八上培优5半角模型

1、八上培优5半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有加套ct的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。1 下面是新观察第34页14题.如图，四边形ABCD中，/A=/C=90°,ZD=60°,AB=BC,E、F,分别在AD、C

2、D上,且/EBF=60°.求证：EF=AE+CF.AAD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF.3 .如图，/A=/B=90°,CA=CB=4,/ACB=120°，/ECF=60°,AE=3,BF=2,求五边形ABCDE的面积.4 .如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,/B+/D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且/BAD=2/EAF.(1)求证：EF=BE+DF;(2)在(1)问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时,如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系.F图1图2.

3、如图3,在四边形ABDC中，/B+/C=180°,DB=DC,ZBDC=120°,以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1.(1)如图，已知AB=AC,/BAC=90°,/MAN=45点B作BM垂直AB交AM于点M,当/MAN在/BAC,过点C作NC±AC交AN于点N,过内部时，求证：BM+CN=MN;证明：延长MB到点G,使BG=CN,连接AG,证ABG©ACN(SAS),：AN=AG,/BAG=,ZNAC.L/GAM=/GA

4、B+/BAM=/CAN+/BAM=45°=L/MAN,证AMNAMG(SAS),'：MN=MG=BM+BG=BM十NC.(1)的结论是否成立？青说明理由.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图，在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时,解:不成立，结论是：MN=CNBM,证明略.基本模型二120套60.如图，ABC中,CA=CB,/ACB=120°为AB上一点，/DCE=60°，/DAE=120求证:DE=BE证明：（补短法）延长EB至点F使BF=AD,连接CF则CBFACAD,CEDCEF,.DE-AD=EF-BF=BE.2 .如图，

5、ABC中,CA=CB,/ACB=120°，点E为AB上一点，/DCE=/DAE=60求证:AD+DE=BE.证明:（截长法）在BE上截取BF=AD,连接CF,易证CBFACAD,CEDACEF,DE=EF,AD+DE=BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角，/BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N,连结MN,试求AMN的周长.分析：由于/MDN=60°，/BDC=120°,所以/BDM十/CDN=60°,注意到DB=DC,考虑运用

6、“旋转法”将/BDM和/CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面,/AMN的周长AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN.猜想MN=BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页例5如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧，C在y轴正半轴上，OC平分/ACB.(1)求A点坐标；(2)如图1,AQ在/CAB内部，P是AQ上一点，满足ZACB=/AQB,AP=BQ.试判断CPQ的形状，并予以证明；(3)如图2.BDLBC交y轴负半轴于D.ZBDO=60°,F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足/CFD+ZE=180°.当F在AC上移动时，结论：CE+CF值不变；CE

7、-CF值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值分析:(1)由/A0CABOC得AO=BO=2,A(-2,0).(2)由ACPABCQ得CP=CQ.由BD±BC,ZBDO=60°,可证得等边ABC.由角平分线和DB_，BC的条件，运用对称性知DA±AC,连结DA,加上条件/CFD+/E=180°,可证得ADF三BDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.基本模型三2a套a4.(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,/B+/D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且/EAF=L/BAD,求证：EF=BE+DF;2(2)如图2,

8、在(1)的条件下，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时,贝UEF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE-DFG解:(1)EF=BE+DF,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,证ABEMDG(SAS),.AE=AG,/BAE=/DAG,/EAF=-/BAD,2:/GAF=/DAG+/DAF=/BAE+/DAF=/BAD-/EAF=/EAF,:/'EAF=/GAF,证AEFGAF(SAS),.：EF=FG,FG=DG+DF=BE+DF,;EF=BE+DF;(2)EF=BEDF.外地试题：4.探究：如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，/EA

9、F=45°,连结EF,求证：EF=BE+DF.应用：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD,/B+/D=90°,/EAF=1/BAD,若EF=3,BE=2,贝UDF=.2图图5.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整.原题：如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，/EAF=45°,连接EF,求证：EF=BE+DF.(1)思路梳理.AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,可使AB与AD重合./ADG=/B=90°,.FDG=/ADG+/ADC=1

10、80°,则点F、D、G共线.根据,易证AFG,从而得EF=BE+DF;(2)类比引申如图2,四边形ABCD中，AB=AD,/BAD=90。点E、F分别在边BC、CD上，ZEAF=45°.若/B、/D都不是直角，但当/B与/D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF,请给出证明；(3)联想拓展如图3,在ABC中，/BAC=90°,AB=AC，点D、E均在边BC上，且/DAE=45°,猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是边BC、CD上的点，且AE=AF,/E

11、AF=1/BAD,现有三种添加辅助线的方式：延长EB至G,使BG=BE,连接2AG;延长FD至G,使DG=BE,连接AG;过点A作AGXEF,垂足为G;选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD;(2)如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,若/B+/D=180°,/EAF=J/BAD,证明(1)2中结论是否还成立？(3)如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,/B+/ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且/EAF=_ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请2写出它们之间的数量关系，并证明.7. (1)如图1,在四边形A

12、BCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是边BC、CD上的点，且/EAF=1/BAD,求证：EF=BE+FD.2(2)如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,/B+/D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且/EAF=1/BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、2BE、FD它们之间的数量关系，并证明.(3)如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,/B+/ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且/EAF=ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请2写出线段EF、BE、F

