曲线正向与曲面正侧的研究与应用花天平20081101061

1、曲线积分，重积分，曲面积分是积分学中的重要内容之一，它在高等数学中有着重要的地位.格林公式、高斯公式和斯托克斯公式建立了不同积分的联系.一、沟通各积分的三个定理格林公式 设平面区域是由分段光滑闭曲线围成，函数，在上具有连续一阶偏导数，则，这里为的边界曲线，并取正方向.高斯公式 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成，函数、在上连续，且有一阶连续偏导数，则，其中取外侧. 斯托克斯公式 设有光滑曲面，其边界是按段光滑的连续曲线，函数、在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则，其中的侧与的方向按右手法则确定.这三个公式都与曲线的正方向或曲面的正侧有关.因此，有必要对曲线正向与曲面正侧的理论及其应用进

2、行系统的讨论.二、曲线正方向的讨论为方便计，下面讨论时仅以一般平面曲线为例，对于相关的结论在空间曲线的推广不作仔细说明.（一）一般的平面有向曲线设平面可求长曲线有两个端点和.如果规定是始点，是终点，则称为平面有向可求长曲线，方向由到，记为.下面约定：若未特别说明，则是平面光滑曲线，且总是有参数方程，. （1）（二） “参数增加方向”及其切向量规定平面光滑曲线的点为始点，为终点，此曲线的方向叫做“参数增加方向”.注1 当平面光滑曲线用参数方程表示时，把有向曲线的方向规定与“参数增加方向”一致，会带来方便.注意到与都是割线方向，令得切向量，称作在点的“参数增加方向的切向量”.其方向余弦为， （2）

3、其中表示与轴正方向的夹角.注2 平面光滑曲线上在点处的单位切向量有两个，它们平行且方向相反；虽然切向量方向与曲线的方向是两个不同概念，但是为了表述方便，习惯上仍然说，由式（2）表示的切向量的方向与曲线的参数增加方向相同.（三）参数增加方向的法向量记平面光滑曲线上点处的单位法向量为，参数增加方向的单位切向量为，那么，为推演方便，无妨设，故，故，从而，因此参数增加方向的切向量与曲线法向量关系式有两种， ，约定下文总是采用前一个关系式，. （3）即，.（四）有向曲线与曲线积分曲线方向对于第二型曲线积分具有重要意义.曲线积分两种，可统一定义如下：设是平面可求长曲线，起点是，终点是；是曲线的分割，用分点

4、表示：，用小弧表示：，用表示小弧的弧长， 用表示的直径，表示的模.设函数在有定义，点，和式叫做第一型曲线积分的积分和.和叫做第二型曲线积分的积分和.曲线积分定义 若极限（、）存在，且与分割以及点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分（第二型曲线积分），记作（、）.注3 因为第一型曲线积分的积分和中的是小弧弧长，其数值与小弧的起点和终点无关，所以第一型曲线积分与曲线方向无关.在第二型曲线积分的积分和中，是有向小弧（或向量）在轴与轴的投影，当曲线改变方向时，与改变符号，因此，.三、曲面正侧的讨论（一）单侧曲面与双侧曲面若动点沿曲面上的任意闭路从出发回到时，指定的法线方向不变，则称为双侧曲面；

5、若存在一个闭路，使得动点沿从出发又回到时，指定的法线方向与原指定的法线方向相反，称为单侧曲面.注4 因为带只有一个侧的曲面，故是单侧曲面.常见的都是双侧曲面，对于双侧曲面，其必有两个侧，因而须指明曲面的侧，用于表明曲面的方向.约定 下面只讨论双侧曲面.（二）光滑曲面的正侧法线方向 光滑曲面上到处都有切平面（或法线），为曲面上的一点，曲面在处的法线有两个方向，当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向.曲面正侧 设是光滑曲面，任取，选定的切平面法线的其中的一个方向为正方向，当不越过边界移动时，随之确定了它任何一点的法线正方向，从而就确定了曲面的一个侧，叫做曲面正侧，另一侧叫做曲面负侧.

6、注5 设光滑曲面：，因而上任一点都存在切平面，点处的法方向为和，其分别对应于两个相反的法方向，进而确定曲面的两个侧.注意，和的方向余弦分别是，或.（三）曲面正侧与曲面积分曲面正侧对于第二型曲面积分具有重要意义.曲面积分包括两种，可统一定义如下：设空间有向曲面可求面积，是正侧法向量，分割用个小曲面块表示为：，用表示的直径， 用表示的模.曲面的投影面积 曲面在平面的投影是区域，记的面积为，记的面积为，据面积定义知.正侧投影面积 规定曲面在平面的正侧投影面积为同理规定和.积分和 设函数在有定义，和式，叫做第一型曲面积分的积分和；和式，叫做在曲面正侧的第二型曲面积分的积分和.曲面积分定义 若极限，（、

