思维特训(十)　几何动态问题中的相似

1、.思维特训十几何动态问题中的相似1我们以运动的观点探究几何图形的变化规律的问题称为动态几何问题随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现的图形的位置、数量关系的“变与“不变性的试题2点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的数量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进展研究3解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法，也就是通过对两个或几个相类似数学研究对象的异同，进展观察和比较，从一个容易探究的研究对象所具有的性质入手，去猜测另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论类比发现法大致可遵循如下步

2、骤：1根据条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；2结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识常见的有三角形全等、三角形相似等得出相关结论；3类比猜测出其他情况中的图形所具有的性质1如图10S1，AB90°，AB7，AD2，BC3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，那么这样的点P共有A1个 B2个C3个 D4个图10S12如图10S2，在ABC中，AB7，AC，BC8，线段BC所在直线以每秒2个单位长度的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行该直线与AB，AC分别交于点M，N，记x秒时，该直线在ABC内的部分的长度为y，试写出y关于x的函数表达式：_图10S23：如图

3、10S3，在ABCD中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB.将ACD沿AC方向匀速平移得到PNM，速度为1 cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速挪动，速度为1 cm/s；当PNM停顿平移时，点Q也停顿挪动，如图.设挪动时间为t s0t4，连接PQ，MQ，MC.解答以下问题：图10S31当t为何值时，PQMN?2设QMC的面积为y cm2，求y与t之间的函数表达式3是否存在某一时刻t，使SQMCS四边形ABQP14？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由4是否存在某一时刻t，使PQMQ？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由4如图10S4，OF是MON的平分线，点A在射线

4、OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQOA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB.1如图，当P，Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系2如图，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在1中的数量关系？假设存在，请写出证明过程；假设不存在，请说明理由3如图，MON60°，连接AP，设k，当P和Q两点都在射线ON上挪动时，k是否存在最小值？假设存在，请直接写出k的最小值；假设不存在，请说明理由图10S45如图10S5，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD8，AB6.

5、如图，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从点A出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停顿运动，设点P的运动时间为t秒1当t5时，请直接写出点D，P的坐标；2当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出PBD的面积S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围；3当点P在线段AB或线段BC上运动时，过点P作PEx轴，垂足为E，当PEO与BCD相似时，求出相应的t值图10S562019·永州 点O是正方形ABCD对角线BD的中点1如图10S6，假设E是OD的中点，F是AB上一点，且使得CEF9

6、0°，过点E作MEAD，交AB于点M，交CD于点N.求证：AEMFEM；F是AB的中点2如图，假设E是OD上一点，F是AB上一点，且使，请判断EFC的形状，并说明理由3如图，假设E是OD上的动点不与O，D重合，连接CE，过点E作EFCE，交AB于点F，当时，请猜测的值请直接写出结论图10S67如图10S7，在直角坐标系xOy中，直线l：ykxb分别交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是2，2，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与BCD成轴对称的BCD.1当CBD15°时，求点C的坐标2当图中的直线l经过点A，且k时如图，求点D

7、由点C到点O的运动过程中，线段BC扫过的图形与OAF重叠部分的面积3当图中的直线l经过点D，C时如图，以DE为对称轴，作与DOE成轴对称的DOE，连接OC，OO，是否存在点D，使得DOE与COO相似？假设存在，恳求出k，b的值；假设不存在，请说明理由图10S7详解详析1C解析 设APx，那么PBABAP7x，当PDACPB时，即，解得x1或x6；当PDAPCB时，即，解得x.那么这样的点P共有3个应选C.2yx83解：1如图所示在ABC中，AB3 cm，BC5 cm，A90°，由勾股定理，得AC4 cm.假设PQMN，那么PQAB，.CQPAt cm，CP4tcm，QB5tcm，解得

