第3章 疑难规律方法

1、.1概率加法公式应用点拨概率的加法公式是计算概率的一个最根本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率概率的加法公式可推广为假设事件A1，A2，An彼此互斥两两互斥，那么PA1A2AnPA1PA2PAn，即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和用此公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，假如事件不互斥，就不能用此公式下面举例说明概率加法公式的应用一、计算互斥事件和的概率例1 由经历得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：排队人数012345人以上概率0.100.160.300.300.100.04求：1至多2人排队的概率；2至少2人排队的概率解1记“没有人排队为事件A，

2、“1人排队为事件B，“2人排队为事件C，那么A，B，C彼此互斥PABCPAPBPC0.100.160.300.56.2记“至少2人排队为事件D，“少于2人排队为事件AB，那么事件D与事件AB是对立事件，那么PDP1PAPB10.100.160.74.点评应用概率加法公式求概率的前提有两个：一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和，再应用公式求解所求概率二、求解“至少与“至多型问题例2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，恰有1人过关事件A的概率为0.198，恰有2人过关事件B的概率为0.380，

3、恰有3人过关事件C的概率为0.302，4人都过关事件D的概率为0.084.求：1至少有2人过关的概率P1；2至多有3人过关的概率P2.分析“至少有2人过关即事件BCD，“至多有3人过关即事件A，B，C与事件“4人均未过关的和事件，其对立事件为D.注意“4人均未过关这种可能情况解由条件知，事件A，B，C，D彼此互斥1P1PBCDPBPCPD0.766.2P2P1PD10.0840.916.点评处理“至多、“至少型问题，既可以分情况讨论，也可以从反面考虑，即借助对立事件的概率间接求解当事件包含的情况较多时，常利用PA1P求PA三、列方程求解概率问题例3 某班级同学的血型分别为A型、B型、AB型、O

4、型，从中任取一名同学，其血型为AB型的概率为0.09，为A型或O型的概率为0.61，为B型或O型的概率为0.60，试求任取一人，血型为A型、B型、O型的概率各是多少？分析设出所求事件的概率，将题中涉及到的事件用所求事件表示出来，借助这些事件的概率及公式，列方程求解即可解记“任取一人，血型为A型、“任取一人，血型为B型、“任取一人，血型为AB型、“任取一人，血型为O型分别为事件E，F，G，H，显然事件E，F，G，H两两互斥故解得所以任取一人，血型为A型、B型、O型的概率分别为0.31，0.30,0.30.点评此题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题

5、的关键，同学们应注重这种才能的培养2概率误区追源同学们对概率一词虽不陌生，但求解概率问题时总会一不小心就误入歧途，下文例析几类典型错误，为同学们敲响警钟一、对频率与概率的含义及关系理解不清致误例1 以下说法中正确的有_抛一枚质地均匀的硬币10次，结果7次正面向上，假设事件A表示“正面向上，那么PA；某人将一枚硬币连续抛掷两次，两次都正面向上，那么正面向上的频率是1；利用均匀的号签抽签决定甲乙二人谁当班长时，先抽的人当班长的概率大；某批水杯的次品率为2%，那么该批水杯中每100个便会有2个次品；做10 000次随机试验，某事件发生的频率可作为该事件发生的概率错解剖析中，PA表示事件A发生的概率，

6、应为.而为事件A发生的频率，二者不相等；中，无论先抽还是后抽，抽到当班长的概率一样；中，概率代表某事件在一次试验中发生的可能性，不能由其判断做一次试验一定发生或不发生某种结果；中，概率值是在大量试验的根底上，由多个频率的变化规律得到的，仅凭10 000次随机试验中某事件发生的频率得不出该事件发生的概率正解点评频率与随机试验的次数有关，具有随机性做一样次数的随机试验，某事件发生的频率不一定一样概率与随机试验的次数无关，具有不变性，反映了事件发生的可能性大小二、对立事件概念理解不透致误例2 某人面试时，答了3道试题假设此人各道试题答复正确与否具有随机性，那么他至少答对1道题的对立事件是_错解该次面

