恒定电流场Steadyelectriccurrentsfield

1、恒定电流场Steadyelectriccurrentsfield1、恒定电场在分界面上的折射关系、恒定电场在分界面上的折射关系为为2121tantan若 ,则 。 210在理想导体表面上， 和 都垂直于边界面。当电流由理想导电体流出进入一般导电媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。JE212En1E212J1J11111tanttnnJEJE22222tanttnnJEJE4.1 恒定电流场的边界条件 Boundary condition 关于边界条件的说明：1、由于导体内存在恒定电场，根据边界条件可知，在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量。电场并不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位

2、面。2 、若媒质2是良导体，媒质1是极不良导电媒质，只要不接近，就可以近似地把良导体表面看作等位面。例：同轴线填充两种介质，结构如图所示。两种介质介电常数分别为 和 ，导电率分别为 和 ，设同轴线内外导体电压为U。求：(1)导体间的 ， ， ； (2)分界面上自由电荷分布。1221EJ 2a2b2c11 22 解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解。电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。12bcabUE drE dr例题例题: a22 11 EJ先假设电流为I求出电流密度J的表达式求出E1和E2确定出电流由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电

3、场为：111()2rJIEearbr222()2rJIEebrcr12bcabUE drE dr12(lnln )(lnln )22IIbacb设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。rIJeS()2rIearcr由边界条件，边界两边电流连续。201121()ln( / )ln( / )rUJEearbb ac b r102221()ln( / )ln( / )rUJEebrcb ac b r22()crE drbrc112()bcrbE drE drarb120212ln( / )ln( / )UIb ac b 12021()ln( / )ln( / )UJarcb ac b r 在 面上：

4、rc21021ln( / )ln( / )Ub ac b c 32SrD e 在 面上：rb221()SrDDe2112021()ln( / )ln( / )Ub ac b b 2）由边界条件： 在 面上：ra12021ln( / )ln( / )Ub ac b a 11SD nE在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产生热能，这是一种不可逆的能量转换。这种能量损失将由外源不断补给，以维持恒定的电流。 dlUJdS4.2 4.2 恒定电场的能量损耗恒定电场的能量损耗圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，d t 时间内有d q电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的

5、功为 dddd dWqEq lEl电场损失的功率 P 为 lSEJlEIltqEtWPdddddddd单位体积中的功率损失为22JEEJpl当J和E的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式 JE lpE表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度的标积。 焦耳定律的微分形式设圆柱体两端的电位差为U，则 ，又知 ，那么单位体积中的功率损失可表示为lUEdSIJdVUIlSUIplddd可见，圆柱体中的总功率损失为UIVpPld这就是电路中的焦耳定律。例1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1 和 d2 。

6、当外加恒定电压为 V 时，试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电场储能及功率损耗。 1 12 2d1d2U解： 由于电容器外不存在电流，可以认为电容器中的电流线与边界垂直，求得 2211EEUdEdE2211UddE122121UddE12211212nnJJ12JJ211122221 212eewEwE211222 llpEpE. . 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟静电场和恒定电场性质比较：相同点：场性质相同，均为无旋场； 场均不随时间改变； 均不能存在于理想导体内部；不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场 的源为运动电荷。 存在区域不同。静电场只能存在于导体外，

7、 恒定电场可以存在于非理想导体内。当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性静电比拟例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示： PN电流场PN静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。 静电场与恒定电场的对偶关系 电阻的计算电阻的计算SSllD dsE dsqCUE dlE dlllSSE dlE dlURIJ dsE ds一、电介质隔开的导体之间漏电阻的计算CRCG若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的电阻及电导。 例如

8、，已知面积为 S ，间距为 d 的平板电容器的电容 ，若填充的非理想介质的电导率为 ，则平板电容器极板间的漏电导为 dSCdSdSG又知单位长度内同轴线的电容 。那么，若同轴线的填充介质具有的电导率为 ，则单位长度内同轴线的漏电导)/ln(21abC12 ln( / )Gb a1RG如果同轴线的长度为l，总的漏电阻为R/l二、特定等位面之间导体材料电阻的计算二、特定等位面之间导体材料电阻的计算RUIEJRIUJE(1) 假设两电极间流过的电流I,然后按(2) 假设两电极的电压U ，然后按的步骤计算。计算步骤：的步骤计算。例2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。 U

