时滞反馈非线性扭振系统的稳定性与Hopf分岔研究燕山大学

1、时滞反馈非线性扭振系统的稳定性与Hopf分岔研究*基金项目: 河北省自然科学基金(F2010001317, E2010001262), 燕山大学博士基金(B451).作者简介：*时培明（1979-），男，黑龙江延寿人，博士，讲师，主要研究方向为扭振系统动力学，Email：spm；刘彬（1953-），男，黑龙江五常人，教授，博士生导师，主要研究方向为轧机振动和信息处理，Email：liubin。时培明1,*，刘彬1，韩东颖2，朱占龙1，侯东晓1（1.燕山大学 电气工程学院，河北 秦皇岛 066004；2.燕山大学 车辆与能源学院，河北 秦皇岛 066004）摘 要：研究了具有Duffing-Va

2、n der pol组合振子和时滞特性两惯量非线性扭振系统的稳定性和Hopf分岔问题。建立了两惯量非线性扭振系统的动力学方程，通过设计线性位移和速度时滞反馈控制器构造了扭振受控系统。采用多尺度法推导出极限环幅值与时滞参数之间的关系。在对系统零解稳定性分析的基础上,得出Hopf分岔产生的条件。通过数值模拟的方法研究了扭振系统Hopf分岔和极限环幅值控制问题。仿真研究表明，所设计的时滞反馈控制器既能控制极限环的幅值，也能控制Hopf分岔的产生。关键词：扭振；Hopf分岔；极限环；时滞反馈控制中图分类号：O3220 引言旋转机械是工业部门中应用最为广泛的一类机械1-2，例如汽轮机、压缩机、风机、轧机、

3、机床等诸多机械都属于这一类。传动系统作为旋转机械的核心部分，在电力、能源、交通、冶金以及国防等领域发挥着无可替代的作用。旋转机械常常由于出现扭振而影响其正常工作甚至导致设备损坏，造成重大的经济损失。近年来，关于旋转机械扭振系统的机理及控制方法研究日趋活跃。文献3采用传递矩阵法建立了含连续质量的单轴扭转系统动力学方程，得到了连续传动轴的频响函数。文献4采用拉格朗日方程建立了单个连续轴的扭振动力学方程，并得到了该轴在各种外力作用下的响应曲线。文献5根据4200立辊轧机的实测参数，采用理论分析和数值计算相结合的方法建立了中厚板立辊轧机主传动系统的4自由度非线性振动模型，通过对该模型的简化求解，得到系

4、统线性振动下的全部响应。文献6提出了大型汽轮发电机组轴系扭振的递阶智能控制方案，并根据非线性科学理论分析了该智能控制系统的稳定性。文献7采用线性定常二次型全局最优控制理论对电力系统扰动下大型汽轮发电机组轴系产生的扭振进行主动控制。文献8-10分析了扭转振动自治系统的稳定性：通过建立Lyapunov函数分析了自治系统在不同参数下的稳定性问题。然而，自治系统并不是恒久稳定的，在某些初始状态下系统不稳定，这样，就对控制其自治系统稳定提出了新的要求。本文通过设计线性位移和速度时滞反馈控制器来实现对一类自治系统的稳定性控制，着重研究了时滞参数对自治系统极限环幅值的影响以及Hopf分岔产生的条件。最后用数

5、值仿真的方法证明了该控制方法的有效性，为实现该类自治系统的控制机理提供理论依据。1 动力学方程的建立对于两惯量旋转机械扭振系统，设、为系统集中惯量的转动惯量，、为集中惯量的转角，、为集中惯量的转速，、为外力矩。两惯量非线性扭振系统力学模型如图1所示。图中表示系统线性阻尼，表示系统非线性阻尼。表示系统线性刚度，表示系统非线性刚度。扭振系统的动能为 (1)阻尼力表示为 (2)图1 二惯量扭振系统力学模型Fig.1 The torsional vibration system model with two inertia (3)考虑一、三次扭转刚度下的系统的势能为(考虑非线性刚度为) (4)把(2)

