高数选修2-3第二章2.1随机变量及其分布（教师版）

1、.随机变量及其分布_1.理解随机变量的概念.2.纯熟掌握随机变量的概率分布及其性质.3.能纯熟应用两点分布.4.能纯熟运用超几何分布.1.随机变量:一般地，假如随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X，Y，Z或小写希腊字母等表示，而用小写拉丁字母x，y，z加上适当下标等表示随机变量取的可能值.注意:1一般地，一个试验假如满足以下条件：i试验可以在一样的情形下重复进展；ii试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，

2、也简称试验.2所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数fx的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果.3一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种：假如随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.假如随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.4离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可

3、能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举.2.随机变量的概率分布一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是且，那么称为随机变量X的概率分布列.3.随机变量概率分布的性质1对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步理解随机变量：取这些值的概率.2随机事件A的概率满足0PA1，必然事件U的概率PU=1.假设离散型随机变量X所有可能取的值为X取每一个值i=1，2，n的概率为不满足上述两条性质的分布列一定是错误的，即分布列满足上述两条

4、性质是该分布列正确的必要不充分条件.3由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.两点分布假如随机变量X的概率分布为：X10Ppq其中0<p<1，q=1-p，那么称随机变量X服从参数为p的两点分布.1两点分布又称0-1分布.2两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中等等，都可用两点分布来研究.5.超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，那么PXk，k0，1，2，m，其中mmin

5、M，n，且nN，MN，n，M，NN*，称随机变量X服从超几何分布.X01mP类型一.随机变量及其概率分布例1：下面给出四个随机变量：一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数；一个沿直线y=x进展随机运动的质点，它在该直线上的位置；某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数；1天内的温度其中是离散型随机变量的是A.B.CD.答案C解析中的随机变量可能取的值为有限个，而能取到一区间内的一切值.写出以下各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：例2：1从一个装有编号为1到10的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；2一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中

6、所含红球的个数为X；解析1X的可能取值为1，2，3，10，X=kk=1，2，10表示取出第k号球.2X的可能取值为0，1，2，3，4，X=k表示取出k个红球，4-k个白球，其中k=0，1，2，3，4.练习1：写出以下随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X.解析X的可能取值为2，3，4，12，假设以i，j表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，那么X=2表示1，1；X=3表示1，2，2，1；X=4表示1，3，2，2，3，1；X=12表示6，6.练习2：一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中同时取3个球，用

7、表示取出的3个球中的最大号码，写出随机变量的概率分布.解析根据题意可知随机变量的可能取值为3，4，5.当时，即取出的3个球中最大号码是3，那么其他两球的编号只能是1，2，故有当时，即取出的3个球中最大号码是4，那么其他两球只能在编号为1，2，3的球中取，故有当时，即取出的3个球中最大号码为5，那么其他两球只能在编号为1，2，3，4的四个球中取，故有综上可得的概率分布如下表：345P类型二.随机概率分布的性质例3：判断以下表格是否是随机变量的概率分布.X-3-2-1012P0.10.20.30.20.10.2解析不是随机变量的概率分布，因为0.1+0.2+0.3+0.2+0.1+0.2=1.11

8、.练习1：判断以下表格是否是随机变量的概率分布.01234P-0.300.30.50.5解析不是随机变量的概率分布，因为-0.3<0，不符合随机变量概率分布的性质.类型三.两点分布例4：设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量去描绘1次试验的成功次数，那么等于A.0B.C.D.答案C练习1：在抛掷一枚硬币的随机试验中，令假如正面向上的概率为p；试写出随机变量X的概率分布表.解析由分布列的性质可知，正面向上的概率为p，那么正面向下的概率是1-p，于是随机变量X的概率分布表是：X10Pp类型四.随机变量的概率分布性质的应用例5：设随机变量的概率分布为=akk=1，2，3，4，5.1求常数

9、a的值；2求3求解析解：题目所给概率分布表为：Pa2a3a4a5a1由a+2a+3a+4a+5a=1，得a=2或3因为所以故练习1：袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止.求取球次数X的概率分布表.解析X的可能取值为1，2，3，4，5，那么第1次取到白球的概率为PX=1=，第2次取到白球的概率为PX=2=第3次取到白球的概率为PX=3=第4次取到白球的概率为PX=4=5次取到白球的概率为：PX=5=所以X的概率分布表是：类型五.超几何分布例6：设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽到次品件数的分布表.解析从100