13、D它们之间的数量关系，并证明.E半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?1.如图1,在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A(4,4)圄1图2图3(1)求B点坐标；(2)如图2,若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD,/ACD=90°,连接OD,求/AOD的度数；(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtAEGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由.解：(1)如图所示，作AELOB于E, -A(4,4),.OE=4,.AOB为

14、等腰直角三角形，且AEXOB,.OE=EB=4,.OB=8,.B(8,0);(2)如图所示，作AEXOBTE,DFXOB于F,.ACD为等腰直角三角形，.AC=DC,/ACD=90°即/ACF+/DCF=90°, /FDC+/DCF=90°,/ACF=/FDC,又./DFC=ZAEC=90°,DFCACEA(AAS),EC=DF=4,FC=AE,:A(4,4),AE=OE=4,FC=OE,即OF+EF=CE+EF, .OF=CE,OF=DF,/DOF=45°,.AOB为等腰直角三角形，/AOB=45°,/AOD=/AOB+/DOF=9

15、0°(3)AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在，/AEN+/OEM=45又./AEO=90°,./NEM=45°=/FEM,又EM=EM,NEMFEM(SAS),MN=MF,AM-MF=AM-MN=AN,AM-MF=OF,即AM=FM+OF;AM上截取AN=OF，连EN.A(4,4),.AE=OE=4,又./EAN=/EOF=90°,AN=OF,.EANAEOF(SAS),./OEF=/AEN,EF=EN,又EGH为等腰直角三角形，/GEH=45°,即/OEF+ZOEM=45本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图

16、形性质的综【点评】合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.2.如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A(a,0)B(0,b),且(a-b)2+|b-4|=0(1)求A、B两点坐标；(2)C为线段AB上一点，C点的横坐标是3,P是y轴正半轴上一点，且满足/OCP=45°,求P点坐标；(3)在(2)的条件下，过B作BDXOC,交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且ZCEA=/BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由.I(1)解：.(a-b)2+|b-4|=0,a-b=0,b-4=0,a=4,b=4,.A(4,0),B(0,

17、4);(2)3.如图，已知A(a,b),ABy轴于B,且满足|a-2|+(b-2)2=0,(1)求A点坐标；(2)如图1,分别以AB,AO为边作等边三角形ABC和4AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图2,过A作AEx轴于E,点F、G分别为线段OE、AE上两个动点，满足/FBG=45试探究OF十八。的值是否发生变化?如果不变，求其值；如果变化，请说明理由.2017-2018江汉期中如图点P为ABC的外角/BCD的平分线上一点，PA=PB求证：/PAChPBQ作PEIBC于E,若AC=5BC=11,求S；APCESAPBEAGBC上的点，且/MPN=L/APB,

18、则线段AMMNBN之间有何数量关2若MN分别是边(3)DCB,PC平分/.PE=PF,在RtPAF和RtAPEB中,PF=PEPA=PB,.-.RtAPAFRtAPEB,./PAC=ZPBC,(2)如图2,过点P作PFXAC于F,PE=PF,/PCF=/PCE,PC=PC,.PCFAPCE,.CF=CE,由(1)知，RtAPAFRtAPEB, AF=BE,AF=AC+CF,BE=BC-CE,.AC+CF=BC-CE,5+CF=11-CE,CE=CF=3,PFCAPEC,SaPFC=SaPEC,/RtAPAFRtAPEB,SaPAF=SapeB,-Sapce：Sapbe=Sapfc：SapfaC

19、FXPF:1ACXPF22=CF:AC=3:(3+5)=3:8;PM=PQ,/MPA=QPB,/APM+/QPA=/APQ+/QPB,即：/APB=/MPQ,/MPN=1ZAPB,2.ZMPN=1/MPQ,2 ./MPN=/QPN,在MPN和AQPC中，fPN=PNI2MPN=/QPNMP=QP,.MPNAQPC,(3)如图3,在BC上截取BQ=AM,在PMA和PQB中，PA=PBI</PAM=/PBQMA=BQ,.PMAAPQB,MN=QN,BN=AM+MN.【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出pe=pf,解

20、（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出/APB=/MPQ,是一道中等难度的中考常考题.2015-2016江岸八上期末已知在ABC中，AB=AC,射线BM、BN在/ABC内部，分别交线段AC于点G、H.（1）如图1,若/ABC=60°、/MBN=30°,作AEXBN于点D,分别交BC、BM于点E、F.求证：ce=ag;若BF=2AF,连接CF,求/CFE的度数；（2）如图2,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF,若/BFE=/BAC=2ZCFE,直接写出且叫=.SVACF【分析】（1）由AB=AC,/ABC=60°得到ABC为

21、等边三角形，根据等边三角形的性质得至U/BAC=/ACB=60°,AB=CA,求得/BFD=/AFG=60°,推出/EAC=/GBA证得GBAEAC,根据全等三角形的性质即可得到结论；如图1,取BF的中点K连接AK,由BF=2AF,1,推出FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到/FAK=/FKA,求得/AKF=_Z2BFD=30°,根据全等三角形的性质得到AG=CE,BG=AE,/AGB=/AEC,推出GAKAEFC,根据全等三角形的性质得到/CFE=/AKF即可得到结论；(2)如图2,在BF上取BK=AF,连接AK,推出/EAC=/FBA,根据全等三角形的性质得到Saabk=Saacf,ZAKB=/AFC,证得FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF=FK,即AB=AC/ABK=/FACBK=AF,可得到