曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率

1、曲面上曲线的测地曲率向量的注记邢家省，张光照（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;2.河南经贸职业学院 技术科学系，郑州 450000)摘 要: 指出了测地曲率向量的几何来源意义，给出了测地曲率计算公式和刘维尔公式的直接推导。关键词: 测地曲率向量; 测地曲率; 几何意义；刘维尔公式中图分类号: O186. 11 文献标识码: A关于曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率的定义，文献1-4 中采用的是直接给出了表述定义的式子，没有给出导致这种定义的几何意义来源，使人感到过于突然。我们指出在导出曲面的第二基本形式的几何意义时，蕴涵了测地曲率向量

2、的几何来源和意义，这样就符合人们的认识发现规律，有利于教学理解。对测地曲率的计算公式和刘维尔公式，我们亦给出了直接的推导过程。1 测地曲率向量的几何来源在导出曲面的第二基本形式的几何意义时蕴涵了测地曲率向量的几何来源。设曲面的参数方程为 。如果具有二阶连续偏导数，称曲面为类曲面。现在任固定曲面上一点，并设为曲面在点的切平面。 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013）。作者简介：邢家省（1964-），男，河南泌阳人,博士，北京航空航天大学副教授,研究方向：偏微分方程、微分几何. 张光照（1972- ），男，河南鹿邑人，副教授，硕士，研究方向：数论、数学应用及高职教育.曲线

3、：或是上过点的一曲线，其中是曲线的自然参数。设是曲线上在点邻近的一点，和点分别对应自然参数和，即和点的向径分别为。 根据泰勒公式，有 ，其中，。 设为曲面在点的单位法向量，由作切平面的垂线，垂足为，则有，其中是点到切平面的有向距离。由于，所以有，因此，当时，无穷小距离的主要部分是，于是。由此导致引入了曲面的第二基本形式的定义及其几何意义。考虑曲线在切平面上的投影向量与在切线上投影向量的接近程度 ，进而 ， 右端表示在切平面上的投影向量。由此导致了测地曲率向量定义来源的几何意义，并能解释测地线的几何意义。曲面上沿曲线的切向量场的绝对微分的思想和Levi-Civita平行移动概念亦可认为来源于此。

4、2 测地曲率向量的定义 以表示曲线上点处的单位切向量；以表示曲线上点处的主法向量，是副法向量。 定义1 曲面上 曲线在点的单位切向量的导向量在切平面上的投影向量，称为曲线在点的测地曲率向量。 称为沿曲线的绝对微分。根据伏雷内公式，有，其中是曲线在点的曲率。称为曲率向量。故有 ，。以表示与的夹角，则曲面在点的切方向上的法曲率是 ；显然 与都垂直。命 ，则是彼此正交的单位向量，并且构成一右手系。在切平面上的投影向量也就是在上的投影向量 定义2 曲面上曲线的切向量的导向量在上的投影向量，称为曲线在点的测地曲率向量。显然有 ， ， 。定义3 将称为曲线在点的测地曲率，记作， 。显然有， 。定义4 将

5、在上的投影称为曲线在点的测地挠率，记作，。显然有 。3 测地曲率向量的几何意义 定理 1 曲面上曲线在 点的测地曲率向量， 即为在切平面 上的投影曲线在 点的曲率向量.证明 设曲线的方程是，是曲面在点的法向量。将曲线投影到切平面上, 得到上的一条曲线 , 其方程为，参数未必是曲线的弧长参数。，设曲线的弧长参数为，记 。 则有 ，时，代入，得，结论得证 。 4 曲面上曲线的测地曲率与曲线的曲率和法曲率的关系已有测地曲率的计算公式。由于，共面，所以，定理2 成立 。证明 由 ， 即得 。5 曲面上曲线的测地曲率的一般计算公式的直接推导为使记号方便，设曲面：。记；，；，则有， ； 。设是曲面上的一条

6、曲线，其参数方程为或，这里是该曲线的自然参数。由于，而，于是，我们知道 ，利用Lagrange恒等式 。得 ，代入计算，得 ， （1）以上是测地曲率的一般计算公式，方便于直接使用。我们仅用向量运算法的直接推导过程给出了测地曲率的一般计算公式。这与利用曲面论的基本方程式，推导出测地曲率的计算公式是一致的。事实上，由曲面论的基本方程式中的记号， ，故 ， （2）6 正交坐标曲线网下测地曲率的Liouville公式的直接推导过程 对于曲面上的坐标曲线构成正交网时，有 ，；代入测地曲率的一般计算公式（1）中，整理后得 。对于曲面上的坐标曲线构成正交网时，。，于是 。 令曲线的切方向与的夹角为，则有，又

7、，比较上面两式，得，所以有，由此代入上面的表示式中，整理后，得， （3）这个公式称为刘维尔（Liouville ）公式。 文献1中指出的由（2）式可以推导出（3）式，计算过程将会是繁杂的。文献2,3中为推导出（3）式，采用了另外的直接方法，掩盖了由（2）式到（3）式的关系转换。我们发现利用（1）式推导出（3）式则是简单直接的。文献7中给出了关于曲面上法曲率的最值的直接求法和性质的研究。参考文献：1梅向明，黄敬之.微分几何M.第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：82-84，146-149.2陈维桓.微分几何M.北京:北京大学出版社,2006：139-143,229-241.3 彭家贵，陈

8、卿.微分几何M.北京：高等教育出版社，2002：43-47，110-117.4马 力. 简明微分几何M.北京：清华大学出版社, 2004：27-38.76-81.5 陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编M. 北京: 高等教育出版社出版,2010：171-219.6邢家省，王拥军.曲面上曲线的测地挠率的计算公式及其应用J.聊城大学学报（自然科学版）.2012,25(3):1-4.7邢家省.法曲率最值的直接求法J.吉首大学学报（自然科学版）.2012，33（4）：11-15. A note about geodesic curvature vector of curves on a surface

9、Xing Jiasheng ,Zhang Guangzhao(1.Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University ,Beijing 100191，China;2.The department of  technology science ，Henan Economy & Trade Vocational College ， Zhengzhou 45000，China)Abstract: In this paper, we give the geometric meaning of the geodesic curvature vector , a direct derivation method about the calculate formu