工程数学-线性代数第五版答案第四章

1、第四章向量组的线性相关性1.已知向量组TTTA :ai 乂0 1 2 3) a =3 0 .1 2) a(2 . 3 0 . 1) B b1 =(2 1 1 2)T b2 =(0 -2 1 1)T b3 =(4 4 1 3)T证明B组能由A组线性表示.但A组不能由B组线性表示，证明由(A, B)03 220 4f1031-2410 31-2 4r03220421 01 101-6-15-732 11 3丿02_8-17-9f1031_ 241031-24、01_ 6-15 -7r01-6-15-700205-15 250041-350041-35丿00000A组线性表示,知R(A) :R(A

2、B) =3 .所以B组能由由211、24口01 0-2 4：1 1 3丿 00-2111 0 000 一2-100丿知R(B)毛，因为R(BF-R(B A).所以A组不能由B组线性表示2,已知向量组A :aUO .1 .1)T .a2=(1 . 1 P)T；B :bg1 . 0.1)T .6氓1 .2 .1)T .b3氓3 _2.7)T.证明A组与B组等价证明由r-1 1 3 0 rrr-1 1 3 0 rrr-1 1 3 0 r(B,A) =0 2 2 1 1022110 2 2 1 111-110；10 2 2 11丿 0 0 0 0 0；知R(B)=R(B .A) =2，显然在 A中有二

3、阶非零子式.故R(A)_2 又R(A)沖(B.A)=2 .所以R(A)=2.从而R(A)祝(B)載(A B).因此A组与B组等价.3 .已知 R(a1 a2 .S3)=2 R(a2 a .a* =3 .证明(1) a1能由a2 ,a3线性表示a4不能由a 1 a2 a3线性表示，证明 (1)由R( a2a3a4)=3知a2 a3 a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1a2a3)=2知a1.a2,a3线性相关.故ai能由a2 a3线性表示，假如a4能由aia2a3线性表示.则因为ai能由a2a3线性表示.故a4能由a2a3线性表示.从而a2.a3 ,S4线性相关.矛盾，因此a4不能由ai

4、a2 a3线性表示，4 ,判定下列向量组是线性相关还是线性无关：(_1 .3 .1)丁.(2 .1 .0)丁 .(1 .4.1)丁；(2 3 .0)T .(二.4 . 0)T .(0 .0.2)二解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A.因为0j-1A=31所以R(A) =2小于向量的个数.从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B，因为2-10|B|=3 4 0 = 22云 0 .0 0 2所以R(B)弋等于向量的个数.从而所给向量组线性相无关5,问a取什么值时下列向量组线性相关？a 1 #a .1 .1)T a2=(1 .a 3)t 念=(1 上.a)T ,解以所给向量为列向

5、量的矩阵记为A .由a 112| A|= 1 a -1 =(a-2)(a+1) =01 -1a知.当a=-1、2时R(A) ：3 .此时向量组线性相关.6，设a 1 a2线性无关,a1 b a2 b线性相关.求向量b用a1 a2线性表示的表示式，解 因为a1 b a2 b线性相关.故存在不全为零的数 m . -2使，1(a1 b)亠;2( a2 b) =0 .则(1 2)匕=11耳2&2因a1 a2线性无关故 2 ，不然，由上式得1 a-= 0； ： 1 2=0。矛盾。 1 2由此得 b = -a1 -a212127，设a 1 a2线性相关b1 b2也线性相关.问a6 a2 b2是否一定线性相

6、关？试举例说明之解不一定例如.当 a1=(1 2)T, a22 ,4)T, b1p1 ,1)丁,沖0 .0)T 时有ai4bi*1 .2)丁北 1朋.1)1 a2g2 .4)丁十0 Q=(2 . 4几而ai bi aib2的对应分量不成比例.是线性无关的，8 ,举例说明下列各命题是错误的：(1) 若向量组ai a2 am是线性相关的.则ai可由a2 - am线性表示,解 设ai:ei =(i0 .0 - - - 0)a23=7m =0.则aia2am线性相关.但ai不能由a2- - am线性表示(2) 若有不全为0的数，i .，2.，m使.iai ，mam：.ibi，mbm=0成立.则ai a