9、yxtabr0(r,)0解 显然，必须选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为U，且令 当角度 时，电位 。001当角度 时，电位 。2U2那么，由于导电媒质中的电位 仅与角度 有关，因此电位满足的方程式为0dd22此式的通解为 21CC 利用给定的边界条件，求得 U2rUr2eeEJ导电媒质中的电流密度 J 为 那么由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为 2)d (2drtrUISeeSJS abUtrrUtbaln2d2因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为 abtIVRln2例：电导率为的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，两球之间的距离为d(d R1 ，d R

10、2)，试求两小导体球面间的电阻。 解: 此题可采用静电比拟的方法求解。v假设两小球分别带电荷q和-q，由于两球间的距离dR1 、dR2 ，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。v由电荷q和-q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，v再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为11211()4qRdR22111()4qRdR 12121241111qCRRdRdR两小球表面的电位为 两小导体球面间的电容为12112411112IGRRdRdR故两个小导体球面间的电阻为1RG一、矢量磁位的引入0B()0A ( )BA r 式中： 称为恒定

11、磁场的矢量磁位。( )A r引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题求解。 矢量磁位与标量磁位矢量磁位与标量磁位Vector and scalar Magnetic potential1、矢量磁位 的定义具有普遍性，既适用于静磁场也适用于时变场 ( )A r2、矢量磁位不是唯一的。事实上，若是任意连续可微的标量函数，令 ，显然有；( )( )( )A rA rr( )( )( )( )A rA rrA rB 说明：而： 2( )( )( )( )( )( )0A rA rrA rA rr 上式表明： 和 为性质不同的两种矢量场。这意味着满足 的 有无限

12、多个。( )A r( )A r( )BA r( )A r3、为了确定矢量磁位的空间分布，还需规定矢量磁位的散度这种新引入的限定条件称为规范条件。在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件( )0A r注意：规范条件是人为引入的限定条件，可根据问题设定不同的规范条件。 ( )BA r 0BH01( )HA rHJ0AJ 2()AAA 20()AAJ 0A20AJ 二、矢量磁位的求解二、矢量磁位的求解矢量泊松方程在直角坐标系中，矢量泊松方程可分解为三个标量泊松方程20 xxAJ 20yyAJ 20zzAJ 体电流、面分布电流和细导线电流回路产生的矢量磁位分别为0(4SJAdSCCR为常矢量）0(4SJAd

13、lCCR为常矢量）0(4VJAdVCCR为常矢量）1、不同电流分布时的矢量磁位20A在无源区中， = 0，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程 J说明：E在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分量的标量方程。E格林函数法以及分离变量法均可用于求解矢量磁位 的各个直角坐标分量所满足的标量泊松方程及拉普拉斯方程。E镜像法也可适用于求解恒定磁场的边值问题。2、无源区的矢量磁位说明：1、矢量磁位 的方向与电流 的方向相同。AJ 2、引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。小结：求解磁场的方法1、场源积分法（毕奥萨伐尔定律）2、非齐次方程法（ )2HJ 3、安培环路定律4、通过矢量磁位间接求解S

14、B dSSlAdSA dl 其中l为曲面S的边界三、利用矢量磁位求磁通三、利用矢量磁位求磁通四、标量磁位四、标量磁位0J式中标量 m 称为标量磁位。0B0m2说明：1、标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。2、标量磁位的应用仅限于无源区。 0Hm H无源区中磁感应强度B 是无旋的，可以表示为一个标量场的梯度令scalar Magnetic potential在磁场作用下，磁介质将产生磁化现象。一、磁化与磁化强度矢量 Simp1、分子电流模型v电子绕核运动，形成分子电流。v分子电流将产生微观磁场。v分子电流的磁特性可用

