成都华杯赛课程讲义B

1、 成都华杯赛课程讲义（B）主要内容：计数、几何、数论计数【例1】(2009年第十四届“华罗庚金杯赛”初赛)按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是055号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5，那么，可供每支球队选择的号码共( )个【分析】 根据题意，可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类，其中一位数可以为09，有10种选择；两位数的十位可以为15，个位可以为05，根据乘法原理，两位数号码有种选择所以可供选择的号码共有种【巩固】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6：2430，那么从5时到7时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？【分析】 设

2、是满足题意的时刻，有A为6，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，所以共有×=1260种选法；A为5，B、D应从0，1，2，3，4，这5个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，所以共有×=840种选法，因此一共有个【例2】(2008年第十三届“华罗庚金杯赛”初赛)已知图中是一个轴对称图形若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有( )个(A)9 (B)8 (C)7 (D)6 【分析

3、】 原图是一个轴对称图形，且对称轴只有1条，那么去掉图中的某些黑色图形后，剩下的轴对称图形的对称轴与原图的相同阴影5部分中去掉1个，有1种情况；阴影5部分去掉2个，有2种情况；阴影5部分去掉3个，有2种情况；阴影5部分中去掉4个，有1种情况；阴影5部分中去掉5个，有1种情况；所以共7种情况，答案为另解：如右图，将阴影5部分标上字母，则和关于对称轴对称，部分单独关于对称轴对称，和关于对称轴对称，所以，如果要去掉某些黑色部分图形，则和必须同时去掉或保留，既可去掉也可保留，和必须同时去掉或保留，对这3组每组都有去掉或保留2种选择，共有种选择，但是其中有种情况5部分都没有去掉的情况，这样情况应予排除，

4、所以符合条件的情况共有种【例3】在图中的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的5个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大共有 种不同的填法【分析】 首先看填入1、2、3、4、5这五个数的情况由于黑格里的数至少比两个数大，所以至少为3；而白格里的数不能是最大的，所以5必须在黑格里那么这五个数填在黑格里的数是5和4时，不同的填法有(种)；填在黑格里的数是5和3时，4只能在5的一侧，不同的填法有(种)所以，共有不同填法(种)而要将填入的五个数选出来，一共有种，然后按照分析15这5个数的方法对应着数的相对大小来分析选出来的五个数，也各有16种填法，所以一共有：种填法【巩

5、固】在图23-5的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图23-6就是一种填法。请问：一共有多少种不同的填法？ 图23-5 图23-6【分析】 为了方便说明，标上字母：CD2AB3要注意到，A最大，D最小，B、C的位置可以互换但是，D只能取4，5，6，因为如果取7，就找不到3个比它大的一位数了当D取4，5，6时分别剩下5，4，3个一位大数有B、C可以互换位置所有不同的填法共×2+×2+×2=10×2+4×2+1×2=30种【例4】一次自助餐，共有10种菜

6、，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？【分析】 不重复选：重复1种：重复2种：1种重复3次：1种重复4次：共715种【例5】如图的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成，B，C是两个格点。若请你在其它的格点种标出一点A，使得三角形ABC的面积恰等于3平方厘米，则这样的A点共有多少个？【详解】先找一个能够面积为3的点，比如A点，然后根据等积变换，底相等，高相等，即面积相等。可以做平行线，再下方也可以继续做平行线。共8个。几何【例5】 (2006年第十一届“华罗庚金杯赛”初赛)如下图所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起

7、向左对折压平，得到小正方形取的中点和的中点，剪掉得五边形那么，将折叠的五边形纸片展开铺平后的图形是( )【分析】 由裁痕可对称地画出其它三条裁痕(如图)所以答案为【例6】 (2008年第十三届“华罗庚金杯赛”初赛)如图所示，矩形的面积为24平方厘米三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是 平方厘米【分析】 因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)【巩固】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，四边形的面积为

8、【分析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为【例7】 (2004年第九届“华罗庚金杯赛”初赛)如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦与小圆相切，且与直径平行，弦长厘米求图中阴影部分的面积(圆周率) 【分析】 设小圆的半径

9、为，大圆的半径为，那么所求的阴影部分的面积为如图，设大圆圆心为，连接，过作的垂线，垂足为那么为的中点由于与小圆相切且与直径平行，所以的长与小圆半径相等，即考虑直角三角形，根据勾股定理，所以阴影部分的面积为(平方厘米)（此处需要讲一个整体求解的几何题，跟圆环有关。）【例8】 (2009年第十四届“华罗庚金杯赛”初赛)如下图所示，是半圆的直径，是圆心，是的中点，是弦的中点若是上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米a) 如下图所示，连接、本题中由于、是半圆的两个三等分点，是的中点，是弦的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知与平行由此可得的面积与的面积相等，所以阴影部