7、2 .am线性相关，bi b2 bm亦线性相关，解 有不全为零的数，i.，2.m使.- iai mam ri bi mbm =0 .原式可化为i(ai bi)亠 u mam -bm) =0 .取ai金-bia2 w - 4am=em- bm.其中ei- - - em为单位坐标向量.则上式成立.而ai a 2 am和bi b2 bm均线性无关，(3) 若只有当，i2.，m全为0时.等式.：,iai mam ;：,ibi mbm乂才能成立.则ai a2 am线性无关，bi bbm亦线性无关，解由于只有当M-m全为0时.等式由iaimam：hibi mbm =0成立.所以只有当全为0时.等式i(ai

8、 bl?.2(a2 b2)亠亠;m(am bm) =0成立，因此ai bi a2 b am bm线性无关，取ai=a2=m=0.取bi,.：；.：bm为线性无关组.则它们满足以上条件.但aia:.am线性相关，若aia2am线性相关,bibbm亦线性相关.则有不全为0的数i2，m使 iai Fam =0 .Aibi，mbm =0同时成立 解a(i .0)T 3(2 .0)T .biN0 .3)T 4氓0 .4)T . ia!-.-2a2 =0 ： i -2 2 .iSI n|SnXibi+A2b2 =0 二人i=-(3/4) /2,=i =2=0 .与题设矛盾 ，9,设bi=a ia2 .b2

9、=a2勺3 .b3=a3勺4血厶4 .证明向量组 bi ,b2 ,b3 ,b4线性相关，证明由已知条件得bi 七2 b3 七4 =0 .向量组bi b2 b3 b4线性相关，i0，设bi =aib2 =ai22br =ai22ar.且向量组aia2ar线性无关.证明向量组bib2.br线性无关,证明已知的r个等式可以写成(b，鸟厂，0)=佝，a?, aj1110 112525上式记为B=AK ,因为|K|=1-0 K可逆.所以R(B)=R(A)h.从而向量组 .鸟.0线性无关，11，求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：(1) a1 #1 .2 .二.4)T 02=9 .100 .10 .4)

10、T 声#-2.2 .-8)丁 ；解由1 92 100 -1 10-8丿1098219 -32-210-2000丿25知R(a1 a2 .a3)=2，因为向量a1与a2的分量不成比例.故a1 .a2线性无关.所以a1 .a2是一个最大无关组(2応丁=(1 .2 .1 .3) .a 2J4 3 .巧.-6).日3丁=(1 亠4卢)解由XXXXXX2 1315 6-02525知R(ai盘a3 ) =R(a 1.a2a3) =2，因为向量a 1与a2的分量不成比例故a 1.a2线性无关所以a 1.a2是 个最大无关组.12 .利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组：25 31 17 437

11、5 94 53 13275 94 54 134 25 32 20 48 丿记A =佝，a2, a3,內）=25757531 1794 5394 5432 2043 B -3r1132 z13448丿r3 -3r125 310 11723343355丿25所以3-1,32, a3是一个最大无关组.a408 - a258、5-12a3.10203-1 3_11解记A=(a , 32 ,爲，Q=)1221、(ra-2r111221、10010 0215-10215-10103-1203-13r4 -F10_ 2-1-51001-111104T00_ 22-2丿0000a3.所以 a1,a2,a3是一

12、个最大无关组 ，a4 = ai 3a2 -a3. a5 二-a213，设向量组(a.3 .1)T .(2 .b.3)T.(1 .2 .1)T.(2 .3 .1)T的秩为2 .求a b .解设 a1毛a .3 .1)T.a2=(2.b. 3)T.a(1_2 .1)T .a(2.3 .1)T,因为1 2 a 1 1(a3, a4, a1, a2)= 2 3 3 b 0 1J 1 1 3丿 0 11a T1 b-60和01 a-1 2 - a-3b-5而 R(a1 a2 a3 a4) =2 .所以 a=2 b=5 .14，设a1 a - - -an是一组n维向量.已知n维单位坐标向量e1 e2 .e

