换元法在数学竞赛中的若干运用李鑫

1、换元法在数学竞赛中的若干运用摘要： 在中学数学竞赛中，换元法作为一种重要的解题方法，有着能够将数学问题化繁为简，化难为易的作用。本文论述换元法在中学数学竞赛中的若干种运用，主要从自身换元、局部换元、整体换元、常值换元、均值换元、参数换元、比值换元及其功能分类等八个方面来论述.关键词：换元法、数学竞赛Abstract前言从往年的竞赛试题看，初中竞赛和高中竞赛题需要用到换元法来求解的问题是相当多的。在计算题、解高次方程、解无理方程、求函数解析式、不等式的证明、数列等题型中经常能过发挥重要的作用。通过换元法可以达到化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式的转化。这里我仅结合数学

2、竞赛中常出现的一些题型来谈一谈它在数学竞赛中的一些运用.1. 换元法的定义及其相关概念1.1换元法的定义所谓换元法（substitution method; substitution; changing yuan）是一种设辅助元素，把题中一个（些）字母的表达式用另外的一个字母（些）字母的表达式来代替，从而达到把要求解的问题简单化，建立已知和未知的联系的方法.在解决数学竞赛试题时，有时我们直接按原始的方法去解决问题会显得比较繁琐和困难，或者原问题所给已知条件不易得出最后结果，或者所给问题不好下手，那么这时如果我们能够引人新的“元”代替旧的“元”，使得建立在“新元”基础上的条件和问题得到了化繁为简

3、、化难为易，容易得出最后的正确结果。这就是换元法之所在.1.2换元法的基本思想化繁为简、化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式、化不熟悉为熟悉.1.3换元法的一般步骤构造新元 解答 求出原解 转化 代价代换2.换元法的分类及典例分析2.1从结构上划分2.11自身换元法在数学竞赛中，我们经常会遇到一些很繁杂的计算题，如果按照原始的方法去计算，如果按照原始的方法去计算，将会使计算过程变的复杂难解，甚至不能得到最后的正确结果，这时我们常会用到“自身换元法”。“自身换元法”就是指把要求解的式子整体用另一个字母或者表达式替换后，通过对新的变元进行计算后得出具体结果.例1、 计算（

4、1989年上海市数学竞赛题）分析：首先我们观察本题是计算一串很长的分数之和，在每一个括号中的分数的分母都是相同的。假设分母为,则每个括号中相加的分数为（）个。根据题目的特点，用原始的计算方法（先将每个括号里的分数相加，再加总求和）是相当繁杂的一项工程，并且在数学竞赛考试时间有限的情况下，是不宜采用的，那么对于这样的式子，我们如果采用“自身换元法”，会有怎样的效果呢？解：设，将原式各项反序排列后有 将等式两边乘以2，得到所以，故原式评析：解决此题的关键就是利用“自身换元”。将一串很长的式子用一个简单的变元来表示，然后等式两边同时乘以，这样就将一串繁杂的分数相加化为了比较简单的整数相加，问题迎刃而

5、解。例2、 设 求：的最小值。（2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛试题）分析：从开始看题的第一眼，我们就会产生一种厌烦的心理，本题所需要计算的不仅是一串分式之和，并且每一个分式都是由字母组成，如果不采用特殊的计算方法，是不可能将结果求解出来的。本例与例1有相似之处，都是分式相加求和，所以考虑运用“自身换元法”.解：设原式为.由柯西不等式，有 于是，有，所以，.从而，.当时，式、中的符号都成立，即有. 综上所述，所求的最小值为.评析：解决此题的关键也是利用“自身换元法”.2.1.2局部换元法换元法从结构上可分为整体换元和局部换元，局部换元是数学竞赛中运用最多，最常见的一种方法。例2、为正实数

6、，求证：(启动中学竞赛试题)证明：令.则，且 所以.同理 ， ，因此 .假设，则.故 =512与矛盾.所以 .评析：本题是数学竞赛中不等式的证明，虽然不等式的证明可以有很多种方法，但就此题来看，利用“局部换元”这种特殊的方法，把，以新元表示旧元，消去根号，起到了化繁为简，化难为易的效果，然后再运用不等式的性质便可得到证明.例3、 解方程组 分析：观察方程的左边可以发现，方程中有式子与，而方程中也有，所以可以利用换元法来进行化简求解 .解：由 有 所以将看作是关于的方程的两个根 ，所以. 即 .解之得，.评析：本题紧紧抓住已知方程组的条件，利用方程组的特点，通过换元便可突破.2.1.3整体换元法

7、 将题目中具有共同特点的部分用字母来表示后，使得计算简化.这种方法叫做整体换元法.例4、计算（2004年广西省初中数学竞赛试题） 分析：观察本题可发现，每个括号中均有相同的部分，若将共同的部分用一个字母来表示，那么就将繁杂的数据简化，又使得本题的结构特征更加简洁明了，容易发现其中的一些规律和解题技巧.解：根据观察分析，题中每个括号中的共同部分为，则 令，那么就有 原式 .评析：本题从题目的结构看非常繁杂，而且每个括号的数字比较大，直接去计算是几乎不可能的，我们利用“整体换元法”将括号中的共同部分进行转化，便可迎刃而解.2.2从数值类型上划分2.2.1常值换元法所谓常值换元法，就是将题目中的常数