8、t.经检验，t是原方程的解且符合题意故当t的值为时，PQMN.2如图所示，过点P作PDBC于点D，那么CPDCBA，.BA3 cm，CP4tcm，BC5 cm，PD4tcm.又CQt cm，y×4ttt2t0<t<43存在SQMCS四边形ABQP14，SQMCt2t，S四边形ABQPSABCSPCQSABCSQMC×3×4t2t6，14，即t24t40，解得t1t22，当t2时，SQMCS四边形ABQP14.4存在如图所示，过点M作MEBC交BC的延长线于点E，过点P作PDBC于点D，那么CPDCBA，.BA3 cm，CP4tcm，BC5 cm，CA4

9、 cm，PD4tcm，CD4tcm.PQMQ，PQDMQE90°.又PDQE90°，PQDDPQ90°，DPQMQE，PDQQEM，即PD·EMQE·DQ.EMPD4tcm，DQCDCQ4ttcm，QEDEDQ5ttcm，t2tt，即2t23t0，解得tt0舍去当t时，PQMQ.4.解：1ABPB.理由：如图，连接BQ.BC垂直平分OQ，BOBQ，BOQBQO.OF平分MON，AOBBOQAOBBQO.又OAPQ，AOBPQB，ABPB.2存在证明：如图，连接BQ.BC垂直平分OQ，BOBQ，BOQBQO.OF平分MON，BOQFON，AOFF

10、ONBQC，BQPAOB.又OAPQ，AOBPQB，ABPB.3如图，连接BQ.易证ABOPBQ，OABBPQ，ABPB.OPBBPQ180°，OPBOAB180°，AOPABP180°.MON60°，ABP120°.ABPB，BAPBPA30°.BOBQ，BOQBQO30°，ABPOBQ，.AOB30°，当BAOM时，的值最小，最小值为0.5，k存在最小值，最小值为0.5.5解：1D4，3，P12，82当点P在边AB上，即0t6时，BP6t，SBP·AD6t·84t24；当点P在边BC上，即6

11、t14时，BPt6，SBP·ABt6·63t18，所以S3易求Dt，t，当点P在边AB上时，点Pt8，t，假设，那么，解得t6；假设，那么，解得t20.0t6，t20不合题意，应舍去当点P在边BC上时，点P14t，t6，假设，那么，解得t6；假设，那么，解得t.6<t14，t不合题意，应舍去综上，当t6时，PEO与BCD相似6解：1证明：四边形ABCD是正方形，ABD45°，BADABCBCDADC90°，AECE.MEAD，MEAB，AMEBMEBAD90°，ENCADC90°，BME是等腰直角三角形，四边形BCNM是矩形，B

12、MEM，BMCN，EMCN.在RtAME和RtENC中，AECE，EMCN，RtAMERtENCHL，AEMECN.CEF90°，FEMCEN90°.ECNCEN90°，FEMECN，AEMFEM.在AME和FME中，AMEFME90°，AEMFEM，EAFEFA，AEFE.又MEAF，AMFM，AF2AM.E是OD的中点，O是BD的中点，.MEAD，F是AB的中点2EFC是等腰直角三角形理由如下：过点E作MEAD，交AB于点M，交CD于点N.同1得：AECE，RtAMERtENC，AEMECN.，O是DB的中点，.MEAD，.，AF2AM，即M是AF的

13、中点MEAB，AEFE，AEMFEM，FECE.ECNCEN90°，FEMCEN90°，CEF90°，EFC是等腰直角三角形3当时，.7解：1BCDBCD，CBDCBD15°，CBCB2，CBC30°.如图，过点C作CHBC于点H，那么CH1，HB，CH2，点C的坐标为2，12如图，k，设直线AF的函数表达式为yxb.直线l过点A2，0，b，那么直线AF的函数表达式为yx ，OAF30°，BAF60°.在点D由点C到点O的运动过程中，BC扫过的图形是以点B为圆心，BC为半径的扇形把点C的坐标代入yx ，知点C在直线l上，BC扫过的图形与OAF的重叠部分是弓形BCBCAB，ABC是等边三角形，ABC60°，重叠部分的面积是×2×.3如图，设OO与DE相交于点M，那么OMOM，OODE.假设DOE与COO相似，那么COO是直角三角形在点D由点C到点O的运动过程中，CO