小专题(五)　函数中的决策问题

1、.小专题五函数中的决策问题要解决二次函数模型作决策的问题必须做到两点:一是建模,它是解容许用题的最关键的步骤,即在阅读材料,理解题意的根底上,把实际问题的本质抽象转化为数学问题,从而根据题意建立二次函数模型;二是解模,即运用所学的知识和方法对数学模型进展分析、运算,解答纯数学问题,最后检验所得的解,写出实际问题的结论.类型1利润问题中的决策1.某商家方案从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1元/台与采购数量x1台满足y1=-20x1+15000<x120,x1为整数;冰箱的采购单价y2元/台与采购数量x2台满足y2=-10x2+13000<x220,x2为整数.1

2、经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的119倍,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案?2该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完,在1的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.解:1由题意可知,空调的采购数量为x1台,那么冰箱的采购数量为20-x1台,由题意,得x1119(20-x1),-20x1+15001200,解得11x115.x1为整数,x1可取的值为11,12,13,14,15.该商家共有5种进货方案.2设总利润为W元,y2=-10x2+1300=-1020-x1+1300=10x1+1100,那么W=1

3、760-y1x1+1700-y2x2=1760x1-20x1+1500x1+1700-10x1-110020-x1=1760x1+20x12-1500x1+10x12-800x1+12019=30x12-540x1+12019=30x1-92+9570.当x1>9时,W随x1的增大而增大,11x115,当x1=15时,W最大值=30×15-92+9570=10650.答:采购空调15台时总利润最大,最大利润为10650元.2.某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y本与每本纪念

4、册的售价x元之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.1请直接写出y与x的函数解析式.2设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?解:1设y=kx+b,把22,36与24,32代入得22k+b=36,24k+b=32,解得k=-2,b=80,那么y=-2x+80.2由题意可得w=x-20-2x+80=-2x2+120x-1600=-2x-302+20020x28,又x<30时,y随x的增大而增大,当x=28时,w最大=-2×28-3

5、02+200=192元.类型2几何问题中的决策3.如图,ABC是边长为3 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速挪动,它们的速度都是1 cm/s,当点P运动到B点时,P,Q两点停顿运动,设P点运动时间为ts.1当t为何值时,PBQ是直角三角形?2设四边形APQC的面积为ycm2,求y关于t的函数解析式,当t取何值时,四边形APQC的面积最小?并求出最小值.解:1由题意可知,B=60°,BP=3-t cm,BQ=t cm.假设PBQ是直角三角形,那么BPQ=30°或BQP=30°,于是BQ=12BP或BP=12BQ.即t=123-

6、t或3-t=12t,解得t=1或t=2,即当t为1 s或2 s时,PBQ是直角三角形.2过点P作PMBC于点M,那么易知BM=12BP=123-t cm,PM=BP2-BM2=323-t.S四边形APQC=SABC-SPBQ=12×3×332-12t·323-t=34t2-334t+934,即y=34t2-334t+934,易知0<t<3,于是y=34t-322+27316,当t=32时,y获得最小值,为27316.4.如图,把一张长10 cm,宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子纸板的厚度忽略不计,从美

7、观的角度考虑要求底面的短边与长边的比不小于23,设四周小正方形的边长为x cm.1求盒子的侧面积S侧与x的函数解析式,并求x的取值范围;2求当正方形的边长x为何值时侧面积S侧有最大值;3假设要求侧面积不小于28 cm2,直接写出正方形的边长x的取值范围.解:1由题意,得S侧=210-2xx+28-2xx,S侧=-8x2+36x.因为8-2x10-2x23,所以x2.因为x>0,所以0<x2.2因为S侧=-8x2+36x,所以S侧=-8x-942+812.因为a=-8<0,所以在对称轴的左侧,S侧随x的增大而增大,因为0<x2,所以当x=2时,S侧=40.故当x=2时,S

8、侧有最大值为40.3由题意,得-8x2+36x28,整理得x-12x-70,所以x-10,2x-70,x-10,2x-70,解得原不等式组无解,解得1x72.又因为0<x2,故正方形的边长x的取值范围是1x2.类型3实际问题中的决策5.青岛中考如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示,且抛物线的点C到墙面OB的程度间隔 为3 m时,到地面OA的间隔 为172 m.1求该抛物线的函数解析式,并计算出拱顶D到地面OA的间隔 .2一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,假如隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否平安通过?3在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,假如灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的程度间隔 最小是多少米?解:1抛物线解析式为y=-16x2+2x+4,即y=-16x-62+10,所以D6,10,所以拱顶D到地面OA的间隔 为10 m.