学业分层测评 第1章 1.2　基本不等式

1、.学业分层测评建议用时：45分钟学业达标一、选择题1.设a>0，b>0，且ab4，那么有A.B.1C.2D.【解析】4ab2，2，21.【答案】B2.设x，yR，a1，b1，假设axby3，ab2，那么的最大值为A.2B.C.1D.【解析】因为x，yR，a1，b1，且axby3，ab2，所以xloga3，ylogb3，log3alog3blog3ab，由均值定理，ab3，故log3alog3blog3ablog331.【答案】C3.设a0，b0，假设是3a与3b的等比中项，那么的最小值为A.8 B.4 C.1 D.【解析】由题意，知3a·3b3，即3ab3，故ab1.因为

2、a0，b0，所以·ab2224，当且仅当ab时，等号成立.【答案】B4.ma1a0，n3xx1，那么m，n之间的大小关系是 【导学号：38000007】A.mnB.mnC.mnD.mn【解析】因为a0，所以ma1213，当且仅当a1时，等号成立.又因为x1，所以n3x313，所以mn.【答案】A5.某车间分批消费某种产品，每批的消费准备费用为800元.假设每批消费x件，那么平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的消费准备费用与仓储费用之和最小，每批应消费产品A.60件B.80件C.100件D.120件【解析】每批消费x件，那么平均每件产品的消费准备费用是

3、元，每件产品的仓储费用是元，那么2 20，当且仅当，即x80时“成立，每批应消费产品80件，应选B.【答案】B二、填空题6.x，那么函数y4x的最大值为_.【解析】因为x，所以4x50，所以54x0.所以y4x4x555253，当且仅当54x，即x1时，等号成立.故当x1时，y取最大值，即ymax3.【答案】37.设点Px，y在直线xy1位于第一象限内的图象上运动，那么log2xlog2y的最大值是_.【解析】要求log2xlog2y的最大值，即求log2xy的最大值，应先求xy的最大值.显然当xy时，xy的最大值为，故log2xlog2y的最大值为2.【答案】28.函数ylogax31a0，

4、a1的图象恒过定点A，假设点A在直线mxny10上，其中mn0，那么的最小值为_. 【导学号：38000008】【解析】因为ylogax31恒过点2，1，所以A2，1.因为A在直线上，所以2mn10，即2mn1.又因为mn0，所以m0，n0.又因为22428，当n，m时，等号成立，所以的最小值为8.【答案】8三、解答题9.a，b都是正数，且ab1，1求证：4；2求22的最小值.【解】1证明：2224.22·，即.又得0ab，即4，15，当且仅当ab上式等号成立.10.如图1­2­2所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏

5、目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸单位：cm，能使矩形广告面积最小？图1­2­2【解】设广告的高和宽分别为x cm，y cm，那么每栏的高和宽分别为x20，.其中x>20，y>25.两栏面积之和为2x2018 000，由此得y25，广告的面积Sxyx25x，整理得S25x2018 500.因为x20>0，所以S218 50024 500.当且仅当25x20时等号成立，此时有x20214 400x>20，解得x140，代入y25，得y175.即当x140，y17

6、5时，S获得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.才能提升1.a0，b0，那么2的最小值是A.2B.2C.4D.5【解析】22，因为a0，b0，所以ab2，当且仅当ab时，等号成立.所以2222×24，当且仅当时，等号成立.综上所述，ab1时，取等号.【答案】C2.假如圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是A.B.C.D.【解析】l4r2h，即2rh，Vr2h.当且仅当rh时等号成立.【答案】A3.设a0，b0，且不等式0恒成立，那么实数k的最小值为_.【解析】由a0，b0，0，得k.又因为24ab时，取等号，所以4.因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值为4.【答案】44.如图1­2­3所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，AB3米，AD2米.1要使矩形AMPN的面积大于32平方米，那么AN的长应在什么范围内？2当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积.图1­2­3【解】1设ANx米x>2，那么NDx2米.由题意，得.，AM，S矩形AMPN·x>32，3x232x64>0，3x8