13、n能由它们线性表示.证明a 1. a2 an线性无关证 因为e1 e2,.：”；：en能由a1 a2,.：:an线性表示.所以R( e1 .e - en) -R( a1 a 2 a n).而R(e1e2en)刃R(a1& an) _n.所以R(a1a2 an) =n.从而a1.a2 an线性无关15，设a1 &.an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一 n维向量都可由它们线性表示证明 必要性：设a为任一 n维向量，因为ai a2”；.an线性无关.而a 1 a2”an a是n个n维向 量.是线性相关的.所以a能由a 1 a2 an线性表示.且表示式是唯一的，充分性：已知任一

14、n维向量都可由a 1 a2宀.线性表示.故单位坐标向量组eie2. .en能由a 1a2,-an线性表示.于是有n :R(e1 e2 . 岛)乞R(a1 a2 .a n) n .即R(a1 a2 .an) =n .所以a 1 a2 .a线性无关.16，设向量组a 1 a - -am线性相关.且a-0 .证明存在某个向量 ak (2二k_m).使ak能由a 1 a2 .ak 线性表示，证明 因为a1 a2 .Vm线性相关.所以存在不全为零的数，1.，2.m.使.1a1 亠;2a 2.mSm =0 ”而且2.3.m不全为零这是因为如若不然则-1a 1=0.由a0知1T.矛盾按足标从大到小考察 上式

15、中系数)，设其第一个不为零的数为 k，使k = ：0 ,/k 1 hk 2= =，m=0 .于是1a 1：&2a2 kak=0ak=-(1/ ,:.k)( /.1a/,2a2，k_iak_i).即ak能由a 1 a2- a k j.线性表示.17，设向量组B b1 b能由向量组A a1“as线性表示为(b1 .br) =(a1 as)K .其中K为s r矩阵.且A组线性无关，证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)斗.证明 令 B=(b1 .br) A 1s).则有 B =AK ,必要性：设向量组B线性无关，由向量组B线性无关及矩阵秩的性质.有r=R(B) =R(AK) min R(

16、A) R(K) 1R(K).及R(K)汕in r .s寸.因此R(K)千.充分性：因为R(K)彳要证B组线性无关。由于Bx = 0= AKx =0= Kx =0= x = 0从而b1 .br线性无关=a+ a+ 0(23n=a+ a+ ot13n=o( +a+ a+ 0(2118，设P n 123证明向量组：1 .：2与向量组：12 n等价证明将已知关系写成(j，S n) = Cl, ： 2,0 1110 1,：n)1101111U10将上式记为B=AK.因为0 11110 11|K|= 1 1 0 1 = (-1严(n_1)心1110所以K可逆.故有A=BK，由B*K和AK可知向量组:n与向

17、量组- -n可相互线性表示，因此向量组：1 . ：2 rn与向量组！：1：n等价19，已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x =3Ax -A2x .且向量组x .Ax A2x线性无关2(1)记 P =(x .Ax Ax).求 3 阶矩阵 B .使 APB解因为2AP=A(x Ax A2x)23=(Ax A x A x)2 2斗Ax A2x . 3Ax 从2x)0 0 0 =(x, Ax, A2x) 10 3.0 1 T 丿9 0 0、所以B = 1 0 3,0 1 T 丿(2) 求A| .解P的列向量组线性无关，贝U 啲秩为3,故| P|。则 可逆 则 A = PBP 4,故 | A F| B

18、 | = 0。20，求下列齐次线性方程组的基础解系 ：N -8% 10x3 2X4 = 0(1) 2为 4x2 5x3 - x 03为 8x2 6x3 - 2x4 = 0解对系数矩阵进行初等行变换.有广1-8102 r040A =2 45-1 01-3/4-1/4.Q 86-2丿0000丿于是得= 4x3X2=(3/4)X3+(1/4)x 取(X3 X4)(4 0)T .得(X1 .X2)T=( 6 3)T ； 取(X3 X4)(0 4)T .得(XI .X2)(0 .1)T , 因此方程组的基础解系为首=二6.3.4.0)丁百=0 .1 .0.4)二2凶-3x2 -2x3 x4 = 03为5

19、x2 4沧- 2冷=08x 7x2 6x3 - 3x = 0解对系数矩阵进行初等行变换.有2 -3-2 1 r1 0 2/19 1/19)A =3 54 -20 1 14/19 -7/198 76 -3丿0 0 0 0 于是得；=-(2/19)x + (1/19)x4、x2 = (14/19)沧十(7/19)x4 取(X3 X4)T19 . 0)T .得(X1 .X2)T%-2 .14)T ； 取(X3 X4)T0 .19)T .得(X1 .X2)T%1 . 7)T ,因此方程组的基础解系为tH-2.14.19. 0)TE=(1 .7.0 .19)1(3)nX1 (n 书X2 2Xn 丄 Xn

