山东大学网络教育《线性代数(1-3)》

1、线性代数模拟题(一)单选题.1下列(A )是4级偶排列.(A)4321 ;(B)4123;(C) 1324;(D)2341.2. 如果ana12a134an2an3a2a13D =a21a22a23=1 ,D1 =4a212a213a 22a23a31a32a334a312a313a 32a33那么 Dr = ( D ).(A) 8 ；(B)-12 ；(C) 24；(D)-24 .3. 设A与B均为n n矩阵，满足 AB =0，则必有(C )(A)A=0或 B =0;( B) A B=0 ;(C) A =0 或 B =0 ;(D) A +|B =0 .4. 设A为n阶方阵(n >3)，而

2、A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k式0,±1,则必有(kA： 等于(B ).*n 1*n *1(A) kA ;( b ) k A ;( C) k A ;(D) k_A* .5. 向量组-，-，.，亠线性相关的充要条件是(C )(A)仆2,.s中有一零向量(B) 2 ,s中任意两个向量的分量成比例(C) -：g, -4 ,., -4中有一个向量是其余向量的线性组合(D) -：» ,-：込,.,-：s中任意一个向量都是其余向量的线性组合6.已知：1，：2是非齐次方程组 Ax =b的两个不同解，1，2是Ax=0的基础解系，k1 ,k2为任意常数，则 Ax = b的通解为(B )

3、(A) k1 - 1k2(：1：2)(B) kr 1(C) kr 1R _ Rk2(2)(D) kr 17. 入=2是A的特征值，则(A2/3) t的一个特征值是(B)(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/4-18. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,14,1/5，则行列式|B -I|=(B)(a)0 (b)24(c)60(d)1209. 若A是(A ),则A必有A* = A .(A)对角矩阵；(B)三角矩阵；(C)可逆矩阵；(D)正交矩阵.10. 若A为可逆矩阵，下列( A )恒正确.(A) 2A =2A ；(B) 2A 2A;(C) (AJjAjT1 ；(D)

4、l(A)T* = (A)1 .二计算题或证明题1. 设矩阵广32-2、A= -k -1 k"2 -3(1) 当k为何值时，存在可逆矩阵P,使得1AP为对角矩阵？(2) 求出P及相应的对角矩阵。参考答案：k =1*0, k为任何值时.都存在可逆矩阵P. P_IAP-3为对角矩阵:久3（2）令盒ni|x/-/|= 0-4-2 2A + 0 =（Z +1）'（X I）=0 f 入=為=1爲-2 A + 3-4x, - 2x2 + 2舟=0?|-1 , = 1 时丫 h 屁殂（X/ - A）X = 0 为匕 Ox, = 0,r; + 0“ =0 * TC革础解毎为土-+ 2斗=0II

5、W7一 2.vl - 2x2 + 2Xj = 0巧=2也=0；汨入=1时，2x3=O,其早础解条为,为=0Z-4jt| 2Xj 4-4xj =0丄J 1 0、f- 0P =2 0 （）i对角範阵A二0 -1 0,0 2 1；<0 0 lj2. 设n阶可逆矩阵A的一个特征值为 入，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/入是 A*的一个特征值。证期*设心为/妁一个特征值,w|v-*|=|v- 'M|=H-Au|IH=r w'u=4=7°3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解.axi X2 X3 = 1« Xj +

6、 ax2 + x3 = a2Xi +X2 + ax3 =a参考答案：当a =1,-2时有唯一解:Xi,X2 二丄a+2 a+2a+2当a =1时，有无穷多解:=1k1k2=k1=k24.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.(1 '3（3、公(1、-1301-1% =2«21037«4:505 =2它丿<14丿2丿3丿参考答案：'10321 >(030=n-1301-100000=>217570110-14214600-4otlta2la4 是个极大无关纽，H er, -3a +a2, as = -a -a2+a4