6、式和(3)式代入动力学普遍方程 (5)其中，则(5)式第一项为 (6)其中为广义坐标，为自由度数目，为作用力数目，广义力(广义力矩)为 (7)将(2)式和(3)式代入(7)式后得到本系统的广义力(广义力矩)为 (8) (9)将(1)式、(2)式、(3)式、(4)式、(8)式和(9)式代入耗散系统的Lagrange方程 (10)得到 (11) (12)式中为系统集中惯量的角加速度。对于旋转机械扭振动力系统，由(11)式乘以减去(12)式乘以得到 (13)将(13)式中的参数简化为，得到 (14)考虑非线性阻尼项为Van der pol振子，即 (15)将(15)式代入(14)式，得 (16)(1

7、6)式就是一类具有Duffing-Van der pol组合振子的二惯量扭振系统的非线性动力学方程。在研究强迫系统之前，先研究自由振动系统情况即静平衡态的非线性特性，这是因为静平衡态稳定性对共振周期解有一定的影响。本文采用线性时滞控制器来对系统进行Hopf分岔及其极限环幅值大小的控制。对于，受控系统为 (17)为了便于摄动分析，式(17)化为 (18)2 摄动分析采用多尺度方法，可设(18)式的摄动解形式为 (19)这里为快变时间尺度，为慢变时间尺度，则有微分算子 (20) (21)这里，。将(19)式、(20)式和(21)式代入到(18)式，并令等式两边的同次幂系数相等，得到摄动方程 (22

8、) (23)方程(22)的解可以写为 (24)其中为共轭函数且均为关于的函数，将(24)式代入到(23)式，得到 (25)这里cc表示等式右端的共轭复数部分，令方程(25)中久期项为零得 (26)令，其中和是关于的实函数，将其代入(26)式，分离实部和虚部得极坐标下的平均方程 (27)当存在稳定周期解时,即由(27)式可解得稳定周期解幅值 (28)当时，对应于原系统的稳定周期解幅值为 (29)3 零解稳定性分析及Hopf分岔条件为了便于研究零解稳定性，需要将极坐标形式的平均方程(27)写成直角坐标形式的平均方程，令 (30)将(30)式代入到(26)式，分离实部和虚部，得到直角坐标形式的平均方

9、程 (31) (32)系统(31)和(32)有一个零解，在零解处平均方程(31)和(32)的 Jacobian 矩阵为 (33)其中，为方程(31)和(32)的构成的向量矩阵，。这里。对应零解的特征方程为 (34)其特征值为 (35)(35)式中，结论：(1)当，时，特征值为一对相等的正实根，系统奇点退化为不稳定的临界结点。(2)当，时，特征值为一对相等的负实根，系统奇点退化为稳定的临界结点。(3)当，时，特征值为一对实部为正的复数，系统奇点为不稳定的焦点。(4)当，时，特征值为一对实部为负的复数，系统奇点为稳定的焦点。(5)当，时，特征值为一对纯虚根，系统奇点为中心。由上述稳定性分析可知，当

10、，时，(34)式存在一对纯虚根，根据Hopf分岔定理，该情况产生极限环。由于是、是参数、的函数，因此，参数可以控制Hopf分岔的产生；根据(28)式可知，参数、同样影响系统幅值大小，因此，参数可以控制极限环的大小。4 仿真分析计算取如下参数：，。/stx xx(a)时间历程图 (b)相图图2 参数g1=g2=0原系统数值解Fig.2 Numerical solutions of original system with parameters g1=g2=0/stx xx(a)时间历程图 (b)相图图3 参数g1=g2=0.5受控系统数值解Fig.3 Numerical solutions of

