数学一测试题答案

1、人信高辅2010年考研数学（数学一）模拟题参考答案一、选择题。(分)1、A。令，由于在上连续，且满足，则在上至少有一个零点。又，则在上单调递增，从而在上最多有一个零点，故方程有且仅有一个实根。2、B方程，由可知， 从而。3、D。由知：。则。由微分定义可知：在点可微，且。4、A。由幂级数在处条件收敛知：为该幂级数收敛区间的端点，显然，该幂级数收敛半径为，则。与题目幂级数在处条件收敛矛盾，所以。幂级数的收敛半径为。故在处绝对收敛。5、B因为，则，又，则有非零解。于是，又有，则也有非零解，于是。6、C. 因为A的列向量秩=，所以A命题正确。,则，而列满秩，所以只有零解。故，所以B命题正确。因，所以，

2、故D正确命题。因为A行满秩，A经过初等列变换可化为，所以C是错误的。7、C由于函数是x的严格单调函数，其反函数的导函数为不为零，有公式法可得：。8、A由全概率公式及X与Y相互独立得：。二、填空题。(分)9、解：(1)，则为一条斜渐近线；(2) ,，则为一条斜渐近线。所以渐近线方程为和。10、解：函数在处的梯度，沿曲面在点M处的外法线方向的单位向量为，所以。11、解：由对称性可知，所以答案为。12、解：。13、解法一：可以通过列变换化为。解法二：。14、解：X服从参数为的分布，所以，所以，又因为为的无偏估计量，所以三、解答题。(共9大题，94分)15、解：由，可得：。令。设。则：得驻点为和。因为

3、，所以在区域 上的最大值为8，最小值为-42。16、 ， 由对称性知：，代入得：。即：。齐次特征方程为令代入得则由知，故。17、解：设是球面在第一卦限的部分，其法向量指向球面外侧，则由斯托克斯公式得：。设分别是在三个平面上的投影，其方向均指向与之垂直的坐标轴的负方向，在由构成的闭合曲面上应用高斯公式可得，所以得：.18、解：(1)将作以为周期的周期拓展。利用周期函数的积分性质求得傅里叶系数：，同理可得：(2)傅里叶展开式为：，当时，由Ditichlet定理可知傅里叶级数均收敛于于是令得。19、证明：(1)由于在上连续，则在上有最大值和最小值。a）若，则，结论显然成立。b）若，由于，则在上的最大

4、值和最小值至少有一个在 内取到，不防设最大值M在处取到，则。（2）反证法：若函数在区间I上的零点不只个，至少应有个，不防设为，在区间上用罗尔定理得在区间I上至少有个零点，在的两个零点之间对用罗尔定理得在区间I上至少有个零点，以此类推得在区间上至少有1个零点，矛盾。所以假设不成立，原命题成立。20、解：(1)由得A有特征值，又有，则A的特征值满足，故A还有特征值1(k重)，所以二次型的规范型为。(2) ,可见B是实对称矩阵，B的特征值和5(k重)，所以。可见B正定矩阵。21、解：由所以可知。由,由此可得矩阵B的特征值为,，也就是A的特征值为,。由得出基础解系;由得出基础解系;由得出基础解系因为，所以可得：,所以可得。22、解：(1)由全概率公式可得： 所以：(2) , , 。即(X,Y)的联合分布律为：YX0101(3)由 (X,Y)的联合分布律得出X，Y，XY的分布律分别为：X01PY01P