变指数二阶差分系统的非平凡周期解.docx

1、应用数学MATHEMATICAAPPLICATA2021,34(4):847-854变指数二阶差分系统的非平凡周期解张申贵(西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州730030)摘要：该文研究一类变指数二阶差分系统周期解的存在性.当非线性项超线性增长时，运用临界点理论中的环绕定理获得了非平凡周期解存在的充分条件.关键词：周期解;离散p(k)-Laplace算子；变指数差分系统;基尔霍夫问题;临界点理论中图分类号：0175.12AMS(2OOO)主题分类：34A34；34心3文献标识码：A文章编号：1001-9847(2021)04-0847-081.引言变指数的非线性问题是当今的一个热点的研

2、究课题，此类模型可以刻画“逐点异性"物理现象.在研究非线性弹性力学的过程中，Zhikov在文1中研究了具有变指数增K条件的积分问题.在文2中，Ruzicka讨论了变指数函数空间在电流变学中的应用，并建立了刻画电磁场与流体的相互作用模型.在文3中，作者研究了一类带有变指数微分算子的数学模型，应用此模型研究了图像恢复问题,此类模型可以更好地去掉边界上的噪声.在信息科学、金融学、人工智能及自动化理论等学科中都会涉及到大量的差分方程模型4映界点理论是甘钱性泛南分析的爪斐分支，许多临殊.点理论的分析力让己成为州咒只有变分饴构的。子方程可邮性的仃故工只，知概小概大方法，卜降流不受柴站合象调送代的

3、力法，秽动T【砌.，Nehari潦形力法和折标理论答.学砒旧开舶姑叫临界点理论讨论始分力程边的存在性5-16.意大利数学家Anibrosetti和美国数学家Rabinowitz给出了著名的超线性条件(AR),即设存在>2,L>0,使得O<虾(k,x)<(VF(k,x),x),对所有居Z1,T和xERN,|x|2L成立，其中VF(,x)=VF(,x)=.Ox】dx2dxn特别当(AR)超线性条件成立时，文6-7得到了差分系统周期解的存在性定理.条件(AR)可以保证非线性项VF(k,x)关于变量x在无穷远处是超线性的.条件(AR)被广泛的用于微分方程边值问题可解性的研究中，

4、但是很多超线性函数并不满足条件(AR).设p(k):Z0,7T2,+8)满足p(o)=P(T),及p=minp(k)wp+=maxp(k),kezo,TkeZo,T2020-09-13基金项目：国家自然科学基金(11401473);甘甫省自然科学基金资助(I7JR5RA284);中央高校基本科研业务费专项资助(31920190057)作者简介：张申贵，男，汉族.甘肃人.副教授，研究方向：非线性泛函分析和偏微分分方程.其中Za,d:=Zna,h,a,heZ,a<b.记离散p(k)-Laplace算子为：p(a)x(k):=(|Ax(k)|心MAx(k),k£Z,其中Z表示整数集，

5、T为正整数,Ax(k)=x(k+1)-x(幻表示向前差分算子.离散p(k)-Laplace算子具有更强的非线性性质，如离散p(k)-Laplace算子是非齐次的.文1引讨论了变指数差分系统<一(妇i)x(k-1)=VxF(k,x(k),GZl,T,x(o)-x(T+1)=Ax(o)-Ax(T)=o,T-周期解的存在性.当具有次线性非线性项和部分周期位势时，利用临界点理论中的广义鞍点定理得到了此系统多重周期解存在的充分条件.文16建立了一类变指数差分系统至少一个或无穷多个同宿轨存在的充分条件.本文中，研究Kirchhoff型变指数二阶差分系统MEx(k-1)=VxFk,x(«),

