极小值C假如在点x0附近的左侧f x>0，右侧f x<0，那么fx0是极大值D假如在点x0附近的左侧f x<0，右侧f x>0，那么fx0是极大值答案C解析导数为0的点不一定是极值点，例如fxx3，f x3x2，f 00，但x0不是fx的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应

16、选C.2函数yx4x3的极值点的个数为A0B1C2D3 答案B解析yx3x2x2x1，由y0得x10，x21.当x变化时，y、y的变化情况如下表x，000,111，y00y无极值极小值应选B.3函数yax3bx2获得极大值和极小值时的x的值分别为0和，那么Aa2b0 B2ab0C2ab0 Da2b0答案D解析y3ax22bx由题设0和是方程3ax22bx0的两根，a2b0.4假设a>0，b>0，且函数fx4x3ax22bx2在x1处有极值，那么ab的最大值等于A2B3C6D9 答案D解析f x12x22ax2b0的一根为x1，即122a2b0.ab6，ab29，当且仅当ab3时“号

17、成立5实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为b，c，那么ad等于A2B1C1D2答案A解析a、b、c、d成等比数列，adbc，又b，c为函数y3xx3的极大值点，c3bb3，且033b2，或ad2.6函数fxa<b<1，那么AfafbBfa<fbCfa>fbDfa，fb的大小关系不能确定答案C解析fx.当x<1时，f x<0，fx为减函数，a<b<1，fa>fb二、填空题7曲线yx3lnx1在点1,1处的切线方程为_答案4xy30解析y|x13lnx4|x14，切线方程为y14x1，即4xy30.8假设函数fxxas

18、inx在R上递增，那么实数a的取值范围为_答案1,1解析f x1acosx，由条件知f x0在R上恒成立，1acosx0，a0时显然成立；a>0时，cosx恒成立，1，a1，0<a1；a<0时，cosx恒成立，1，a1，即1a<0，综上知1a1.9设x1与x2是函数fxalnxbx2x的两个极值点，那么常数a_.答案解析f x2bx1，由题意得a.三、解答题10fxax3bx2cxa0在x±1时获得极值，且f11.1试求常数a、b、c的值；2试判断x±1时函数获得极小值还是极大值，并说明理由解析1由f 1f 10，得3a2bc0,3a2bc0.又f1

19、1，abc1.a，b0，c.2fxx3x，f xx2x1x1当x<1或x>1时，f x>0；当1<x<1时，f x<0，函数fx在，1和1，上是增函数，在1,1上为减函数当x1时，函数获得极大值f11；当x1时，函数获得极小值f11.点评假设函数fx在x0处获得极值，那么一定有f x00，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f11得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数一、选择题11函数fxexsinxcosx，x0,2019，那么函数fx的极大值之和为A BC D答案B解析f x2exsinx，令f x0得sinx0，xk，kZ，当2k<x&l

20、t;2k时，f x>0，fx单调递增，当2k1<x<2k时，f x<0，fx单调递减，当x2k1时，fx取到极大值，x0,2019，0<2k1<2019，0k<1006，kZ.fx的极大值之和为Sff3f5f2019ee3e5e2019，应选B.12函数fxx3px2qx的图象与x轴切于1,0点，那么fx的极大值、极小值分别为A，0 B0，C，0 D0，答案A解析f x3x22pxq，由f 10，f10得，解得fxx32x2x.由f x3x24x10得x或x1，易得当x时fx取极大值.当x1时fx取极小值0.13fxx3ax2a6x1有极大值和极小值，

21、那么a的取值范围是A1<a<2 B3<a<6Ca<3或a>6 Da<1或a>2答案C解析f x3x22axa6，fx有极大值与极小值，f x0有两不等实根，4a212a6>0，a<3或a>6.二、填空题14函数yx3ax2bx27在x1处有极大值，在x3处有极小值，那么a_，b_.答案39解析y3x22axb，方程y0有根1及3，由韦达定理应有经检验a3，b9符合题意三、解答题15函数fxexaxbx24x，曲线yfx在点0，f0处的切线方程为y4x4.1求a，b的值；2讨论fx的单调性，并求fx的极大值解析1f xexaxab2x4.由得f04，f 04，故b4，ab8.从而a4，b4.2由1知，fx4exx1x24x，f x4exx22