7、，）存在，且与分割以及点的取法无关，则称此极限为函数在上的第一型曲面积分（第二型曲面积分），记作（，）.注6 因为第一型曲面积分的积分和中的是小曲面块的面积，其数值与小曲面块的侧无关，所以第一型曲面积分与曲面的正侧无关.在第二型曲面积分的积分和中，是小曲面块的正侧在坐标平面的投影面积，当曲面的侧改变方向时，、和改变符号，因此第二型曲面积分也改变符号.四、曲线正向与曲面正侧的结合（一）右手法则设是空间上的光滑曲面，其边界曲线为，取定的一侧为正侧，伸开右手手掌，以拇指方向指向确定侧的法线方向，其余四指伸开微曲，并使曲面在手掌的左侧，其余四指所指的方向就是边界线的正向. 这种方法是由曲面正侧来规定曲

8、线正方向，叫做右手法则.注5 右手法则也用于从曲线正方向去规定曲面正侧.（二）两个公式中的右手法则约定：当空间上的光滑曲面与坐标平面平行时，如果未特别指明，总是规定与光滑曲面垂直的坐标轴的正方向是的正侧法向量.比如把平面上的区域视为光滑曲面时，轴的正方向就是其正侧法方向，或者说，平面上的区域的上侧就是其正侧.在斯托克斯公式的表述中已经要求光滑曲面的侧与其边界曲线，符合右手法则.根据上面的约定，格林公式中区域与其边界曲线，也符合右手法则.五、曲线正向与曲面正侧的应用（一）曲线正向的应用例1 计算 ，其中为任何不包含原点的闭区域的边界线.解 因为，在上述区域上连续且相等，于是，所以由格林公式立即可

9、得.注5 在格林公式中，令，则得到一个计算平面区域的面积的公式：.例2 计算曲线积分,其中为连续函数，为连接点到的任何路线，但与线段围成已知大小为的面积.解 设， ，则.（1）若为逆时针方向，补充直线段：，构成封闭路线，由于，均在封闭半圆的内部连续，利用格林公式有.（2）若为顺时针方向，同理可求.例3 计算曲线积分，其中是从到的上半圆周.解 设，则，补充直线段：构成封闭路线，由于，均在封闭半圆的内部连续，利用Green公式有.（二）复连通区域上的积分与路线无关性定理 下列条件在平面单连通区域和复连通区域中等价：（1）在开区域内积分与路径无关；（2）存在使得，即， ，此时称在内是全微分，称为的原

10、函数.（3）对于内任何封闭路径，即内简单逐段光滑封闭定向曲线，有.（三）曲面正侧的应用例4 应用高斯公式计算曲面积分，其中是单位球面的外侧.解 由高斯公式，有.例5 利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中为平面与球面的交线，取逆时针方向为正.解 由斯托克斯公式可得.其中在三个平面上的投影区域分别为椭圆，椭圆，直线，其面积分别为，所以.例6 计算，其中是平面上的曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的下侧.解 补充平面块：，方向取上侧使构成封闭曲面的外侧，由高斯公式得.其中：在平面上投影区间为，面积为.例7 计算曲面积分，其中是上半球面的外侧.解 添加一曲面，取下侧为正向，则与构成一封闭曲面，外侧为正向，故.例

11、8 若是平面上的闭曲线，它所包围区域的面积为，求，其中依正向进行.解 因为，由斯托克斯公式，得.这里，是以平面闭曲线为边界的平面.例9 计算，其中是与的交线.的部分，曲线的方向规定为从原点进入第一卦限.解 记，由斯托克斯公式，所求积分，其中为球面上围成的最小球面块下侧，而的方向余弦为，所以，由于关于平面对称，从而，所以.结论确定曲线正向与曲面正侧后，正确运用格林公式、高斯公式以及斯托克斯公式，使用公式前一定要注意区分三个公式成立的条件，灵活运用高斯公式和斯托克斯公式可以简化某些曲面积分与曲线积分的计算，可以让我们更直观的解决问题.参考文献：1 华东师范大学数学系.数学分析（下册）M.第三版.北京：高等教育出版社，2009.2 华东师范大学数学系.数学分析下册同步辅导及习题全解M.第三版.北京：高等教育出版社，20093 钱吉林.数学分析题解精粹M.武汉：崇文书局,2009.4 陈纪修等.数学分析(下册)M.第三版.北京：高等教育出版社,2007.5 白越等.浅谈利用高斯公式计算积分J，中国教育发展研究2010年第6期6 复旦大学数学系.数学分析（下册）M.第二版.北京：高等教育出版社，1998.7李日光.欧苡.非光滑