6、AceZ1,T,k=ix(o)-x(T+1)=Ax(o)-Ax(T)=0,T-周期解的存在性，其中M(s):o,+8)t(o,+8)为连续函数，为正整数.设对所有keZ,F：ZxRN-R关于x连续可微，且对所有xiRN,F关于k是T-周期的.()对比文5-16中的研究，问题(1.1)中的方程带有非局部系数，即M:心"侦普V,这个系数依赖于运动的能量在定义区域内的平均值，此类问题常被称为Kirchhoff型方程.基尔霍夫型方程可以刻画物理学和生物学中出现的许多数学模型切在文5-16中研究的问题对应的能量泛函是本文中问题(1.1)对应的能量泛函p(k)=2或M(t)=1的特殊情形.本文将

7、利用变分原理和临界点理论研究问题(1.1)多重周期解的存在性.具体计划为将问题(1.1)的周期解转化为定义在变指数离散Sobolev空间上一个泛函的临界点，在一类不同于(AR)条件的超线性条件下，我们将利用临界点理论中的环绕定理1冏得到问题(1.1)非平凡周期解存在的充分条件.2.准备知识设p(k):Zo,T->(1,+oo)满足p(o)=p(T).记小+】W(k)=乂(幻:zo,T+1-RN'|x|以幻v+8.k=i定义2.仆5】具有范数定义2.2冒"+1),及XP(幻A-1*定义离散变指数Sobolev空间E=(xG/)|Ax(fc-1)GZx(o)Xxp(k)=i

8、nfA>ok=ii22>E=xeEx:=x(Zc)=o.对xGE,记llxll=M+llxll为丘的等价范数，茸苗或观姬=欢)一晋P(k)'Tk=iE.易见,E和丘为有限维空间，且咬II=llxllp(jt),则E=RjV®K引理2.ii引记p=minp(k),p+=maxp(k),对于文E亘和x£E,有kGfo.Tkeo,Tr(i) llxllv1=|文|P式:|Ax(k-i)F(Dw|&|p；K=ln-区p(Ac-l)+(ii) llxll>1=HxTI'w|Ax(k-1)|llx|p;k=iTVi(iii) llxll=1=&

9、#39;|Ax(k-i)|Pd)=i.k=i引理2.2演1对于xGE,存在常数C。>O,有IIXIR：=max|x(k)|wCollxll.A;GOf7"+l引理2.3冏设E为Banach空间，令E=E®&,dim&<+8.设中eC】(E,R)满足以下条件：(i) 设$>o,Bg：=u6E|u|v5有Ao:=sup<P(x)<Bo:=sup0(x);xeEindBf；xeEz(ii) 若对任何点列(XnUE,当72+8时，有0(X)->C,Bo<C<+8,(14-IIX|)|0'(Xn)|->O,

10、则可推得X“有收敛子列.则泛函勿至少有1个非平凡临界点.3-主要结果在空间E上定义能量泛耍:EtR如下：0(x)=曰空性y+在空间E上定义能量泛耍:EtR如下：0(x)=曰空性y+其中k=i.7F(k,x(k),VxGE,k=i则连续可微，且(计3攻=-51些攵ZP(k-1)Ss£(s):=M(f)dtoS(|Ax(k-i)|P(D-2Ax(k-i),g(k-1)k=iX+(V(k,x(k),g(k),Vx,yEE.k=i则x6E是问题(1.1)的T-周期解等价于x是泛函的临界点.假设以下条件成立：(Ml)设存在常数7”o>o,使得M(s)>mo,对所有seo,+8)成立

11、.(M2)设存在常数21,使得7/7&(s)2M(s)s,对所有seo,+8)成立.(F,)设存在单调递减函数九6C(R+,R+),常数乙>O,使得(叩+人(|x|)F(k,x)<(VxF(k,x),x),对所有keZi,T和xeRN,|x|>乙成立，其中函数人满足：(i) lims/?(s)=+8,Vs6R+;(ii) limH(s)=+oo,其中H(s)=exp,VsGR+.S+8L°(F)设k为正常数，使得liminf>k>o,对所有kGZi,T成立.(F：设limsupI竺丝I出匕地凹L：期侨宥k£Zi,T成立，其中m为条件(M

