九年级数学上册思维特训(九)　抛物线背景下线段和(差)的最值问题

1、.思维特训九抛物线背景下线段和差的最值问题类型一二次函数中的“饮马问题根本原理：两点之间，线段最短解题思路：利用抛物线自身的轴对称性找到抛物线上某点关于对称轴的对称点，实现化“折为“直，再结合函数的相关知识解决1如图91，抛物线yax2bxc经过A1，0，B3，0，C0，3三点，直线l是抛物线的对称轴1求抛物线的解析式；2设P是直线l上的一个动点，当PAPC最小时，求点P的坐标图912如图92，抛物线yax2bx3经过A1，0，B4，0两点1求抛物线的解析式2在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？假设存在，求出四边形PAOC周长的最小值；假设不存在，请说明理由图923如

2、图93，抛物线yax2bxc经过A3，0，B1，0，C0，3三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.1求该抛物线的解析式；2PQ是该抛物线对称轴l上的动线段，且PQ1，求PCQB的最小值图93类型二二次函数中线段差的最大值问题根本原理：三角形任何两边之差小于第三边解题思路：先根据原理确定线段差的最值问题时的图形，再根据条件进展求解4如图94，抛物线yx2bxc过点A3，0，B1，0，交y轴于点C，P是该抛物线上一动点，点P从点C沿抛物线向点A运动点P不与点A，C重合，过点P作PDy轴交直线AC于点D.1求抛物线的解析式2当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大

3、值3在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MAMC|的值最大？假设存在，恳求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由图9452019·眉山：如图95，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA1，OB3，OC4，1求经过A，B，C三点的抛物线的解析式2在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？假设存在，恳求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由3假设M为该抛物线上一动点，在2的条件下，恳求出当|PMAM|取最大值时点M的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值图956：如图96，在平面直角坐标系xOy中，直线yx6与x轴、y轴的交

4、点分别为A，B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.1直接写出点C的坐标，并求经过A，B，C三点的抛物线的解析式2假设1中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由3假设把1中的抛物线向左平移3.5个单位长度，那么图象与x轴交于G，N点G在点N的左侧两点，交y轴于点E，那么在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E，N两点的间隔 之差最大？假设存在，恳求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由图96典题讲评与答案详析1解：1抛物线yax2bxc经过C0，3，c3.抛物线yax2bx3经过

5、A1，0，B3，0，解得抛物线的解析式为yx22x3.2yx22x3x124，对称轴为直线x1.A，B是抛物线与x轴的交点，点A，B关于直线l对称，PAPC最小时，点P就是直线BC与直线l的交点如图B3，0，C0，3，直线BC的解析式为yx3.点P在直线l上，点P可设为1，m将1，m代入yx3，可得m2，P1，22解：1由，得解得抛物线的解析式为yx2x3.2A，B关于对称轴对称，如图，连接BC，BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PAPCBC，四边形PAOC的周长的最小值为OCOABC.A1，0，B4，0，C0，3，OA1，OC3，BC5，OCOABC3159，在抛物线的对称轴上存在点P，

6、使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9.3解：1抛物线yax2bxc经过C0，3，c3.抛物线yax2bx3经过A3，0，B1，0，抛物线的解析式为yx22x3.2过点C作直线l的对称点E，过点E作EGAB于点G，过点Q作QFPE，交EG于点F，连接FB，如图，那么有PCPE，EFPQ.EFPQ，QFPE，四边形EFQP是平行四边形，EFPQ1，PEFQ，PCFQ，PCQBFQQB，根据两点之间线段最短可得FQQB即PCQB的最小值为FB.抛物线yx22x3的对称轴为直线x1，C0，3，点E的坐标为2，3，点F的坐标为2，2在RtFGB中，FG2，GB123，根据勾股定理

7、可得FB.PCQB的最小值为.4解：1抛物线yx2bxc过点A3，0，B1，0，解得抛物线的解析式为yx24x3.2令x0，那么y3，点C0，3，那么直线AC的解析式为yx3.设点Px，x24x3PDy轴，Dx，x3，PDx3x24x3x23xx20<x<3a10，当x时，线段PD的长度有最大值.3抛物线的对称轴垂直平分AB，MAMB.由三角形的三边关系，可知|MBMC|BC，当M，B，C三点共线时，|MBMC|的值最大，为BC的长度设直线BC的解析式为ykxmk0，那么解得直线BC的解析式为y3x3.抛物线yx24x3的对称轴为直线x2，当x2时，y3×233，M2，3

8、，即抛物线的对称轴上存在点M2，3，使|MAMC|的值最大5解：1设抛物线的解析式为yax2bxc.由题意易知A1，0，B0，3，C4，0，解得经过A，B，C三点的抛物线的解析式为yx2x3.2存在OB3，OC4，OA1，BCAC5，AB.如图，当BP綊AC时，四边形ACBP为菱形，BPAC5，且点P到x轴的间隔 等于OB，点P的坐标为5，3当点P在第二、三象限时，以点A，B，C，P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，当点P的坐标为5，3时，以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形3设直线PA的解析式为ykxmk0点A1，0，P5，3在直线PA上，解得直线PA的解析式为yx.当点M与点P，

9、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系，知|PMAM|<PA，当点M与点P，A在同一直线上时，|PMAM|PA，当点M与点P，A在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即M为直线PA与抛物线的交点解方程组得点M的坐标为1，0或5，时，|PMAM|的值最大此时|PMAM|的最大值为5.6解：1如图，连接CH.由轴对称的性质，得CHAB，BHBO，CHCO，在RtCHA中，由勾股定理，得AC2CH2AH2.直线yx6与x轴、y轴的交点分别为A，B，当x0时，y6，当y0时，x8，B0，6，A8，0，BO6，OA8，在RtAOB中，由勾股定理，得AB10.设Cp，0，那么OCp，CHp，AH4，AC8p，8p2p242，解得p3，C3，0设抛物线的解析式为yax2bxc.由题意，得解得抛物线的解析式为yx2x6.2不存在理由：如图，设抛物线对称轴交x轴于点F.yx2x6，D，DF.设直线BC的解析式为ykxb，那么有解得直线BC的解析式为y2x6.设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，Pm，n过点P作PMOA于点M，那么PMOAFD90°，PODA，PODA，POMDAF，OPMADF，PMDFn，2m6，m，但OMAF8，点P不在直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P.3由题意得，