7、试，此人至多答对1道题剖析对一些关键判断词的否认词不能准确理解应用，误认为将“至少改为“至多即可得其对立事件正解此人答对题的个数可以是0、1、2、3.“至少答对1道题，即答对1道、2道或3道，所以“他至少答对1道题的对立事件是“他1道题也没答对点评在写某事件的对立事件时，应准确把握常见判断词及其否认，如都是不都是；全不全；至少有n种至多有n1种；大于小于或等于三、错用加法公式不互斥时致误例3 几个人玩掷骰子游戏，某人先随机向上抛掷一颗骰子，骰子落下后各点向上的概率都是，事件A表示“朝上的点数是不等于6的偶数，事件B表示“朝上的点数不少于4，求PAB错解因为PA，PB，所以PABPAPB.剖析错

8、解的原因在于无视了概率加法公式应用的前提条件由于当朝上一面的数为4时，事件A，B同时发生，所以事件“朝上一面的数是不等于6的偶数与“朝上一面的数不少于4不互斥，故不能应用公式PABPAPB求解正解记“朝上一面的数为ii1,2,3,4,5,6为事件Ci，那么六个事件彼此互斥，且AC2C4，BC4C5C6，所以ABC2C4C5C6，所以PABPC2C4C5C6.点评求解随机事件的概率时，要注意分清哪些事件互斥，哪些不互斥应用互斥事件的概率加法公式时，要先判断两个或多个事件是否彼此互斥，只有事件彼此互斥时才可用公式求解3概率中的几个易混概念辨析概率问题中有许多概念看似相似，实那么不同，非常容易混淆，

9、本文就概率中的几组易混概念进展比照分析，以进步同学们的区分才能和解题才能1随机事件、必然事件与不可能事件随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；而必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，其概率为1；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，其概率为0.但需要注意，从概率学角度看，概率为1的事件可以是必然事件，也可以是随机事件；同样，概率为0的事件可以是不可能事件也可能是随机事件2频率和概率频率和概率是学习的重点，也是学习的难点频率是指在屡次重复试验的根底上此事件发生的次数与试验总次数的比值，它随着试验次数的改变而变化，它不是常数，但它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着

10、试验次数的不断增大，这种摆动幅度越来越小而上述中的常数是事件发生的概率，它不随着试验次数的改变而变化，频率只能作为概率的一个近似值有时频率与概率相等，如必然事件例1判断以下命题的真假1掷100次硬币，出现正面的频率是0.4，那么在试验中出现正面向上的次数为40次；2某产品的次品率为3%，那么任取该产品100件，其中必有3件次品解1真；2假3互斥事件与对立事件互斥事件、对立事件的共同点是都涉及两个事件之间的关系假如事件A与事件B不可能同时发生，那么称事件A与B为互斥事件，它包含两层含义：在同一次试验中，A，B都未发生；A，B恰有一个发生在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事

11、件注：互斥事件是对立事件的前提；两个事件中必有一个发生；对立事件的概率和等于1，即PAP1.因此，两事件对立，必定互斥，但互斥不一定对立从集合角度考虑：两个事件A与B互斥，是指由A，B所含的结果所组成的集合的交集是.一般情形：假如事件A1，A2，An中任何两个都是互斥事件，那么我们称A1，A2，An彼此互斥各事件包含的结果组成的集合A1，A2，An有A1A2An；对于事件A，B所包含的结果组成的集合A，B假设满足“AB为所有可能事件组成的集合且AB，那么事件A与B为对立事件，也即AB，BA.利用上述集合观点，很容易判断两个事件是否为互斥事件或对立事件4“放回与“不放回例2从含有两件正品a1，a

12、2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，连续取两次1假设每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；2假设每次取出后放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率解1每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为a1，a2，a1，b1，a2，a1，a2，b1，b1，a1，b1，a2，其中小括号中左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品这一事件，那么事件A由a1，b1，a2，b1，b1，a1，b1，a24个事件组成，因此PA.2有放回地取出两件，其一切可能的结果为a1，a1，a1，a2，a1，b1，a2，a1，a2