12、)中给出的3闵*闵"2“。1正常数'(F；)设F(k,x)>o,对所有k6Z1,T和x6RN成立.本文的主要结果如卜.:定理31设条件(MJ,(M2),(FO,(F2),(F3)和(F4)成立，则系统(1.1)至少有1个非平证记丘='x(k)6E灭,.=*_x(k)=0),E=RNe再则Tx=，H*)6RN,双k):=x(k)xEE.步1证明泛函满足引理2.3市条件(i).由条件(F3),存在两个正常数。和p满足<(3.1)(3.2)(3.1)(3.2)o<p<£<minc,使得使得02p+TC&F(k,x(k)III+

13、ehr(k)p+,2p+TC&对所有keZo,T和xGRN,|x|wp成立.令5:=p/Co,则6<1.若llxll=8,有|x(k)|<llxllco<Collxll=p.T+F(k,乏(k)k=iP(kT)由条件(Ml)和式(3.2/利用引理2.1和2.2,对*6瓦监|=SV1,有响=项*(_)件k=if侬2心)M(t)dt+)Ek=iCm+£0J也心(g明Dw_LM(t)dt+2d+TCpc)0(厂)严*10mo/<Pni0k=iniQpmo2p+nX£tc0iixiio.=+0TCff+ellxllp+=-器+TC8、由式(3.2),

14、可得0<£<mo,则有A:=洲腕双x)<另一方面,由条件隅GRN,|饥=|圳<&,有(g)='r(k,g)2O.k=i这表明OWBo：=sup0(x).xeR*v步2证明泛函勿满足引理2.3中条件(ii).设序列以uE,当“T+8|时，有0(Xn)tC,BOC<+8,(1+|X“|)|敏(Xn)|O,则存在常数G>o,使得(3.3)(3.3)(3.4)(3.5)|0(X)|<Ci,(1+|Xnll)H0，(Xn)|<Ci,(3-6)首先证明乂曲在E有界.采用反证法，设X”在E中无界，则当77+8时，有llXnll+8.意

15、至虹督"(%由条件件)，有)X|Ax(k_1)1嵌T)1X|Ax(k_1)|P(J)X|Ax(k_1)|P(J)心点-】)W伊PS】)罕咐-】)时k=】P*1)k=】由条件(&),存在常数r>o,有F代x)nk|x|妒H(|x|)>o,(3.8)对所有A6Z1,T和|x|>r,xGRN成立.记K：=winf/i(|x|)>o,>maxLrEln:=keZl,T|xn(fc)|>max(L,r,及E2n：=keZi,T|x“(k)|<max(L,r).由式(3.8)及条件(FJ,可得WvxF(k,x),x“(k)-(7)p+K)F(k,

16、x)'*五=(Va-F(k,Xn(k),Xn(k)-(叩+K)F(k,x“(k)keEl,rX+(VxF(k,(比),Xn(fc)-(77P*+fQF(k,xn(k)灭国'(VxF(k,x“(k),x)-(叩+人(|x“|)F(k,x)keEm+(VxF(k,x),Xn(fc)-(7?p+K)F(k,x(fc)j'(VxF(k,x(k),Xn(k)-(叩+K)F(k,x"k)J>-C2,(3-9)keEtn其中C2=max(L,r.max|V.F(k,x(k)|k6Zi,T,x(k)wmax(L,r)<+(p+K)maxF(k,x(k)|kGZi,

17、T,|x(幻|<max(L,r).由式(3.7),(3.9)和条件(MJ,有c3>eg)|+叩+火(i+1101)1103)11E(x“)+福土澎<x“),由心Pd)g+对jPd)l7+"+QV(k，X伙),X旧)-F(k,x依)p(k_l)p(k_l)k=mo"|Ax(k-i)|P(4D-C4,k=iMV-古七*ISgiP门以«-】)叶)-Q7p+71P+K)11>rjp+rjp+K则有（3-10）(3.11)-i)|"(*t)<C5.k=i由引理2.1和式(3.io),对玄eE，有G+i)幸llXnll<Y阡T)+