7、5. 若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：AB - BA是对称矩阵.参考答案：证±巾条件屮二川R，=-R、=（AB7 -（8A）t = AT -AT8T =8）4-A（- B）= AB- BA e线性代数模拟题(二)单选题.1.若i)N(1k4l5) anak2a43al4a55是五阶行列式aj的一项，则k、丨的值及该项符号为(A )(B) k = 2 , = 3符号为正；(D) k = 1，丨=2，符号为正.(A) k=2 ,丨=3，符号为负；(C) k = 3, = 2，符号为负；2. 下列行列式( A )的值必为零.(A) n阶行列式中，零元素个数多于n2 -n个;(B) n

8、阶行列式中，零元素个数小于n2 - n个;(C) n阶行列式中，零元素个数多于n个；(D) n阶行列式中，零元素的个数小于n个.3.设A , B均为n阶方阵，若 A，BA-B=A2-B2，则必有(D ).(A) A=l ；(B) B =0 ；(C)A=B ；(d)AB=BA .4. 设A与B均为门疋门矩阵，则必有(C ).(A) A + B| = A ；(B) AB = BA ； (C) )AB| BA ； (D) (A + B f = A-1 + B 二.5. 如果向量可由向量组 宀宀”宀 线性表出，则(D/A )(A) 存在一组不全为零的数ki,k2,.,ks，使等式：二ki - k 2.

9、kss成立(B) 存在一组全为零的数k1 ,k2 ,.,ks，使等式：=krk 2. - ks> s成立(C) 对1的线性表示式不唯一(D)向量组：，'，:七，.,：线性相关6. 齐次线性方程组 Ax = 0有非零解的充要条件是(C )(A) 系数矩阵A的任意两个列向量线性相关(B) 系数矩阵A的任意两个列向量线性无关(C )必有一列向量是其余向量的线性组合(D)任一列向量都是其余向量的线性组合7. 设n阶矩阵A的一个特征值为 入，则(入A 1)2 + I必有特征值(B)入2+1(b)入 2-1 (c)2 (d)-23 2 -r8.已知A =0 0a与对角矩阵相似，贝y a =(

10、 a )少00(a) 0;(b) - 1;(c) 1 ;(d)29.设A , B , C均为n阶方阵，下面( D )不是运算律.(A) A B 亠C = (C B) A ;(B) (A B)C = AC - BC ；001、10 0、10 0、100、(A)0 1 0；(B)0 0 0；(C)0 2 0；(D)0 1 -2J 0 °1° 1 °1° 0 b1° 0 1B ）不是初等矩阵.10.下列矩阵计算题或证明题(C) (AB)C=A(BC);(D)(AB)C =(AC)B1.已知矩阵A，求A10。其中-1参考答案:解：A=AA =11 -

11、2ld2.设A为可逆矩阵，入是它的一个特征值，证明: 参考答案：-1A的一个特征值。证£设无为的个特征師爲 = A-I)AX = A' A- 1 ，因为乂兄 A的个特:征故f-二乂 冈易韭。放2护0口人二丄二久3.当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解.X3 = a - 3X3 一2-2参考答案:ax1 X2x1 ax2x1' x2 ax3 =1, -2时有唯一解:a -1-3-3,x2 =, x3 =a 2 a 2 a 2=1时，有无穷多解:| X二 _2 _ 匕 _ k? X2 *1.X3 = k2-2时，无解。4.求向量组的秩及一

12、个极大无关组,并把其余向量用极大无关组线性表示.广1 '1cr202 103 -104 -03120<1><2>1参考答案:pii-11(00'2 1 100-1门解：向盘矩阵>2 1 2000I-I4 1120000丿极大无关组为：a2 , a3, a4且a=a?+印15.若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明T AT是对称矩阵.参考答案：证：由条件知 A1 =A. Ta = Tt.=TiA1，（A-lJ = TAAT 为对称矩阵.线性代数模拟题(三)单选题.1. 设五阶行列式aj =m，依下列次序对 aj进行变换后，其结果是( C ) 交换第一行与