8、用字母来表示，从而达到化简的目的，下面我将举几个例子来说明它的运用。例5、计算的结果（第17届“希望杯”）解：令,则 原式 评析：本题首先用来表示，然后由与之间的关系，将它们分别表示为，这样就使得看上去很大的数字转化成了一个简单的字母.2.2.2均值换元法利用“均值换元法”可以快速的证明关于元素之和为定值的一类问题，同样，运用“均值换元法”去解证一些数学竞赛试题，也能够使得解题巧妙简捷，迅速得到正确结果。 均值换元是指当题中出现或者稍加变形后成为的形式时，可设,来进行求解的一种方法，可达到减元的目的。例4、 已知且，求证分析：抓住取等号时的值相等，利用“均值换元法”进行换元求解.在本题中设，回

9、代便可化简.解：设，由，可得 ，所以有 评析：应该说本题的证明方法是相当多的，我们可以用均值不等式，构造法，还有双换元法等等，但是如果我们熟练掌握了“均值换元法”，这也不失为一种快速简便的证明方法.2.2.3比值换元法当竞赛题中含有连比（等比）的式子时，可将连比式（连等式）设为，使得题中各元能分离出来直接参与运算.这种方法称之为比值换元法.例5、设（所有字母均为正数）.求证：（1986年中学生数理化接力赛）证明：设（换元），则有，. 等式左边就可以转化为 左边 = 评析：若已知条件的式子中有连比的式子，可用比值换元法。2.2.4参数换元法例6、设正实数，满足，求证：（第四届中国女子数学奥林匹克

10、试题）分析：在阅读了国内高中数学竞赛真题库及其解法（使用均值不等式）后使我授予匪浅，但是我认为本题如果运用“参数换元法”来求解将会更加通俗易懂，简捷明了.证明：设，即.将此式代人题中的已知条件得 . 由为正实数，所以. 于是. 则. 即. 当时，上式显然成立. 证毕. 评析：数学竞赛试题往往可以有多种解法，我们在考试时，最好选择我们所熟悉并且通俗易懂的方法.就如此题即可用“均值不等式”的方法证得，但如果我们熟练掌握了换元法，将会使我们的解题过程显得更加的明了，化简过程也变得更加简捷.2.3换元法从功能上划分换元法从功能上可以划分为化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式等类型2.3.1化高

11、次为低次例7、解方程分析：这是一个高次方程，如果将方程左边全部展开，一方面的工作量大，一方面即使展开也很难解出来，所以只能部分展开.由与有相同的的一次项和常数项,所以原方程可以化为：.再设，则原方程变为，即，可得或，将结果回代就可解出的值.解：原方程可化为 .设，则原方程变为 ， 即 . 所以或， 由 ，得.此方程并无实数根. 由 ，得.解之，得 .所以原方程的根为，.评析：利用换元法解高次方程，可将其转化为较简单的低次方程求解.2.3.2化分式为整式例8、解方程分析：这是一个分式方程，直接解比较困难，我们可以先将括号里面的两项化简.即利用换元法将其化为整式来解决.解：首先将上述方程括号里面的

12、两项合并，则原方程可化为 . 设，则.所以方程可化为，整理得.解之得 或当时，整理得解之得 . 当时，整理得 解之得 经检验，均是原方程的解.评析：由本题可知，解分式方程时，换元法的灵活使用，常常会使解题得到事半功倍得到效果.化无理式为有理式例9、无理方程的解是 （2005年江苏省数学竞赛试题）分析：本题中根号内外含有未知数的式子是，所以可令（为任意常数），这样就可把原方程化为的二次整式方程.解：令，则原方程可以化为 即 .上述方程两边平方得 ，解得（舍），则， 解得.验根知, 均为原方程的解.评析：无理方程的未知数含在根号内，我们需要先去除根号，使得无理方程变为有理方程，使用换元法是来转化是

13、一种很常用的方法.2. 使用换元法时应注意的问题换元法作为数学竞赛中的一种十分重要并且运用非常广泛的方法，我们可以通过换元将复杂的问题简单化，不规则的问题规则化，但是我们在选择中间变量时，一定要非常慎重，如果换元法的类型或者新元的选择不恰当，就有可能又使原来的问题更加的复杂，而不是简化.由于换元法运用之广泛，再加上竞赛题之灵活，我们在学习运用时，不能将换元法孤立，而要灵活的掌握换元法的各种类型的区别、联系及其每一种类型的运用，并将换元法和其他数学方法联系起来。换元后，要注意新变量的取值范围必须对应于原变量的取值范围，否则就会造成变量定义域的扩大或缩小.3. 研究总结通过以上对换元法的分类和所有的例子，可以表明，在中学数学竞赛中，换元法确实是一种非常重要的解题方法.我们不仅需要掌握换元法的各种类型及其运用，并且要能够灵活的将换元法与其他数学分支建立联系，共同运用于数学学习中，在竞赛时，时间是有限的，这就更加需要我们对换元法的各种运用有着非常熟悉的运用技巧，而不能机械的照搬套用.参考文献1 许定璜.高中一题多解大全M.湖北：湖北教育出版社,2010.2数学竞赛之窗编辑部.国内高中数学竞赛真题库M.浙江：浙江大学出版社，2006. 3周春荔，才裕平.初中奥数千题巧解M.长春：长春出版社,2010.4胡兴虎，叶世彪.初中数学培优竞赛分类题典M.湖北：