学业分层测评 第3章 3.1　数学归纳法原理(3.1.1+3.1.2)

1、.学业分层测评建议用时：45分钟学业达标一、选择题1.满足122334nn13n23n2的自然数nA.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4【解析】经历证当n1,2,3时均正确，但当n4时，左边1223344540，而右边34234228，应选C.【答案】C2.某个与正整数n有关的命题，假如当nkkN且k1时命题成立，那么一定可推得当nk1时，该命题也成立.现n5时，该命题不成立，那么应有A.当n4时该命题成立B.当n6时该命题成立C.当n4时该命题不成立D.当n6时该命题不成立【解析】假设n4时命题成立，由递推关系知n5时命题成立，与题中条件矛盾，n4时，该命题不成立.【答案】C3.记

2、凸k边形的内角和为fk，那么凸k1边形的内角和fk1fkA.B.C.2D.【解析】nk到nk1时，内角和增加.【答案】B4.用数学归纳法证明：1232n1n12n1时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为A.1B.13C.123D.1234【解析】当n1时左边所得的代数式为123.【答案】C5.一个与自然数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立推得nk2时命题也成立，那么A.该命题对于n2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取什么值无关D.以上答案都不对【解析】由题意n2时成立可推得n4,6,8，都成立，因此所有正偶数都成立，应选B.【答案】B二、

3、填空题6.用数学归纳法证明：设fn1，那么nf1f2fn1nfnnN，且n2第一步要证明的式子是_.【解析】n2时，等式左边2f1，右边2f2.第一步要证明的式子是2f12f2.【答案】2f12f27.用数学归纳法证明“nN，nn12n1能被6整除时，某同学证法如下：1n1时1236能被6整除，n1时命题成立.2假设nk时成立，即kk12k1能被6整除，那么nk1时，k1k22k3k1k2kk3kk1k2k1k2k3.k，k1，k2和k1，k2，k3分别是三个连续自然数.其积能被6整除.故nk1时命题成立.综合12，对一切nN，nn12n1能被6整除.这种证明不是数学归纳法，主要原因是_.【答

4、案】没用上归纳假设8.设fn1nN，那么fn1fn等于_. 【导学号：38000057】【解析】因为fn1，所以fn11，所以fn1fn.【答案】三、解答题9.fn2n73n9，是否存在自然数m，使得对任意nN，都能使m整除fn？假如存在，求出最大的m值，并证明你的结论；假设不存在，请说明理由.【解】存在，m36.证明如下：1当n1时，f136，能被36整除；2假设当nkkN，且k1时，fk能被36整除，即fk2k73k9能被36整除，那么当nk1时，fk12k173k1932k73k9183k11.由归纳假设32k73k9能被36整除，而3k11是偶数，所以183k11能被36整除，所以fk

5、1能被36整除.由12，得fn能被36整除，由于f136，故能整除fn的最大整数是36，即m36.10.设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.1求a1，a2；2猜测数列Sn的通项公式，并给出严格证明.【解】1Sn1是方程x2anxan0的一个根，Sn12anSn1an0，Sn12anSn0，当n1时，a1，当n2时，a2.2由1知S1a1，n2时，Sn12SnSn1Sn0，Sn.此时当n2时，S2；当n3时，S3.由猜测可得，Sn，n1,2,3，.下面用数学归纳法证明这个结论.当n1时，a1S1，显然成立.假设当nkkN，且k1时结论成立，即Sk.当

6、nk1时，由知Sk1，Sk1.当nk1时式子也成立.综上，Sn，n1,2,3，对所有正整数n都成立.才能提升1.用数学归纳法证明“12222n12n1nN的过程中，第二步nk时等式成立，那么当nk1时应得到A.12222k22k12k11B.12222k2k12k12k1C.12222k12k12k11D.12222k12k2k11【解析】由条件知，左边是从20,21一直到2n1都是连续的，因此当nk1时，左边应为12222k12k，从右边应为2k11.【答案】D2.用数学归纳法证明：n1n2nn2n132n1时，从“k到k1左边需增乘的代数式是A.2k1 B.C.22k1D.【解析】当nk1

7、时，左边k11k12k1k1k1k2k3kkk1k2k3kk22k1.【答案】C3.设平面内有n条直线n2，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.假设用fn表示这n条直线交点的个数，那么f4_；当n4时，fn_用n表示. 【导学号：38000058】【解析】f20，f32，f45，f59，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数.所以f3f22，f4f33，f5f44，fnfn1n1.累加，得fnf2234n1n2.所以fnn1n2.【答案】5n1n24.ABC的三边长是有理数.1求证：cos A是有理数；2求证：对任意正整数n，cos nA和sin Asin nA都是有理数.【证明】1由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cos A 是有理数.2用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理数.当n1时，由1知cos A是有理数，从而有sin Asin A1cos2A也是有理数.假设当nkk1时，cos kA和sin Asin kA都是有理数.当nk1时，由cosk1Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asink1Asin Asin Acos kAcos A