15、分子极矩表示。mmiS 4.6 物质的磁化现象物质的磁化现象2、介质的磁化现象 磁化前v磁化前，分子极矩取向杂乱无章，磁介质宏观上无任何磁特性。 B磁化后v磁介质内存在外加磁场时：大量分子的分子极矩取向与外加磁场趋于一致，宏观上表现出磁特性。这一过程即称为磁化。3、磁化强度矢量M 磁化强度矢量描述磁介质被磁化的程度。0limiiVmMV 物理意义：单位体积内分子磁矩的矢量和。Magnetization Vector v磁介质被磁化后，内部和表面可能会出现附加电流，称这种电流为磁化电流（束缚电流）。v若媒质的磁化强度为 ，则：M二、磁化电流二、磁化电流磁化电流体磁化电流密度面磁化电流密度mJMs

16、mJMn1、若媒质被均匀磁化，无体磁化电流；磁化电流只会出现在介质表面上 2、磁化介质表面一般存在磁化电流；3、磁化电流仍然遵循电流守恒关系；4、若在磁介质内部存在自由线电流，则在自由电流处存在磁化线电流。%说明：说明：当磁介质中存在磁场时： 0BmJB 磁介质中的磁通量为：0BBB0BHM磁场强度矢量 ，定义H三、磁场强度矢量三、磁场强度矢量Magnetic field intensity一般介质被磁化的程度与外加磁场强度成正比，即：mMH式中： 为磁介质的磁化率（磁化系数）m0(1)mHB0rHB BH磁媒质本构关系式中： 称为媒质相对磁导率1rm 称为媒质磁导率(relative) pe

17、rmeability)0r 0mBHH (relative) Permittivity已知半径为a，长度为l 的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀磁化。若磁化强度为M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径 P点处由磁化电流产生的磁感应强度。 xyzlP(0,0, z)0asJ解 取圆柱坐标系，令 z 轴与圆柱轴线一致，如图示。又表面磁化电流密度nS eJM式中en 为表面的外法线方向上单位矢。因 ，所以表面磁化电流密度 仅存在于圆柱侧壁，上下端面的磁化电流密度为零。因此zM eMSJ例例由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，因此， ，即体分布的磁化电流密度为零。 0MJnzrMM eeeeSJM

18、xyzlP(0,0,z)zdz0asJ显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于z 处宽度为dz 的环形电流为( dz) ，那么该环形电流在轴线上 z 处(z a)产生的磁感应强度 dB 为 SJzzzMazd)(2d320 eB那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z 处产生的合成磁感应强度为 zzzMalzd)(12 0 320 eB2220 1)(14zlzMaze计算电流环产生的BxyzlP(0,0,z)zdz0asJSSIdlJ dz dlJ dz adezrRzz ea e 034IdlRdBR20223/20203020302200334()44242SzzrzzrSrzSzzJ

19、dz adezz ea eazzdezz ea eaJ dzzzdezza eaJ dzzzaaMdz eMdz ezzzz4.11 磁介质中磁场的边界条件磁介质中磁场的边界条件Boundary conditions for magnetic fields in magnetic material 2122BHn2111B H三、分界面上无自由电流时的折射关系12nnBB12ttHH11221122coscossinsinBBHH1212tantan1122tantan媒质两边磁场方向与媒质特性相关。媒质两边磁场方向与媒质特性相关。Boundary conditions for tangent

20、ial components of HBoundary conditions for normal components of Br 若媒质2为空气，媒质1为铁磁媒质。即：2111rr ，1122tan1tan20物理意义：磁场由铁磁体物体穿出进入一个非磁性物质的区域时，磁场几乎垂直于铁磁体物质的表面。在铁磁媒质表面，磁场方向与表面垂直。2111rr，290r 若媒质1为空气，媒质2为铁磁媒质物理意义：磁场由非磁性物质穿出进入一个铁磁体物体的区域时，对任意一个不接近零的角度1，在磁体媒质中的磁场几乎与分界面平行。21mm1212mmnn五、五、A和和m的边界条件的边界条件( )BA r 12n

