考点33直线、平面垂直的判定及其性质

1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点33 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.（2011·辽宁高考理科·8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是(A) ACSB (B) AB平面SCD (C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【思路点拨】先逐项分析，再判断结论【精讲精析】选D.选项具体分析结论A四棱锥S-ABCD的底面为正方形，所以ACBD，又SD底面AB

2、CD，所以SDAC，从而AC面SBD，故ACSB正确B由ABCD，可得AB平面SCD正确C选项A中已证得AC面SBD，又SA=SC，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角正确DAB与SC所成的角为，此为锐角，而DC与SA所成的角即AB与SA所成的角，此为直角，二者不相等不正确2.（2011·浙江高考理科·4）下列命题中错误的是（A）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面平面，平面平面，那么平面（D）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【思路点拨】本题考查空间线面的垂

3、直关系.【精讲精析】选D.如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其它与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的二、解答题3.（2011·江苏高考·16）如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【思路点拨】本题证明的线面平行和面面垂直，解决的关键是根据线面平行和面面垂直的判定定理寻找需要的条件，注意要把所需的条件摆充分.【精讲精析】(1) 在中，因为分别是的中点，所以，又因为平面,PD平面,所以直线平面.(2)连结BD.因为，

4、所以为等边三角形.因为分别是的中点，所以.因为平面平面，,又因为,所以.又因为，所以平面平面.4.（2011·新课标全国高考理科·18）如图，四棱锥中，底面为平行四边形.底面 .（I）证明：（II）设，求棱锥的高.【思路点拨】第(1)问,通过证明平面证明时,可利用勾股定理，第（2）问，在中，可证边上的高即为三棱锥的高，其长度利用等面积法可求.【精讲精析】（ ）因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD. 所以BD平面PAD. 故PABD（）过D作DEPB于E，由（I）知BCBD,又PD底面，所以BC平面PBD，

5、而DE平面PBD，故DEBC,所以DE平面PBC由题设知PD=1，则BD=,PB=2，由DEPB=PDBD得DE=,即棱锥的高为.5（2011·辽宁高考文科·18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：PQ平面DCQ；（II）求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值【思路点拨】（I）；（II）设出正方形的边长为，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值【精讲精析】（I）由条件知为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面平面ABCD，交线为又四边形ABCD为正方形，所以平面，可得在直角梯形中可得，则所

6、以 6分（II）设由题设知为棱锥的高，所以棱锥的体积由（I）知为棱锥的高，而=，的面积为，所以棱锥的体积故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1 12分6.（2011·广东高考文科·18）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A，A，B，B分别为,的中点，分别为的中点. （1）证明：四点共面；（2）设G为A A中点，延长到H，使得.证明：平面 【思路点拨】(1)证明，从而它们确定一个平面，这个四点同在此平面内.(2)作辅助线如图，证，从而得结论.【精讲精析】【证明】证明：（1）中点，连接B

7、O2直线BO2是由直线AO1平移得到 共面. （2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接/由平移性质得与HB平行且相等即求二面角的余弦值为.7.（2011·广东高考理科·18）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，,分别是的中点.（1） 证明：（2）求二面角的余弦值.【思路点拨】（1）证明ADEF， ADDE，从而证得；（2）取AD的中点G，连结PG、BG.，证PGB是所求二面角的平面角，在PGB中由余弦定理可求得所求二面角的余弦.【精讲精析】（1）证明：取AD的中点G，连结PG、BG.PA=PD，ADPG.在ABG中，GAB=,AG=，AB=1, AGB=,即ADG

8、B.又PGGB=G，AD平面PGB，从而ADPB.分别是的中点，EF/PB，从而ADEF.又DE/GB，ADGB，ADDE,DEEF=E, .（2）由（1）知PGB是所求二面角的平面角.在PGB中，PG2=,BG=1sin600=,PB=2.由余弦定理得cosPGB=,8.（2011·山东高考文科·19）（本小题满分12分）如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，60°（）证明：；（）证明：.【思路点拨】（I）本题考查线面垂直的判定定理，以及空间位置关系的转化思想，要证，可先证平面,只需证BD，BDAD由平面，所以BD，设AD=a，则AB=2a由余弦定理得：,所