13、，a2，a2，b1，b1，a1，b1，a2，b1，b1，且B表示“恰有一件次品这一事件，那么事件B由a1，b1，a2，b1，b1，a1，b1，a24个事件组成，因此PB.4点击古典概型中的列举法古典概型是概率部分的一个重要内容，涉及到古典概型概率求解的问题一般难度不大，但极易出错，下面介绍三种列举方法供同学们学习时参考一、直接列举法例1 袋中有除颜色外大小均一样的红、白、黄、黑4个小球1从中任取一球，求取出白球的概率；2从中任取两球，求取出的是红球和白球的概率分析求古典概型的概率，应先列举出总的根本领件数、所求事件包含的根本领件数，然后利用公式求概率解1设A表示事件“取出白球在“从中任取一球的

14、试验中，等可能出现的结果有取出红球，取出白球，取出黄球，取出黑球，共4种，所以PA.2设B表示事件“取出的两个球是红球和白球，在“从中任取两球这个试验中等可能出现的结果有6种：红，白，红，黄，红，黑，白，黄，白，黑，黄，黑所以PB.点评假设事件发生的总数不是很多时，常用直接列举法，就是依次将各根本领件列举出来二、表格列举法例2 用正方体做一颗骰子，在6个面上分别标上1,2,3,4,5,6，现将这颗骰子先后抛掷两次，试问：1“点数之和为奇数与“点数之和为偶数的概率是否一样大？2“点数之和为6与“点数之和为8的概率是否一样大？3从问题2中你能发现什么样的一般规律？分析两次点数之和的事件数比较多，可

15、利用表格列举法来处理，分别用第一行和第一列的数表示先后掷出的点数，穿插处表示它们的和，由此可计算出所求事件的概率解如表格：第一行、第一列中的数表示出现的点数，行与列穿插处的数表示点数之和：1234561234567234567834567894567891056789101167891011121由表知：根本领件有36个，记“点数之和为奇数为事件A，“点数之和为偶数为事件B，事件A含根本领件18个，事件B含根本领件18个，所以PAPB，即事件A，B的概率一样大2记“点数之和为6为事件C，记“点数之和为8为事件D，事件C含有5个根本领件，分别为1,5，5,1，2,4，4,2，3,3事件D含有5个

16、根本领件，分别为2,6，6,2，3,5，5,3，4,4所以PCPD，即事件C，D的概率一样大3从上面的2中及表格中可发现“点数之和为x与“点数之和为14x的概率一样大点评涉及到两次结果的问题，一般可采用表格列举法来列举根本领件，这样可保证列举时不重不漏三、树形图列举法例3 用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂1种颜色求：13个矩形颜色都一样的概率；23个矩形颜色都不同的概率解由树形图用R，Y，G分别代表三种不同的颜色可知，此题的根本领件共有27个因为对3个矩形涂色时，选用颜色是随机的，所以这27个根本领件是等可能的1记“3个矩形颜色都一样为事件A.由树形图知，事件A包含的根本

17、领件有1×33个，故PA.2记“3个矩形颜色都不同为事件B.由树形图可知，事件B包含的根本领件有2×36个，故PB.点评当题中的根本领件较多、较为复杂时，可结合树形图进展分类、列举求解古典概型的概率问题中，上述三种常用的求解方法都是直接求解的假设直接或正面考虑时比较困难，那么需转换思维角度，可利用正难那么反的思想，如利用对立事件的概率进展求解5解古典概型技巧谈求解古典概型问题时，根本领件数的求解有时比较费事，下面介绍几种常见的古典概型解题技巧一、利用对称性求概率在古典概型中，处于对称平等地位的事件发生的概率一般一样，应用这一结论可以巧妙地列举出根本领件，简化计算，从而收到事

