数分定义上册

1、1.集合又称集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素。1. 有一类特殊的集合，它不包含任何元素，我们称之为空集，记为。集合的基本运算有交、并、补、差四种。定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。2. 集合S有n个元素组成，这里的n是确定的非负整数，则称集合S为有限集。不是有限集的集合称为无限集。3. 如果一个无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列，或者说，这个集合可表示为，则称其为可列集

2、。4. 设X,Y是两个给定的集合，若按照某种规则，使得对集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中惟一确定的元素y与之对应，则称这个对应规则是集合X到集合Y的一个映射，记为：XY，y=（x）。其中y称为在映射之下x的像，x称为在映射之下y的一个逆像（也称原像）。集合X称为映像的定义域，记为。而在映射之下，X中的元素x的像y的全体称为映射的值域，记为，即=yy并且y=（x），x。5. 设是集合X到集合Y的一个映像，若的逆像也具有惟一性，则称为单射；如果映射满足=Y，则称为满射；如果映射既是单射，又是满射，则称双射（又称一一对应）。6. 基本初等函数：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数

3、，反三角函数。由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数称为初等函数。初等函数的自然定义域是指它的自变量的最大取值范围。7. 函数的简单特性（详见P19-P21）（1） 有界性：若存在两个常数m和M，使函数y=（x），x满足m（x）M，x，则称函数在D有界。其中m是它的下界，M是它的上界。（2） 单调性。（3） 奇偶性。（4） 周期性.8. 算术平均数，几何平均数， 调和平均数。9. 无界（非官方）：对任意M>0, 中必存在无穷多个,满足>M,则称数列无界。10. 上确界与下确界设S是一个非空数集，如果MR，使得xS，有xM，则称M是S的一个上界；如果mR，使得xS，有

4、xm，则称m是S的一个下界。当数集S既有上界，又有下界时，称S为有界集。显然 S为有界集X0，使得xS，有。设数集S有上界，记U为S的上界全体所组成的集合，则显然U不可能有最大数，设U的最小数为，就称为数集S的上确界，即最小上界，记为=sup S。上确界满足的性质：1，是数集S的上界：xS，有x；2，任何小于的数不是数集S的上界：0，xS，使得x-。同理，下界全体所组成的集合中的最大数为数集S的下确界，即最大下界，记为=inf S 。11. 数列极限概念设是一给定数列，a是一个实常数。如果对于任意给定的0，可以找到正整数N，使得当n>N时，成立，则称数列收敛于a（或a是数列的极限），记为

5、有时也记为a（n）。如果不存在实数a，使收敛于a，则称数列发散。12. 在收敛的数列中，我们称极限为0的数列为无穷小量。13. 当n增大时。数列各项的绝对值也无限制地增大，这样的数列我们称为无穷大量。分析定义如下：若对于任意给定的G>0，可以找到正整数N, 使得当n>N时成立,则称数列是无穷大量，记为。 G>0, N, n>N: 。14. 如果数列满足，n=1,2,3，,则称为单调增加数列；若进一步满足，n=1,2,3，,则称为严格单调增加数列。类似可以定义递减的。15. 如果一列闭区间满足条件：（1），n=1,2,3，；（2），则称这列闭区间形成一个闭区间套。16.设

6、是一个数列，而<<.<<<是一列严格单调增加的正整数，则，也形成一个数列，称为数列的子列，记为15. 如果数列具有以下特性：对于任意给定的>0,存在正整数N，使得n，m>N时成立，则称数列是一个基本数列，也称柯西序列。16. Cauchy收敛原理表明，由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性。17. 函数极限：设函数在点的某个去心邻域中有定义，即存在>0,使。如果存在实数A，对于任意给定的>0,可以找到>0，使得当时，成立，则称A是函数f(x)在点的极限，记为，或。如果不存在具有上述性质的实数A，则称函数在点的极

7、限不存在。用符号表述为：。18. 单侧极限：设在有定义（>0）。如果存在实数B，对于任意给定的>0, 可以找到>0，使得当时，成立，则称B是函数f(x)在点的左极限，记为。类似地，如果在有定义（>0）。如果存在实数C，对于任意给定的>0, 可以找到>0，使得当时，成立，则称C是函数f(x)在点的右极限，记为。19. 函数极限定义的扩充“A”：“”；“”：“G>0,：”；“+”：“G>0,：”；“-”：“G>0,：”；“”：“，>0，（）：”；“+”：“，>0，（）：”；“-”：“，>0，（）：”；“”：“，X>0,

8、()：”；“+”：“，X>0, (>X) ：”；“-”：“，X>0, (<-X) ：”。20. 设函数在点的某个邻域中有定义，并且成立，则称函数在点连续，而称是函数的连续点。函数在点连续，符号表述：。21. 若函数在区间的每一点都连续，则称函数在开区间上连续。22. 单侧连续若，则称函数在点左连续；若，则称函数在点右连续。 可表述为：；可表述为：。23. 若函数在区间连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称函数在闭区间上连续。24. 统一形式：设函数定义在某区间X上（X可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果与，则称函数在区间X上连续。25. 不连续点类型（1