20、=0.解原方程组即为Xn X1 -(n -1)X2 -2Xn _1 .取 X1 =1 X2=X3= =Xn 4=0 .得 Xn -n -取 X2 =1 X1 =X3=X4 = =Xn4 =0 .得 Xn -(n1) 一-n 1 -* * * t取 Xn 4=1 X1 =X2 =Xn 2 =0 .得 Xn -2因此方程组的基础解系为备1 .0 0 .r0r)T .=(0 .1 0 . .0 .t+1)t .30 0. 0,和”21 设2R(B) 2一213 ,求-个42矩阵B,使AB -5 2 8解 设B=(b!,b2)，因R B =2.故b1,b2线性无关。又A(bj, p) = (Abj,

21、Ab2)=0，得 Abj =0, Ab2 = 0。显然B的两个列向量应是方程组 Ax =0的两个线性无关的解向量，因为.(2 -2 1 31 0 -1/81/8 ;19 -5 2 8丿 0 1 -5/8 -11/8厂故R(A) =2，于是Ax =0的基础解系所含向量的个数 为4 - R(A) =2而方程组Ax =0的任意两个线性无关的解向量均为 个基础解系 记为b|,b2。它的一个基础解系，于是下面我们求出 Ax = 0的一所以与方程组 Ax =0同解方程组为严=(1/8区-(1/8“4防(5/8)x3 + (11/8)x4 取(X3 炖丁毛8 .0)T .得(X1 .X2)T=(1 .5)T

22、 ；取(X3 炖丁0 .8)T .得(X1 .X2)TN .11)1方程组AB =0的基础解系为1 -15 118 0b1#1 .5 .8 0)T.11 .0 .8)T .因此所求矩阵为B =22 .求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为E 氓0 .1 .2 . 3)T 左氓3. 2.1 . 0)T ,解显然原方程组的通解为1严1 l+k22 12 1,即彳1 |3.2丿3k2 x2 = k2k2 X3 = 2kk2 X4 = 3K(k1 .kz R).消去k k2得此即所求的齐次线性方程组.23，设四元齐次线性方程组X+x2 = 0x -xx3 = 0I12 c II13 cKX4 = 0j

23、X2_Xb + x4 = 0求：(1)方程I与II的基础解系(2) I与II的公共解,ii -X=_X4K = X4取(X3 Z4)(1 .0)T .得(X1 .X2)TM0 .0)T ； 取(X3 X4)T=(0 .1)T .得(X1 .X2)T=(L .1)1 因此方程I的基础解系为=(0 .0 .1 .0)1$=(一 .1 .0 .1)T,解由方程I得/ = X4IX2=X3_X4取(X3 /4)(1 .0)T .得(X1 .X2)T=(0 .1)丁 ； 取(X3 .X4)T=(0 .1/ .得(X1 .X2)T=(7 . )T , 因此方程II的基础解系为玄玮0 .1 .1 .0)丁.

24、$玮7 厂1.0 .1)1(2) I与II的公共解就是方程由方程ii得x1x2 = 0x2 -= 0iii ：2 vx1 - x2念=0x X3X4 = 0的解，因为方程组iii(1100、1 1010-1r1-11001 -1 1 丿的系数矩阵1 0 0 1 0 0 0 000101-2 -0丿所以与方程组iii同解的方程组为xt_X4X2 = x4X3 = 2X4取X4 .得(X1 X2 X3)T* V 1 2)T .方程组III的基础解系为3.1 2 .1)丁 ,因此I与II的公共解为x.1 .2 .1)T cR ,24，设n阶矩阵A满足A2虫E为n阶单位矩阵，证明R(A) R(A-E)

