抛物线的焦点与准线

1、抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、 高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.公式：抛物线的焦点为，准线为二、 试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P

2、，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由2、2012年山东潍坊市24(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，0)、B(2，0)、C(0，1)三点，过坐标原点0的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C,D(0，2)作平行于x轴的直线 (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷24、如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y

3、2）两点（其中x10，x20）（1）求b的值（2）求x1x2的值（3）分别过M，N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是 M1和N1判断M1FN1的形状，并证明你的结论（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由1yxO（第28题）1234243312344124、2010年南通市中考试题（五中月考） 28（本小题满分14分）(2010年南通市)已知抛物线yax2bxc经过A（4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点C（0，2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点（

4、1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为1，P（m，n）是抛物线yax2bxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积第22题图ABQOyxPC5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22（14分）已知抛物线经过点A（2，0）、B（0，1）两点，且对称轴是轴，经过点C（0，2）的直线与轴平行，O为坐标原点，P、Q为抛物线（）上的两动点。（1）求抛物线的解析式;（2）以点P为圆心，PO为半径的圆记为P，判断直线与P的位置关系，并证明你的结论;（3）设线段，G是PQ的中点

5、，求点G到直线距离的最小值。6、（2012四川资阳9分）抛物线的顶点在直线上，过点F（2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MAx轴于点A，NBx轴于点B（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；来&源#%:中*教网（2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NFNB；（3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PAPB，求点M的坐标抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】（1）抛物线的顶点为C（1，1），可设解析式为ya（x1）2+1，又因抛物线过原点，可得a1

6、，所以y（x1）2+1，化简得yx22x，即可求字母a，b，c的值；（2）由FMFP，PM与直线垂直，可得，代入yx22x，解得点P坐标为（，）或（，），所以分两种情况，通过计算可得PFM为正三角形；（3）由PMPN可得，整理得，解得，（舍去），故存在点N（1，），使PMPN恒成立【答案】（1）a1，b2，c0（2）FMFP，PM与直线垂直，把代入yx22x，解得点P坐标为（，）或（，），当点P坐标为（，）时，MPMFPF1，PFM为正三角形，当点P坐标为（，）时，MPMFPF1，PFM为正三角形，当点P坐标为（，）或（，）时，PFM为正三角形；（3）存在，PMPN， ，两边同时平方得，yx2

7、2x，解得，（舍去），故存在点N（1，），使PMPN恒成立【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t的字母系数方程，本题有一定的区分度【推荐指数】2、2012年山东潍坊市24(本题满分ll分) 解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由 解得 所以3分 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上， 所以，所以x22=4(y2+1)； 又ON2=x22+y

8、22=4(y2+1)+y22=(y2+2)2，所以ON=，又因为y2l， 所以0N=2+y25分 设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F， 则 ， 所以ON=2EF， 即ON的中点到直线，的距离等于0N长度的一半， 所以以ON为直径的圆与相切7分(3)过点M作MHNP交NP于点H，则MN2=MH2+NH2=(x2x1)2+(y2y1)，又y1=kx1,y2=kx2，所以（y2y1)2=k2(x2x1)2所以MN2=(1+k2)(x2一xl)2；又因为点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，所以，即x24kx4=0，所以，所以(x2x1)2=16(1+k2)，所以MN2=16

9、(1+k2)2，MN=4(1+k2)9分延长NP交于点Q，过点M作MS交于点S，则MS+NQ=y1+2+y2+2=又x12+x22=24k2+4(1+k2)=16k2+8，所以MS+NQ=4k2+2+2=4(1+k2)=MN即M、N两点到距离之和等于线段MN的长ll分说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数.3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1x2的值（3）确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离

10、公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状（4）根据题意可知y=1总与该圆相切解答：解：（1）直线y=kx+b过点F（0，1），b=1显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得.M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1F1N1=x1x2=4，而FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=FF1N1=90，易证RtM1FF1RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90，所以M1FN1

11、是直角三角形.存在，该直线为y=1.理由如下：直线y=1即为直线M1N1.FMNN1M1F1Oyxl第22题解答用图PQ如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF.那么MN=MM1NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1NN1）=MN，即圆心到直线y=1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相切.点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F的坐标求出b的值（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状.（4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置4、20

12、10年南通市中考试题（五中月考）22（本小题满分14分）（1）因为当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（4，3）、B（2，0）代入到yax2bxc，得 解得这条抛物线的解析式为yx2-1.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得 解得这条直线的解析式为y-x+1.（2）依题意，OA=即A的半径为5.而圆心到直线l的距离为3+2=5.即圆心到直线l的距离=A的半径，直线l与A相切.（3）由题意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1，）.由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距

13、离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D点到l最短距离，点P坐标（-1，-）此时四边形PDOC为梯形，面积为.略解过程如下：（以下过程是：证明当点D、P、H三点共线时，PDO的周长最小）如图1，过点P作PH，垂足为H，延长HP交x轴于点G，设P（m,n）则，OP=PH要使PDO的周长最小，因为OD是定值，所以只要OP+PD最小，OP=PH只要PH+PD最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”可知，当点D、P、H三点共线时，PH+PD最小，因此，当点D、P、H三点共线时，PDO的周长最小。5、

14、（2011-2012福州市九上期末考试题）22.解：（1）抛物线的对称轴是y轴, . -1分抛物线经过点、两点,-3分所求抛物线的解析式为.-4分（2）设点P坐标为（，），如图,过点P作，垂足为,（）=，-6分=,-8分.直线与以点P为圆心,长为半径的圆相切. -9分 （3）如图,分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F. 连接并延长交的延长线于点, 是的中点,易证得， ，-11分由(2)知抛物线上任意一点到原点的距离等于该点到直线的距离, 即，- 12分 ，-13分只有当点、三点共线时，线段的中点到直线的距离最小. ,4.5，即点到直线距离的最小值是4.5.- 14分（若用梯形中位线定理求解扣1分）6、（2012四川资阳9分）【答案】解：（1），顶点坐标为(2 , )。顶点在直线上，2+3=，解得。（2）点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，点N的纵坐标为，即点N(a,)。过点F作FCNB于点C，在RtFCN中，FC=a+2，NC=NBCB=,。而，NF2=NB2，NF=NB。（3）连接AF、BF，由N