9、）第一类不连续点（跳跃点）：函数在点的左、右极限都存在但不相等，即。（=sgn x）（2）第二类不连续点：函数在点的左、右极限中至少有一个不存在。（=sin）（3）第三类不连续点（可去不连续点或可去间断点）：函数在点的左、右极限都存在而且相等，但不等于或者在点无定义。（=x sin）26.若 ，则称当时是无穷小量。，是两个变量，当时，它们都是无穷小量。27. 0，当时，关于是高阶无穷小量。28. c0，当时，与是同阶无穷小量。29. 1，当时，与是等价无穷小量。30. 若，则称当时，是无穷大量（or正、负无穷大量）。31.高阶、同阶、等价无穷大量定义类似于无穷小量的。32.等价量指等价无穷小量

10、或等价无穷大量。33.设函数在区间X上有定义，若对于任意给定的>0,可以找到>0，只要，X满足，就成立，则称函数在区间X上一致连续。（一致连续的曲线较平缓）34.对函数定义域中的一点，若存在一个只与有关，而与无关的数，使得当0时恒成立关系式，则称在的微分存在，或称在处可微。若函数在某一区间上的每一点都可微，则称在该区间上可微。35.称为y的线性主要部分。当在处可微且0时，将称为自变量的微分，记作d；将y的线性主要部分（即）称为因变量的微分，记作dy或d。微分关系式为dy=。36. 若函数在其定义域中的一点处极限存在，则称在处可导，并称这个极限值为在处的导数，记为（或，）。若函数在某

11、一区间上的每一点都可导，则称在该区间上可导。37.导数又称“微商”（ ）38. =（左导数）=（右导数）39.一阶微分的形式不变性（详见P146）40.设函数可导，若它的导数（或，）任是个可导函数，则的导数(或，)被称为的二阶导数，记为（或），这时我们称是二阶可导函数（简称二阶可导）或者的二阶导数存在。（n2时称为高阶导数）41. 设函数的n-1阶导数（n=2，3，）任是个可导函数，则它的导数被称为的n阶导数，记为。并称是n阶可导函数（简称n阶可导）或者的n阶导数存在。42. dy是函数y=的一阶微分，则称dy的微分d（dy）=为y的二阶微分。一般地，若y的n-1阶微分为，定义y的n阶微分为=

12、d（），n=2，3，.（如果的微分存在的话）。43.设在上有定义，如果存在点的某一个邻域，使得则称是的一个极大值点，称为相应的极大值。类似可以定义极小值点和极小值。44. 设函数在区间I上定义，若对I中的任意两点和，和任意，都有 ，则称是I上的下凸函数。 若不等号严格成立，则称在I上是严格下凸函数。45.曲线在该点两侧的凸性相反，也就是说，它们是曲线上凸与下凸的分界点，称这样的点为曲线的拐点。46.使=0的点称为的驻点。47.若在某个区间上，函数和成立关系= 或等价的 d（）=d，则称是在这个区间上的一个原函数。48.一个函数的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作。 “”称为积分号，称为被积

13、函数，x称为积分变量。49. 设是定义在上的有界函数，在上任意取分点，作成一种划分，并任意取点。记小区间的长度为，并令，若当时，极限存在，且极限值与划分P无关，又与对的取法无关，则称在上Riemann可积。和式称为Riemann和，其极限值I称为在上的定积分，记为，这里a和b分别被称为积分的下限和上限。50.语言：设有定数I，对任意给定的>0,存在>0,使得对任意一种划分 ，和任意点，只要<，便有I<,则称在上Riemann可积，称I是在上的定积分。51.设，则定义和式（Darboux大和）（Darboux小和）【统称达布和】。52.记为在上的振幅。53.设是定义在上的

14、一列函数（n=0，1，2，.），若对任意的m和n， 在上可积，且有则称是上的正交函数列。特别地，当是n次多项式时，称是上的正交多项式列。54.设平面曲线的参数方程为。对区间作如下划分： ,得到这条曲线上顺次排列的n+1个点。用表示连结点和的直线段的长度，那么相应的折线的长度可以表示为。若当0时，极限存在，且极限值与区间的划分无关，则称这条曲线是可求长的，并将此极限值称为该条曲线的弧长。55.若和在上连续，且，则由参数方程确定的曲线称为光滑曲线。光滑曲线上的切线是连续变化的。56.我们将 称为弧长的微分。57.曲线的曲率（详见P327-328）58.考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分称为反常积分（或广义积分），Riemann积分被称为正常积分（或常义积分）。59.设函数在有定义，且在任意有限区间上可积，若极限 存在，则称反常积分收敛（或称在上可积），其积分值为 =否则称反常积分发散。60.如果函数在点的任何一个去心邻域上是无界的，则称为的奇点。6