10、件产品中随机抽取20件，抽到次品件数是一个离散型的随机变量，其次品件数可能是0、1、2、3、4、5.依题意，随机变量次品件数服从超几何分布，所以，从100件产品中抽取20件，其中有k件次品的概率为P=k=k=0，1，2，3，4，5.所以所以所以的分布表为：012345P0.31930.42010.20730.04790.00520.0002练习1：在20件产品中，有15件是一级品，5件是二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？解析设表示二级品的件数，所以1.抛掷2颗骰子,假如将所得点数之和记为那么=4表示的随机试验结果是A.2颗都是4点B.1颗是1点,另1颗是3点C.2颗都是

11、2点D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点答案2.随机变量是1个无线寻呼台1min内接到的寻呼次数;随机变量是某工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径间的尺寸误差;随机变量是测量1名学生身高所得的数值准确到1cm;随机变量是1个沿数轴进展随机运动的质点的坐标,那么这4个随机变量中,离散型随机变量的个数是A.1B.2C.3D.4答案.命题p:离散型随机变量只能取有限个值;命题q:只能取有限个值的随机变量是离散型随机变量;命题r:连续型随机变量可以取某一区间内的一切值;命题s:可以取某一区间内的一切值的随机变量是连续型随机变量,这四个命题中真命题的个数是A.1B.2C.3D.4答案.随机变量

12、的分布列为=A.B.C.D.答案.以下变量中，不是随机变量的是A.某人投篮6次投中的次数B.某日上证收盘指数C.标准大气压下，水沸腾时的温度D.某人早晨在车站等出租车的时间答案6.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，假设从20个零件中任取3 个，那么至少有一个是一等品的概率是A.B.C.D.以上均不对答案D7.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，以下概率中等于的是A.B.C.D.答案C8.假如随机变量的分布列2,3,4,那么_.答案_根底稳固1.假如是一个离散型随机变量，那么以下命题中不正确的选项是A.取每个可能值的概

13、率都是非负实数B.取所有可能值的概率之和为1C.取在某一范围内的值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和D.取在某一范围内的值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案2.袋中有完全一样的5个钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为，那么所有可能取值的个数是A.25B.10C.7D.6答案3.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么等于A.恰有1个是坏的的概率B.恰有2个是好的的概率C.4个全是好的的概率D.至多有2个是坏的的概率答案4.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是A.都不是一等品B

14、.恰有1件一等品C.至少有1件一等品D.至多有1件一等品答案5.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X101P0.512qq2那么q等于A1B1±C1D1答案.抛掷两枚骰子，所得点数之和记为那么表示的随机试验的结果是A.2枚都是5点B.1枚是1点，另一枚是4点C.1枚是2点，另一枚是3点D.1权是1点，另一枚是4点，或者1枚是2点，另一枚是3点答案7.设随机变量的分布列k=1,2,3,那么m的值为_.答案8.从有3个果球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是_.答案才能提升1.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率_.答案2.一个筒中放有标号分别为0，1，2，9的十根

15、竹签，从中任取一根，记所取出的竹签上的号数为X.1写出X的概率分布；2分别求“；“X>7，“3.5X6的概率.答案1标号分别为0，1，2，9的十根竹签，每一根被取出的可能性一样，其概率均为于是X的概率分布为：X0123456789P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.12PX>7=PX=8+PX=9=0.2；P3.5X-6=PX=4+PX=5+PX=6=0.3.3. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植本钱为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其详细情况如下表：作物产量kg300500概率0.50.5作物市场价格元/kg610概

16、率0.40.6设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列.【答案】设A表示事件“作物产量为300kg，B表示事件“作物市场价格为6元/kg，由题设知PA0.5，PB0.4，利润产量×市场价格本钱，X所有可能的取值为500×1010004000，500×610002019，300×1010002019，300×61000800.所以X的分布列为X40002019800P0.30.50.24. 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进展奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值

17、之和为该顾客所获的奖励额假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：1顾客所获的奖励额为60元的概率；2顾客所获的奖励额的分布列答案1设顾客所获的奖励额为X.依题意，得PX60.即顾客所获的奖励额为60元的概率为，2依题意，得X的所有可能取值为20，60.PX60，PX20，即X的分布列为X2060P0.50.55. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不一样的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进展支教活动每位同学被选到的可能性一样1求选出的3名同学是来自互不一样学院的概率；2设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列答案12根据超几何分布，所以随