18、半功倍的效果例1 在线段AB上任取不同的3点x1，x2，x3，求x2位于x1，x3之间的概率分析初看此题不是古典概型问题，但假如我们仔细观察，就会发现，其实是一个古典概型问题解设A1x1位于x2，x3之间，A2x2位于x1，x3之间，A3x3位于x1，x2之间，那么事件A1，A2，A3处于对称平等的地位，其发生的可能性是相等的，且A1，A2，A3两两互斥故该试验可看成只有3个根本领件A1，A2，A3，所以所求概率PA2.点评在线段AB上取点有无数种情况，但就此题而言，只需考虑x1，x2，x3三者的位置关系，并由对称性顺利求解跟踪训练1临近毕业，各个班级都在合影纪念，在高三1班合影时，摄影师随意

19、安排A，B，C，D，E共5名同学站成一排，试求A在B的右边A，B可以不相邻的概率为_解析A在B的右边与B在A的右边对称答案二、转换角度求概率在解决古典概型问题时，应抓住事件的本质，从适宜的角度入手，正确列举出根本领件例2 任取一个正整数，求该数的四次方的末位数字是1的概率分析任取一个正整数，有无数种情况，但它们的四次方的末位数只与正整数的末位数09有关，因此，只研究其末位数即可解不能把所有的正整数作为根本领件总体，因为这样得到的根本领件是无限的，不满足古典概型所要求的“有限性的条件由于正整数四次方的末位数是由这个数的末位数决定的，可能是0,1,2，9中的任意一个等可能，当该数的末位数是1,3,

20、7,9时，其四次方的末位数均为1，所以取根本领件为0,1,2，9，那么所求事件A1,3,7,9，其概率PA.点评通过该例，我们看到当问题应用常规的列举法无法解答时，应探求其本质，此题只是根据决定四次方的末位数为1的“末位数来解答的当然这类题有其特殊性，但是从中可以发现选取适宜的根本领件是非常重要的跟踪训练2有五名同学A，B，C，D，E需在最短时间内站成一排，那么C恰好站在中间的概率为_解析只考虑中间位置答案三、利用互斥事件或对立事件求概率有些古典概型问题，假如从正面考虑其根本领件比较多，可以分解为几个互斥事件进展求解，也可以从它的反面考虑，即借助对立事件来求例3盒子中装有编号为1,2,3,4,

21、5,6,7的七个球，从中任意取出两个，那么这两个球的编号之积为偶数的概率是_结果用最简分数表示分析两个数之积是偶数，那么两个数至少有一个是偶数，需考虑的情形比较多，但是对立事件：“两数之积为奇数那么很简单，所以先求对立事件的概率解析从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，通过列举共有21个根本领件，2个数之积为奇数2个数分别为奇数，共有6个根本领件，所以2个数之积为偶数的概率P1.答案跟踪训练3将一枚硬币连掷4次，那么至少有1次正面朝上的概率为_答案6走出解古典概型的误区古典概型是根本领件满足有限性和等可能性的一类特殊的概率模型，假设对这两点理解不透彻，便会产生错误另外，根据题目条件的不同，处

22、理问题的过程中也要注意上述两点，防止得出错误的结论下面我们将常见的古典概型易错题型总结如下：一、根本领件表示不合理，导致不满足等可能性例1 抛两枚硬币，可能出现的试验结果为“两个正面、“两个反面、“一正一反三种，那么事件“一正一反发生的概率为_错解因为试验结果有“两个正面、“两个反面、“一正一反三类，故事件“一正一反发生的概率为.错因分析“一正一反包括“正，反，反，正两个根本领件，上述解题过程中列举的结果把其当成一个根本领件，导致根本领件不是等可能发生的，因此求得的概率是错误的正解试验的所有根本领件为正，正，反，反，反，正，正，反四个因此，事件“一正一反发生的概率为.答案点评对古典概型的根本领