18、1<C6.k=i结合式（3.6）和（3.11）,有lim坦=。.“T+8|Xn|（3-12）a)n=2-+X=(On+Wn,llXnlll|X|llXnll则S在E中有界，且|御|=1.因此,s在E中弱收敛于co,且仇在C（Zo,T;RN）中强收敛于利用式（3.12）,有lim|0n|=0.n-+oo则cd=7bGRM及co/=o.由式(3.6),可得limx,i(Zc)=+00."一+8由式(3.14),及limH(s)=+8,有S+8limH(|x,】(k)|)=+00.n4-00由式(3-15),条件(F)并注意到钮=o,有脾承IIX.IIE乙/剖Jf崎|叩+lim|0n

19、|=0.n-+oo则cd=7bGRM及co/=o.由式(3.6),可得limx,i(Zc)=+00."一+8由式(3.14),及limH(s)=+8,有S+8limH(|x,】(k)|)=+00.n4-00由式(3-15),条件(F)并注意到钮=o,有脾承IIX.IIE乙/剖Jf崎|叩+（3-13）（3-14）（3-15）M(s)77<份即s对所有s6s“+8)成立，其中2I,盼(s)=:M(t)dt.从而有IM(s)Js也£o)$丑(s>In=d<7<da=In-盼(Si)%sioSi£.fF(k,Xn(k叩*H(|X(k)|)一心段期由

20、(k)"p+H(|x“(k)|)"T(3>liminfK(onpH(|xn(/c)|)=+00."一+8k=i令SCO,利用条件(M2),有对所有sGSlf+8)成立.则有对所有SeS1,+8)成立.从而存在常数77?1>O和7772>o,使得id(S)<+7722,对所有S>0成立，其中7771:=福冒D,77M：=maxsco,sJ财(s).另一方面，若llXnll>1,利用新理2.1和若(3.17),有-0(Xn)+芝F(k,X&)=/"-1)件)Ar=i)=1<m,77xk=iP(k-1)J刀|5

21、(人-1)叶)+m2V(履，nil113II仲+m2fpC)TCN).+llx叫i”，对所有SeS1,+8)成立.从而存在常数77?1>O和7772>o,使得id(S)<+7722,对所有S>0成立，其中7771:=福冒D,77M：=maxsco,sJ财(s).另一方面，若llXnll>1,利用新理2.1和若(3.17),有-0(Xn)+芝F(k,X&)=/"-1)件)Ar=i)=1<m,77xk=iP(k-1)J刀|5(人-1)叶)+m2V(履，nil113II仲+m2fpC)TCN).+llx叫i”，-1)一>+m2即有一临11&

22、quot;L=i"列|叩+从而,结合式(3.5),(3.6)和(3.12),可得hmsup_<o.nT+8上=忡+(3-17)(3-18)若I监IIw1,利用引理2.1和式(3.17),同理可证式(3.18)成立.易见，式(3.18)与(3.16)矛盾，故办在E中有界.由于E为有限维空间，昂在E中有收敛子列，故泛函中满足引理2.3中条件(ii).综上，泛函中满足引理2.3中所有条件，根据引理2.3,泛函中至少有1个非平凡临界点，从而问题(1.1)至少有1个非平凡"周期解.注3.1令非局部系数肱(S)=1+泠取=1,7710=1,则函数M(S)满足条件(M】)和(M2)

23、.比较(AR)条件,本文中的条件(F.),(F2)是一类不同的超线性条件.W(s)=i,p(k)=2,令F(k,x)=F(x)=|x2ln(i-hat),可得1F111T2(i+|x|)ln(i+|x|)LIxl(VF(k,x),x)=2+ln(i+M).(1+|x|)】n(i+|x|)则F满足本文条件(FO,(F2),(F3)和(F4),但不满足条件(AR),及文5-16中定理的条件.参考文献：|11ZHIKOVV.OnsomevariationalproblemsfJ.RussianJournalofMathematicalPhysics,1997.5(1):105-116.2RUZICK

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