9、以BD=，在由勾股定理的逆定理判断BDAD.原命题得证.（II）本小题考查线面平行的判定，只需在平面A1BD内找一条直线和CC1平行即可，因此可连结AC, A1C1,设，连结EA1 ，只要证CC1EA1即可.【精讲精析】（）证明：因为，所以设AD=a,则AB=2a,又因为60°,所以在中,由余弦定理得：,所以BD=,所以,故BDAD,又因为平面，所以BD,又因为, 所以平面,故.(II)连结AC, A1C1,设，连结EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，所以由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知CC1EA1，又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以. 9.（2011

10、83;北京高考文科·T17）（14分）如图，在四面体PABCD中，点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（）求证：DE/平面BCP；（）求证：四边形DEFG为矩形；（）是否存在点Q，到四边形PABCD六条棱的中点的距离相等？说明理由.AECFBGPD AECFBGPDMQN【思路点拨】（）利用线面平行的判定定理进行证明；（）先证DEFG为平行四边形，再证明相邻两边垂直；（）假设存在，再证明.【精讲精析】（）因为D,E分别为AP,AC的中点，所以DE/PC.又因为DE平面BCP，所以DE/平面BCP.()因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点，所以DE/P

11、C/FG , DG/AB/EF，所以四边形DEFG为平行四边形.又因为,所以.所以四边形DEFG为矩形.（）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF,EG，设Q为EG的中点，由（）知，且，分别取PC,AB的中点M,N，连接ME,EN,NG,MG,MN.与（）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且，所以Q为满足条件的点.10（2011·湖南高考文科T19）（本小题满分12分）如图3，在圆锥PO中，已知PO=，O的直径AB=2，点C在上，且D为AC的中点.（）证明：AC平面POD；（）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.【思路点拨】本题主要考查了空间位置关系，考查空

12、间观念和空间想象能力.首先考查空间垂直的证明，考查线面垂直，转到线线垂直，考查线面垂直的判断定理.再考查线面角的求法，求线面角要扣住定义法.另外解决立体几何的方法有两种：一是几何法，主要考查思维能力.二是向量法，主要考查向量的运用，而向量法又有两种，一是坐标法，二是基底法.【精讲精析】（I）因为又内的两条相交直线，所以（II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角在在11.（2011·陕西高考文科·T16）（本小题满分12分）如图，在ABC中，ABC=45°，BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起

13、，使BDC=90°.（）证明：平面ADB平面BDC；（）若BD=1，求三棱锥DABC的表面积.【思路点拨】（）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算【精讲精析】（）折起前AD是BC边上的高， 当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，又AD 平面BDC.平面ABD平面BDC（）由（）知，DA,DB=DA=DC=1，ABC= AB=BC=CA=,， 三棱锥D的表面积是12.（2011·天津高考文科·1

14、7）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，平面，为中点（）证明：/平面；（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正切值【思路点拨】(1)证明 MO/PB;(2) 证明AD垂直于平面PAC内的两条相交直线PO、AC；(3) 取OD的中点N，证明即为所求的线面角，【精讲精析】（）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB/MO.因为平面ACM，平面ACM，所以PB/平面ACM.（）证明：因为，且AD=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC.（）取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的

15、中点，所以MN/PO，且平面ABCD，得平面ABCD，所以是直线AM与平面ABCD所成的角，在中，从而，在，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为13. （2011·浙江高考文科·20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，垂足落在线段上.（）证明：；（）已知，.求二面角的大小.【思路点拨】（1）小题只需把线线垂直转化为线面垂直问题；（2）利用二面角平面角的定义做出其平面角并在三角形中即可求解，本题主要考查点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间想象能力与运算求解能力.【精讲精析】（）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得ADBC, 又PO平面ABC,得POBC. 因为POAD=0，所以BC平面PAD故BCPA.（）解：如图，在