数学分析2选讲

1、第十二章数项级数（数学分析选讲2教案） 数学分析选讲2第十二章 数项级数 1数项级数的基本概念和性质教学内容：数项级数的基本概念，收敛判别法。教学目的：(1)掌握数项级数的相关概念； (2)深刻理解掌握数项级数收敛的判别法。教学重点：数项级数收敛判别法教学难点：级数的敛散性的柯西判别法教学过程一、基本概念定义1 对于数项级数，称为级数的前项和或部分和。定义2，设为级数的前项和，若数列收敛，极限为，则称级数收敛，其和为。若数列发散，则称级数发散。二、数项级数的性质定理12.1(柯西收敛准则)级数收敛对于任给的，存在,对任意的及自然数，有 。定理12.2 添加、去掉或改变一个级数的有限项所得到的新

2、级数与原级数有相同的敛散性，但收敛时，和可能会发生变化。定理12.3 收敛的必要条件为。定理12.4 收敛的级数的项中可以任意加括号，所得的新级数仍收敛，和不变。三、级数收敛的判别法1、正项级数定义3 若，则称级数为正项级数。定理12.5 正项级数收敛的充要条件为它的前项和数列有上界。定理12.6(比较判别法)对于正项级数和，存在,当有。则 (i)若收敛，则也收敛；(ii)若发散，则也发散。定理12.7 对于正项级数和，若，则 (i)当时，和有相同的敛散性；(ii)当时，收敛，也收敛。(iii)当时，发散，也发散。定理12.8(比式判别法) 设为正项级数，且存在及常数,(i) 当时有 ，则收敛

3、；(ii) 当时有,则发散。推论、对于正项级数，若。则 (i)若，则级数收敛； (ii)若，则级数发散； (iii)若，则无法用此定理判断。定理12.9 对于正项级数，若存在,(i)存在，当有。则收敛；(ii) 当有,则发散。推论、对于正项级数，若，则 (i)若，则级数收敛； (ii)若，则级数发散； (iii)若，则无法用此定理判断。定理12.10 设函数在非负单调减少，则与积分具有相同的敛散性。定理12.11(拉贝判别法)设为正项级数，且存在及常数， (i)对一切,有不等式，则级数收敛。 (ii) 对一切,有不等式,则级数发散。推论 对于正项级数，若，则 (i)当时，级数收敛； (ii)

4、时，级数发散。2、交错级数判别法定义4 若级数的项中正负交错，则称级数为交错级数。定理12.12(莱布尼茨判别法)对于交错级数，若(i)；(ii)。则级数收敛。3、一般项级数定义5 对于级数，若收敛，则称绝对收敛。若收敛而发散，则称条件收敛。定理12.13 绝对收敛的级数一定收敛。定理12.14(阿贝尔判别法)若 (i)级数； (ii)单调有界。则级数收敛。定理12.15(狄利克雷判别法)若(i) 的部分和数列有界；(ii) 单调趋向于零。则级数收敛。四、重要数列的敛散性1、数列当时收敛，当时发散。2、对于级数，当时收敛，当时发散。注：要证明一个级数的敛散性1、区分级数的类型(1)对于正项级数

5、考虑应用定理的顺序为比式判别法或根式判别法拉贝判别法比较判别法积分判别法阿贝尔判别法或狄里克雷判别法柯西收敛准则(2)对于交错级数莱布尼茨判别法阿贝尔判别法或狄里克雷判别法柯西收敛准则柯西收敛准则(3)一般级数绝对收敛判别法柯西收敛准则阿贝尔判别法或狄里克雷判别法五、习题例1设为递减正项数列，则与级数具有相同的敛散性。 证明：设的前项和为，的前项和为。由条件可知, (1), (2)若收敛，得有界，由(2)知有界，即收敛；若发散，得无上界，由(1)zhi1无上界，即发散。例2 证明收敛。证明：与之间有个数。 ，显然有： 。所以。令，知。所以 ，又因为，所以。对任意的，存在,当时，有，当时，存在，

6、使得。对于任意的自然数， 。得收敛。例3 证明：若正项级数收敛，且单调，则。证明：由于非负单调知，单调减小。对任给的，存在，当时有。又由于 。，所以。 19第十三章函数项级数（数学分析选讲2教案）第十三章 函数列与函数项级数教学内容：函数列与函数项级数的概念，一致收敛判别法。教学目的：(1) 函数列与函数项级数的相关概念； (2)理解掌握函数列与函数项级数一致收敛的判别法。教学重点：函数列与函数项级数一致收敛的判别法教学难点：狄里克雷和阿贝尔判别法的应用教学过程 一、函数列1、函数列的定义下列形式称为一个函数列其中叫做函数列的第项。此函数列可简记为2、函数列的收敛点和发散点 设函数列的定义域的

7、交集为,对于,若数列收敛，则称为函数列的一个收敛点。的所有收敛点的集合叫做的收敛域。 设的收敛域为,定义函数. ， .称函数为的极限函数，记为 ，例1 ，。知当，时，当时，当时，当时，不存在。故收敛域为，极限函数为 3、函数列的一致收敛性 定义1 设函数列与函数均在数集上有定义，若对任给的，总存在,当时，对中所有均有 。记为。 显然若，则。4、一致收敛判别法 定理1（柯西收敛准则）在区间上一致收敛的充要条件为：若对任给的，总存在,当时，对中所有均有 。 定理2在区间上一致收敛于的充要条件为： 推论：在区间上不一致收敛于的充要条件为：存在点列,使得 。 定义2 若在区间的任意一个闭区间上一致收敛

8、，称在上内闭一致收敛。5、一致收敛函数列的性质 定理3若函数列满足 (i) 在区间上连续； (ii) 在上一致收敛于，则在上连续。 定理4若函数列满足 (i) 在区间上连续； (ii) 在上一致收敛于，则在上的任何一个闭区间可积，且。即 。 定理5若函数列满足 (i) 在区间上有收敛点； (ii) 在区间上连续； (iii) 在上一致收敛，则在上收敛，极限函数在上可导，且。6、函数列一致收敛和非一致收敛的证明方法主要用定理2步骤：(1)、求极限函数，在求极限时，看做定值，是变量。(2)、求，这里看做定值，为变量。若的最大值易求为，则判断是否为0，若的最大值难求或无法求出，可将放大或缩小。想证明

9、一致收敛，放大；若想证明非一致收敛，缩小。 比如想证明一致收敛，此时应满足两个条件：(i) 的最大值易求，设，(ii) 证明非一致收敛方法在不一致收敛于，对任意,存在，使得例1设。证明在上一致收敛。证明：，（）。，所以，在上一致收敛于。 例2证明在上非一致收敛。证明：，存在，对任意，取.得,所以在上非一致收敛。例3 确定函数列在上的一致收敛性。解：， 。得：，且为最大值点。 ，而，所以在上的一致收敛。例4 当为何值时，在上一致收敛。 解：，当时，所以。，可得：时，时，即在点取最大值 。所以当时函数列一致收敛。例5、若在上可积，则在上一致收敛。证明：因为在上可积，故在有界，设. ， ，得 。即极限函数为。 。所以在上一致收敛。例6（Dini定理）设函数列在上单调且收敛于连续函数，若中的每一个函数在上收敛，证明在上一致收敛于。证明：不妨设在上单调减小，即，有。令，则。 若不