13、第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素.1(A) 8m ；(B) -3m ；(C)-8m ；(D) m 413x ky - z = 02. 如果方程组 4y+z=0有非零解，则(D )kx - 5y - z = 0(A) k=0 或 k=1 ； (B) k=1 或 k=2 ； (C) k = -1 或 k=1 ； (D) k = -1 或 k - -3 3. 设A , B , C , I为同阶矩阵，若 ABC二I，则下列各式中总是成立的有(A )(A) BCA=I ;(B) ACB=I ;(C) BAC=I ;(D) CBA=I .4. 设A ,

14、 B , C为同阶矩阵，且 A可逆，下式( A )必成立.(A)若 AB 二 AC，贝U B = C ;(B)若 AB = CB，则 A=C ;(C)若 AC =BC，则 A 二 B ；(D)若 BC =0，则 B =0 5. 若向量组2,./' s的秩为r，则(D )(A )必定r<s(B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关(C )向量组中任意r个向量线性无关(D)向量组中任意个r - 1向量必定线性相关6. 设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是(C )(A) >1 *2,2 *3,3 *1 ；(B)11 *2,3 *2 "(C)：1 -：

15、 2,： 2 - ： 3,： 3 - ： 1；(D)： 1： 2,2： 2： 33 3： 17. 设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则(D)(a) 入I-A =入I-B (b)A 与B有相同的特征值和特征向量(c)A 与B都相似于一个对角矩阵(d)kl-A与kI-B相似(k是常数)8. 当(C)时，A为正交矩阵，其中(a b)A =c丿(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1;(c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 .(A):亠*33 *4?1 线性无关；(A):亠*33 *4?1 线性无关；已知向量组123,4线性无关，则向量组(A )(

16、A):亠*33 *4?1 线性无关；(C) >1心2, >2匕3,3比4,4 -1线性无关(D)宀：込，2卜二3,二3八4 ,-：* -"I线性无关.9. 当A= ( B )时，有a2a 3ca 2 3c?a3 3c3Ab1b2b31b2b3gC2C3丿1 C1C2C3广100、广10-3、'00-3、00'(A)010；(B)010；(C)010；(D)010<_30h<001丿J01 >1°-3b计算题或证明题1.设AB,试证明(1)AmBm(m为正整数)(2)女口 A可逆，则B也可逆，且 A 1B1参考答案：证：(1)由条

17、件得A = PBPtAv =PBPiY (pBPPBP'IrBP' =PB'P PI3P1 ' =P1TP 1 则 A”5 *尸 F- J2.如n阶矩阵A满足 参考答案：则 A 1 =(/JA?r =Pfi lP 1 沖71斥=人 证明：A的特征值只能为 0或-1。ilh 谟A A A的 个特AX = AX= A X = AAX = A X ,冇人二才，几=0或几=13当a、b取何值时，下列线性方程组无解、 有唯一解、有无穷多解？有解时， 求其解.d +2x2 _2x3 +2x4 =1X2 - X3 - X4 =1x1 x2 -x3 3x4 = a捲 _ x2

18、x3 5x4 = b参考答案：給增广蜓阵021_2-12-I110011-14-I-厂I11-3an0000a1-1500Q22,1)当ghO或+2*0时,线性方程组无解;(2)卅灯=0、H叶2-0线性方秽组冇无穷解*基础辅系为广(卽工叩.S = (- 4JQ1)t 料解闵=(-lT1A0)r 逋解 a = ka. + g + 叫X =_ k2x2 = 1 + & + k2 当a=0, b = - 2时有解x kiX4 =k24.判断向量一：能否被1,2,3线性表出，若能写出它的一种表示法.J8、S3、广5、-3，僅1 =7,0( 2 -5、* 3 =-6-7103C10>< 3 J<_2J<