11、 controlled system with parameters g1=g2=0.5/stx xx(a)时间历程图 (b)相图图4 参数g1=g2=-0.25受控系统数值解Fig.4 Numerical solutions of controlled system with parameters g1=g2=-0.25/stx xx(a)时间历程图 (b)相图图5 参数g1=g2=-1受控系统数值解Fig.5 Numerical solutions of controlled system with parameters g1=g2=-1本文例子中所取，只是满足分岔及幅值控制要求的一种情况

12、。图2是原系统在上述参数下的时间历程图与相图，由图中可见，极限环幅值为2；由图3、图4和图5可知：通过设定时滞参数即当时，极限环幅值为2.5；当时，极限环幅值为1.5；当时，极限环消失，即在原有的Hopf分岔点处不再存在Hopf分岔，从而实现了对系统极限环幅值的控制以及系统Hopf分岔的产生。5 结论本文建立了含Duffing-Van der pol组合振子的二惯量扭振系统非线性动力学方程，主要研究了时滞参数对自治系统的分岔以及极限环幅值的影响。首先从理论上推到了时滞参数与系统极限环幅值的关系，然后通过零解稳定性分析得到了时滞参数影响系统产生Hopf分岔。最后通过数值模拟的方法证明了该方法既能

13、控制极限环的幅值，也能控制Hopf分岔的产生。参考文献1Smally A J. The dynamics response of rotors to rubs during startupJ. Journal of Vibration,Acoustic,Stress and Reliability in Design, 1989, 111:226-233.2周莲莲, 郑志刚, 杨征, 等. 四辊冷轧机基于机理与工况相结合的工作辊磨损模型研究J. 燕山大学学报, 2009, 33(4): 283 -287.3毛海军,孙庆鸿,陈南,等.基于分布质量的Riccati传递矩阵法模型与轴系频响函数计算方

14、法研究J. 东南大学学报(自然科学版),2000,30(6):34-38.4Shi P M,Liu B, Hou D X. Global dynamic characteristic of nonlinear torsional vibration system under harmonically excitation J. Chinese Journal of Mechanical Engineering. 2009,22(1):132-139.5孟令启,王建勋,吴浩亮,等.中厚板立辊轧机主传动系统的非线性扭振J. 华南理工大学学报(自然科学版), 2009, 37(2): 25-28.6

15、李士勇,周畅,王西田.抑制大型汽轮发电机组轴系扭振的控制技术综述J. 热能动力工程,2000,15:451-454.7高文志,刘建国,郝志勇. 电力系统扰动对汽轮发电机组轴系扭振的影响及其主动控制J. 中国动力工程学报. 2005, 25 (2):169-1738时培明,刘彬,侯东晓. 一类相对转动非线性动力系统的混沌运动J. 物理学报. 2008,57(3):1321-1328.9时培明,刘彬,刘爽.一类谐波激励相对转动非线性动力系统的稳定性与近似解J. 物理学报,2008,57(8):4675-4683.10侯东晓,刘彬,时培明.一类滞后相对转动动力学方程的分岔特性及其解析近似解J. 物理

16、学报,2009,58(9):5942-5949.Study on stability and Hopf bifurcation of a nonlinear torsional system with time-delay feedbackSHI Pei-ming1, LIU Bin1, HAN Dong-ying2, ZHU Zhan-long1, HOU Dong-xiao1(1. College of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China; 2. College of Ve

17、hicles and Energy, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China) Abstract: The stability and Hopf bifurcation of two inertia nonlinear torsional vibration with duffing-van der pol oscillators and time-delay characteristics are studied. The equation of two inertia nonlinear torsional vibratio

18、n system is established. The controlled torsional vibration is constituted by devising the time-delay feedback controller of linear displacement and velocity. The relation of limit amplitude and time-delay parameters is deduced by the method of multiple scales. Based on the analysis of the systems stability of zero solution, the condition of the Hopf bifurcation occur is obtained. According to the research of the ststems Hopf bifurcation and limit amplitude by numerical methods, two conclusions are verified: the controller of time-delay feedback