25、=n .证明 因为A(A-E)虫2从爭鼻=0 .由矩阵的秩的性质 8知，R(A) R(A_E)虫， 又R(A-E)眾(E*).可知R(A) R(A -E) =R(A) R(Eha)_R(A E/)=R(E)二n .由此 R(A) R(A-E).25，设A为n阶矩阵(n_2) A*为A的伴随阵.证明n当 R(A) = nR(A*)二 1 当 R(A)二 n-10当 R(A)兰 n-2证明 (1)当R(A)w时.|A|九.故有AA*|#|A|E|*|詢 JA忖.所以R(A*)刃.(2)当R(A)才-1时.由矩阵秩的定义 A中至少有一个n -1阶子式不为零，也即 A*中至少有一个 元素不为零，故R(

26、A*)_1。另一方面，因 R(A)=n-1有|A|=0.由AA* WA|E=0 .由矩阵的秩的性质8，R(A) R A* -n .把R(A) =n T代入上式得R(A)乞1。综合两方面有 R(A ) =1(3) 当R(A) in -2时由矩阵的秩的定义知 A的所有n - 1阶子式即A的任一元素均为零，故A* .从而 R(A*) =0 .26，求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：片 x2 =5(1) 2为 x2 x3 2x4 =1(5x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 = 3解对增广矩阵进行初等行变换.有i oB= 2 1 1白3 210-8 -1 0 13 0 1

27、2与所给方程组同解的方程为= _ X3 _ 8X2 二 X313x=2当X3=0时.得所给方程组的一个解 n-8 .13 0 . 2)T ,与对应的齐次方程组同解的方程为X2X3X4=0当X3T时.得对应的齐次方程组的基础解系匕=.1 .1 .0)1X!-5x2 2卷 - 3x4 = 11（2）5x1 3x2 6x3 - x4 = -12x1 4x2 2x3 & = -6解对增广矩阵进行初等行变换.有广 1 -5 2-3 11 r勺 0 9/7 -1/2 1 B =5 36-1-1 0 1 -1/7 1/2 -22 4 2 1 -6丿0 0 0 0 0 丿与所给方程组同解的方程为几=一(9/7

28、风 + (1/2)冷 + 1x2=(1/7)X3-(1/2)X4-2 -当Xa=X4=0时.得所给方程组的一个解y .-2. o.o)T,与对应的齐次方程组同解的方程为；X1=(9/7)X3+(1/2)X4/2=(1/7风一(1/2以4”分别取(X3 X4)T=(1 .0)丁 .(0 .1)T .得对应的齐次方程组的基础解系一T 一T3=(-9 .1 .7.0).匕1 一 .0.2).且27，设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 .已知1.2. 3是它的三个解向量坯2 .3 .4 .5)+=(1 .2 .3 .4)T .求该方程组的通解解 记Ax =b，由于方程组中未知数的个数是 4.系数

29、矩阵的秩为 R(A)=3 .所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个解向量.因此Ax =0的任何一个非零解均为其一个基础解系。由=21-(2，3)=(3,4,5,6)，A =0，知为Ax=0的一个基础解系.故Ax=b的通解x=k(3 4 5 6)T (2 3 4 5)T .(kWR),28，设有向量组 A :ay a 2 ,10)T a2.1 5)T a 3二.1 4)T .及 b=(1 貝_1)T .问 为何值时(1) 向量b不能由向量组A线性表示(2) 向量b能由向量组A线性表示.且表示式唯一 向量b能由向量组A线性表示.且表示式不唯一.并求一般表示式解(a3, a2, a1, b)=-

30、1-2 a1、C1-2a11 1 2P0-11 +aP+1,45 10-1；04 +a-巧(1)当：.=-4 0时.R(A)-R(A .b).此时向量b不能由向量组A线性表示.当.二*4时R(A) =R(A b)=3 .此时向量组a1 a2 a3线性无关.而向量组a 1 a2 & b线性相关.故向量b能由向量组A线性表示.且表示式唯一当：.=4 .1=0时.R(A)采(A b)=2 .此时向量b能由向量组A线性表示.且表示式不唯一当：.二4 .1=0 时(a3,a2,a 1,b) =11 -(a1 b1 a2 b an bn)V1 .35，试证：由 a1=(0.1 .1)T .a2=(1 .0.1)T . a(1 .1 .0)T 所生成的向量空间就是R3证明设 A千a1 a2 _a3).由|0 1 1 .I A|1 0 1 =-2H01 1 0知R(A)=3 .故a1 .a2 a3线性无关.所以a 1