10、分面积等于扇形面积的一半，而扇形的面积又等于半圆面积的，所以阴影部分面积等于半圆面积的，为平方厘米【巩固】如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是 分析 如图所示，设上的两个点分别为、连接根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积而的面积为正方形面积的一半，为又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为：【巩固】如下图，在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是 平方厘米【分析】 连接，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，

11、可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形面积设梯形的上底为，总面积为则下底为，所以，由于梯形和梯形的高相等，所以，故，根据梯形蝴蝶定理，梯形内各三角形的面积之比为，所以；同理可得，所以，由于平方厘米，所以(平方厘米)数论【例9】 (2009年第十四届“华罗庚金杯赛”初赛)在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有 个【分析】 根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为()，则这个数为所以，得到，由于为整数，所以至少为35又由于，所以最大为56，则可以为35，36，37，56由于每一个的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有个【巩固】(200

12、8年第六届走美初赛五年级)，、均为自然数有 种不同的取值【分析】 由可知，故是2002的约数因为，2002的约数有个约数，又因为比6大，2002的约数中小于6的只有1、2两个，所以的取值有：(种)【例10】 (2006年第十一届“华罗庚金杯赛”初赛)将从1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：则数共有 位，数除以9的余数是 【分析】 组成的数字中，一位奇数有5个，两位奇数有45个，三位奇数有2个，这个多位数共有 (位)至于数除以9的余数，一般有两种求法：(法1)计算各位数字之和，一位奇数部分的和为，两位奇数部分的和分为十位部分和个位部分，十位部分为，个位部分为，三位数部分的数字之和为，所以

13、这个多位数的各位数字之和为，被9除余4，所以数除以9的余数是4(法2)因为连续9个奇数的和能被9整除，1到103共有52个连续奇数，52除以9余7，所以除以9的余数与从1开始的连续7个奇数之和除以9的余数相同135791113除以9的余数是4，所以除以9余4【巩固】(2009年走美初赛六年级)20082009除以9，商的个位数字是 1. 首先看这个多位数是否能为9整除，如果不能，它除以9的余数为多少由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除由于，所以20082009这个数除以9的余数等于20082009(或者12)除

14、以9的余数，为3那么20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，即20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4【例11】 (2006年第十一届“华罗庚金杯赛”决赛)100个非零自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数的最大可能值是( )【解析】，所以这100个非零自然数的最大公约数是的约数，又这100个数除以它们的最大公约数所得的商的和不小于100，且这个和与它们的最大公约数的乘积即等于这100个数的和，即等于2006，所以所得到的商的和是2006的不小于100的约数，最小为，所以这100个数的最大公约数最大为【巩固】(2003年第八届“华罗庚金杯赛”决赛)有很

15、多方法能将2001写成25个自然数(可以相同，也可以不相同)的和，对于每种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是( )【解析】因为，所以当25个自然数之和是2001时，这25个自然数的最大公约数必定能整除由于这25个数的和不小于它们的最大公约数的25倍，所以最大公约数不超过，所以最大值是【例12】 (2007年第十二届“华罗庚金杯赛”决赛)一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是_a) 因为111是奇数，而奇数等于奇数偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次

16、大约数应为这个偶数的，设这个次大约数为，则最大约数即它自身为，有，求得，即所求数为74【拓展】一个自然数，它的次大的约数和第三大的约数的和是111，这个自然数是_i. 因为111是奇数，而奇数奇数偶数，所以所求数的次大约数与第三大约数必为一奇一偶而一个数的最大约数是其自身，一个数如有偶约数该数也必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数的，现在关键是第三大的约数如果设该自然数是，第三小的约数是(次小的约数是2)，那么第三大的约数是，次大的约数是，那么，整理得到第三小的约数，可能是4，或者是一个奇质数如果是4，那么可得，经检验成立；如果是一个奇质数，那么应该与互质，那么必须是222的约数，也就是111的约数，符合奇质数条件的只有109，此时所以这道题的答案有两个，一个是148，另一个是218【例13】 (2007年第十二届“华罗庚金杯赛”决赛)一列数是按以下条件确定的：