21、nBB12ttAAA在分界面上切向分量连续0J H1t=H2tB1n=B2n无限长线电流位于z轴，介质分界面为水平面，求空间的 分布和磁化电流分布。B xz10I分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律求解。磁场方向沿 方向。e解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面两边， 连续而 不连续。HB由安培环路定律：CH dlI2HrI2IHer01(0)2(0)2IezrBHIezr例题例题4 4求磁化电流：介质磁化强度为：1000()2IBMHer体磁化电流为：0rzmrzeeerrJMrzMrMM 面磁化电流为：101000()()22smzrIIJMneeerr在介质内r=0位置，还

22、存在磁化线电流Im。由安培环路定律，有：000(1)mllmrBHIIdldlIII1010()(1)msmrIIII分析:可由电流守恒的关系求如图，铁心磁环尺寸和横截面如图，已知铁心磁导率 ，磁环上绕有N匝线圈，通有电流I。求:(1)磁环中的 ， 。 (2)若在铁心上开一小切口，计算磁环中的 ， 。B0HBH NIbadh0r0rd解：(1)由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得CH dlI2HrNI2NIHer2NIBHer例题例题5 5 NIba0rt (2)开切口后，在切口位置为边界问题。在切口处，磁场垂直于边界面，由边界条件知在分界面上 连续，大小为B, 不连续。设环内外的H

23、分别为H1、H 2BH由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得CH dlI120(2)(2)HrtH tNIBBrttNI0(2)/2(1)rNINIBeerttrt由于铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。02(1)rNIBert02(1)rBNIHert内002(1)rrNIBHert外02(1)rNIB Shdrt v在各向同性线性媒质中，穿过任意电流回路的磁通量与回路电流强度成正比。一、电感的定义v电感定义：穿过某电流回路的磁通量与回路中电流强度之比称为电感（电感系数），用L表示，即：LI4.12 4.12 电感电感 Inductanceq L 称为回路的电感，单位为H （

24、亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。q 在线性媒质中，单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，但与回路中电流无关。说明：q 若回路由N匝线圈绕成，则线圈的总磁通量为各单匝线圈磁通量之和，称为磁链。若N匝线圈密绕，回路总磁通量为： N 为单匝线圈磁通量 若有两个回路存在，如图示。与回路电流I1交链的磁通链是由两部分磁通形成的，其一是I1本身产生的磁通形成的磁通链11，另一是电流I2 在回路I1中产生的磁通形成的磁通链 12 。 dl10zyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1同理，与回路电流 I2 交链的磁通链是由本身产生的磁通链 22 和电流 I1在回路l2中

25、产生的磁通链 21 共同形成的，即1211122212二、自感与互感21212IML11，L22分别称为回路 l1、 l2的自感， 若周围媒质是线性的，则比值 ， 及 均为常数，令111I212I222I121I11111IL22222IL12121IMM12 、M21分别称为回路l2 对 L1、 l1对 l2的互感。说明：若回路导线直径较粗，则ioLLL式中： 为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感。iL 为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感。oL三、互感的计算1212121222MMII 111222121SSMIB dSA dS112221lMIA dl22222

26、14()lIAdlR21212212214llIMIdl dlR 211212214lldl dlMR 诺伊曼公式2112MM1、互感具有互易关系，即 2、若dl1与dl2处处保持垂直，则互感 ；若处处保持平行，则互感 M 值达到最大。如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。02112 MM3、互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值。若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。四、自感与互感的特点：五、计算电感的一般步骤：五、计算电感的一般步骤

27、：1 1） 假设回路中通有电流假设回路中通有电流I I；2 2） 求出磁感应强度求出磁感应强度B B或矢量磁位或矢量磁位A A；3 3） 计算与回路交链的磁通；计算与回路交链的磁通；4 4） 由磁通与电流的比值求出电感。由磁通与电流的比值求出电感。分析：内导体为粗导体，故内导体存在内自感。因此同轴线自感由同轴线内自感和内外导体间互感组成。设同轴线内导体载流为I，则由安培环路定律，知020()2()2IreraaBIearbr 求同轴线单位长度的自感。设同轴线内径为a，外径为b，内外导体间为真空。导体磁导率为0例题例题6解：同轴线单位长度自感由内导体内自感和内外导体互感构成。即：ioLLLbcr

