九年级数学上册思维特训(十五)　圆中垂直、切线与等腰三角形三元素基本模型的应用

1、.思维特训十五圆中垂直、切线与等腰三角形三元素根本模型的应用方法点津 根本模型：解题切入点：作过切点的半径，结合等腰三角形、直角三角形等有关性质解题典题精练 1如图151，已知O中OA，OB是两条互相垂直的半径，P为OA延长线上任意一点，BP与O相交于点Q，过点Q作O的切线RQ与OP相交于点R.求证：RPRQ.图1512如图152，OA，OB是O的半径，且OAOB，P是射线OA上一点点A除外，直线BP交O于点Q，过点Q作O的切线交直线OA于点E.1如图，假设点P在线段OA上，求证：OBPAQE45；2假设点P在线段OA的延长线上，其他条件不变，OBP与AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你

2、完成图，并写出结论不需要证明图1523如图153，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任意一点不与点O，A重合，BP的延长线交O于点Q，R是OA的延长线上一点，且RPRQ.1求证：RQ为O的切线；2如图，假设OA向上平移，1的结论还成立吗？3如图，假如点P在OA的延长线上，BP交O于点Q，过点Q作QRRP，R在OP上，1中的结论还成立吗？为什么？图1534如图154，直线l与O相离，OA直线l于点A，OA5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.1试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；2假设PC2 ，求O的半径；3假设在O上存在唯一点Q，使QAC是

3、以AC为底边的等腰三角形，求O的半径图154典题讲评与答案详析1证明：如图，连接OQ.OBOQ，BOQB.OAOB，RQ切O于点Q，AOBOQR90，BP90，PQROQB1809090，PPQR，RPRQ.2解：1证明：如图，连接OQ.OBOQ，OBPOQB.OAOB，BQAAOB9045.EQ是O的切线，OQE90，OQBAQEOQEBQA904545.又OBPOQB，OBPAQE45.2如图，连接OQ.OBOQ，OBQOQB.OAOB，BQA36090135，OQABQAOQB135OBQ.EQ是O的切线，OQE90，OQAAQE90，即135OBQAQE90.整理，得OBQAQE45.

4、即OBPAQE45.3解：1证明：如图，连接OQ.RPRQ，RQPRPQBPO.又OBOQ，OAOB，OQBOBQ，OBQBPO90，OQBRQP90，即OQR90，RQ为O的切线2成立3成立理由如下：如图，连接OQ.RPRQ，RQPRPQ.又OBOQ，OAOB，OQBOBQ，OBQBPO90，OQBRQP90，OQR90，RQ为O的切线4解：1ABAC.理由如下：如图，连接OB.AB切O于点B，OAAC，OBAOAC90，OBPABP90，ACPAPC90.OPOB，OBPOPB.又OPBAPC，OBPAPC，从而ACPABP，ABAC.2设O的半径为r，那么由OA5，OPOBr，得PA5r.在RtOAB中，有AB2OA2OB252r2.在RtACP中，有AC2PC2PA22 25r2.由1知ABAC，52r22 25r2，解得r3.即O的半径是3.3如图，作线