学业分层测评 第3章 3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式

1、.学业分层测评建议用时：45分钟学业达标一、选择题1.利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于nn0的正整数n都成立 时，n0应取值为A.1B.3C.5D.7【解析】12<21,2222,32>23,4224,52<25，利用数学归纳法验证n5，故n0的值为 5.【答案】C2.对于不等式<n1nN，某同学用数学归纳法的证明过程如下：1当n1时，<11, 不等式成立.2假设当nkkN时，不等式成立，即<k1，那么当nk1时，<k11，当nk1时，不等式成立，那么上述证法A.过程全部正确B.n1验得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正

2、确【解析】在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.【答案】D3.设n为正整数，fn1，计算得f2，f4>2，f8>，f16>3，f32>，观察上述记录，可推测出一般结论A.f2n>B.fn2C.f2nD.以上都不对【解析】f2；f4>2，即f22>；f8>，即f23>；f16>3，即f24>；f32>，即f25>.故猜测f2n>.【答案】C4.设fx是定义在正整数集上的函数，有fk满足：当“fkk2成立时，总可推出fk1k12成立.那么以下命题总成立的是A.假设f39成立，那么当k1，均有fkk2成立

3、B.假设f525成立，那么当k5，均有fkk2成立C.假设f749成立，那么当k8，均有fkk2成立D.假设f425成立，那么当k4，均有fkk2成立【解析】由题意，设fx满足：“当fkk2成立时，总可推出fk1k12成立.因此，对于A，不一定有k1,2时成立.对于B，C显然错误.对于D，f42542，因此对于任意的k4，有fkk2成立.【答案】D5.对于正整数n，以下说法不正确的选项是A.3n12nB.0.9n10.1nC.0.9n10.1nD.0.1n10.9n【解析】由贝努利不等式1xn1nxx1，nN，当x2时，12n12n，A正确.当x0.1时，10.1n10.1n，B正确，C不正确

4、.当x0.9时，10.9n10.9n，因此D正确.【答案】C二、填空题6.观察式子：1<，1<，1<，那么可归纳出_. 【导学号：38000062】【答案】1<n2，nN7.假设fn1222322n2，那么fk1与fk的递推关系式是_.【解析】fk1222322k2，fk11222322k22k122k22，fk1fk2k122k22.【答案】fk1fk2k122k228.在数列an中，a1，且Snn2n1an，通过求a2，a3，a4，猜测an的表达式为_.【解析】由a1，且Snn2n1an，得a2，a3，a4.由1×3,3×5,5×7,7

5、×9，可得an.【答案】an三、解答题9.数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10n2.1判断是否为等差数列，并证明你的结论；2证明：SSS.【解】1S1a1，2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.2.故是以2为首项，2为公差的等差数列.2证明：当n1时，S，不等式成立.假设nkk1，且kN时，不等式成立，即SSS成立，那么当nk1时，SSSS·<·.即当nk1时，不等式成立.由可知，对任意nN不等式成立.10.函数fxx3x，数列an满足条件：a11，且an1fan1，证明：an2n1nN.【证明】由fxx3x，得fxx2

6、1.因此an1fan1an121anan2.1当n1时，a11211，不等式成立.2假设当nkk1，且kN时，不等式成立，即ak2k1.当nk1时，ak1akak22k12k1222k1.又k1，22k2k1，nk1时，ak12k11，即不等式成立.根据1和2知，对任意nN，an2n1成立.才能提升1.利用数学归纳法证明不等式1fnn2，nN的过程，由nk到nk1时，左边增加了A.1项B.k项C.2k1项D.2k项【解析】1，共增加2k项.【答案】D2.假设不等式对大于1的一切自然数n都成立，那么自然数m的最大值为A.12B.13C.14D.不存在【解析】令fn，易知fn是单调递增的.fn的最小值为f2.依题意，m14.因此取m13.【答案】B3.设a，b均为正数，n为正整数，Mabn，Nannan1b，那么M，N的大小关系为_.【解析】由贝努利不等式1xn1nx，令x，n1n·，n1n·，即abnannan1b.故MN.【答案】MN4.求证：当n1nN时，12n1n2. 【导学号：38000063】【证明】1当n1时，左边右边，命题成立.当n2时，左边12>22，命题成立.2假设当nkkN，且k2时，命题成立，即12kk2，那么