28、cbaOdrIIeaIOaIO如图，在内导体内半径为r处取一长为单位长度，宽为dr的矩形面元，则通过该面元的磁通为：022iIrdB dSdra 令与 所交链的电流为I,可知d2222IIrIraa若将整个内导体电流看作1匝，则与 交链的电流匝数为 d22()IrNIa匝先求LibcrcbaOdrIIe 由磁链定义，知与 对应的磁链为：d3042iiIrdNddra 整个内导体单位长度的内磁链为3004028aiiIrIddra 08iiLI 故内导体单位长度的内自感为内外导体间单位长度磁链为：00ln22boaIIbdrra 0ln2oobLIa00ln82iobLLLa求Lo求双传输线单位

29、长度自感。设导线半径为a，导线间距为D。(Da) yxDIIdxxDx分析：导线为细导线，故只需考虑导体间的互感。解：由安培环路定律，可以求得在导体间：12BBB00()()22 ()yyIIeexDx则导体间单位长度的磁通量为0lnln()2D aD aaaIB dxxDx 0lnIDaa0lnDaLIa例题例题7 7一、电流回路系统的磁场能量 N个回路系统，i回路自感为Lii，i回路与j回路间互感为Lij，i回路电流为Ii，则磁回路系统的磁场能量为:1112NNmijijiiWL I I讨论：1、若回路为单回路系统，则212mWLI 磁场能量磁场能量 Energy in a magneti

30、c fieldEnergy in a magnetic field考虑到回路电感 ，则电流为I 的单个回路周围的磁场能量又可表示为ILIW21m式中 为与电流 I 交链的磁通链。 2、若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：12mVWJ AdV 式中： 为体电流 在dV处产生的磁位。 V为整个空间。 AJ说明：q 是恒定磁场的总能量，且只适用于恒定磁场；是恒定磁场的总能量，且只适用于恒定磁场；q 不是磁场能量密度，因为的地方也存在磁场能量。不是磁场能量密度，因为的地方也存在磁场能量。12mVWJ AdV12J A若回路为双回路系统，则2211 112 1 221 2 1222111122

31、22mWL IM I IM I IL I2211 112 1 22221122L IM I IL I12mVWJ AdV12VH AdV()()()ABA BB A 11)22VVHA dVHA dV(2211()0AHdSRRRRHA dS 12mVWH BdV 磁场能量11)22SVHA dSH BdV (二、磁能密度二、磁能密度 Magnetic Energy densityMagnetic Energy density定义：磁能密度为12mwB H meVWw dV三、利用磁能求回路电感22222121mVmWLH dVIIWLI221122mwHB对于线性均匀媒质， a0解：设导体内

32、电流为I，则由安培环路定律02()2IrBeraa则导体内单位长度磁能为22220240011224mVVIWB dVr dVa222024001224aIrrdra2016I0228mWLI例题例题8 8求半径为a的无限长直导线单位长度内自感。利用虚位移法来计算磁场力。在N个电流回路系统中，假定第i个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移xi 。如果，磁场力做功Fi xi，系统的能量增加Wm ， Ws是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。根据能量守恒定律，有 Ws=Fi xi+ Wm具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。各回路电流不变在这种情况下，与各电流

33、回路相连接的电源提供的能量为NiiiSIW14.14 磁场力磁场力 Magnetic force基本思路：而系统增加的磁能为:NiiimIW121mSWW2不变IimixWF Ws=Fi xi+ Wm各回路的磁通不变 magnetic flux在这种情况下，与各电流回路相连接的电源提供的能量。不变imixWF Ws=Fi xi+ WmWs 0注意：已规定广义力的方向为广义坐标的增加方向。因此，如果按照上述公式求得的广义力数值为负，则表明广义力的实际方向为广义坐标的减小方向。磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。 计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作用力。电流环的尺寸及位置如图示。abD0I1I2解 利用虚位移方法，且设位移过程中电流不变，则导线与电流环之间的相互作用力为m.I ConWFl2211m2121IIW式中例例9 922212122121111ILIMIMILMMM2112MIILILIW