23、件列举要全面，即列出进展一次试验得到的所有可能结果再进一步验证根本领件发生的概率是否相等，假设不相等，那么选择的根本领件不能用来计算概率值二、根本领件选择不当，误将“无限当成“有限例2 在区间0,10上任取一个数字，取到数字5的概率是多少？错解由题意易知，此试验的根本领件为取到数字0,1,2，9,10，共11个记事件A“取到数字5，那么PA.错因分析解题过程中没有判断这个试验是否满足古典概型的定义由于试验结果为区间0,10上的数，有无穷多个也就是说，这个试验的根本领件有无穷多个，故不满足古典概型的定义正解0点评满足古典概型的试验中仅含有有限个根本领件，假设某个试验的根本领件有无限个，那么这样的

24、试验一定不满足古典概型三、忽略有无放回，导致根本领件遗漏例3 某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3的四个大小、质地均一样的小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次假设取出的两个小球号码之和等于5，那么中一等奖；等于4，那么中二等奖；等于3，那么中三等奖，求连续取两次中奖的概率错解设“中奖为事件A，从四个小球中取两个共有0,1，0,2，0,3，1,2，1,3，2,3共6种不同的结果而取出的两个小球号码之和等于3或4或5的结果有0,3，1,2，1,3，2,3，共4种，故中奖的概率PA.错因分析上述解题出错的原因，是没有注意到“每次取出一球，记下编号后放

25、回这个关键句，对放回后对试验的影响不理解，导致忽略0,0，2,2，以及3,0，2,1等事件，从而出现错误正解设“中奖为事件A，从四个小球中有放回地取两个，共有0,0，0,1，0,2，0,3，1,0，1,1，1,2，1,3，2,0，2,1，2,2，2,3，3,0，3,1，3,2，3,3共16种不同的结果取出的两个小球号码之和等于4或3的结果有1,3，2,2，3,1，0,3，1,2，2,1，3,0，共7种；两个小球号码之和等于5的结果有2种：2,3，3,2故中奖的概率PA.点评对于无放回的取球问题，一般利用无序的数组表示两个元素，并且不会出现重复元素；但有放回的问题，因为取出的元素会被放回，便会导

26、致两次可能重复出现一个元素，我们用坐标来表示更明晰7概率与其他知识的综合概率已成为高考的新重点和热点内容，由于概率比较容易与其他知识相结合出一些综合性试题，而且创新型试题不断涌现下面就一些常见的综合题略作介绍1集合与几何概型例1集合Ax，y|x2y21，集合Bx，y|xya0，假设AB的概率为1，那么a的取值范围是_解析假设AB的概率为1，那么集合A与B有公共元素，联立2x22axa210有实数根，4a28a210，a.答案， 点评由于AB是必然事件，说明直线和圆必相交，也可以利用圆心0,0到直线l：xya0的间隔 小于等于圆的半径r1来求解2几何与几何概型例2事件“在矩形ABCD的边CD上随

27、机取一点P，使APB的最大边是AB发生的概率为，那么_.分析此题的关键是找出使APB的最大边是AB的临界条件，首先是确定AD<AB，然后作出矩形ABCD，最后分别以A，B为圆心，以AB为半径作圆弧交CD于F，E，当EFCD时满足题意解析如图，在矩形ABCD中，以AB为半径作圆交CD分别于E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E，F为 CD的四等分点，设AB4，那么DF3，AFAB4，在RtADF中，AD，所以.答案点评数形结合的思想方法是常用的数学思想方法3古典概型与直角坐标系相结合例3集合A9，7，5，3，1,0,2,4,6,8，在平面直角坐标系中，点x，y的坐标xA，yA

28、，且xy，计算：1点x，y不在x轴上的概率；2点x，y正好在第二象限的概率分析x，y的选取是随机的，在集合A中任取两数，记为x，y是等可能的解点x，y中，xA，yA，且xy，故x有10种可能，y有9种可能，所以试验的所有结果有10×990种，且每一种结果出现的可能性相等1设事件B为“点x，y不在x轴上，那么y不为0有9种可能，x有9种可能，事件B包含的根本领件个数为9×981，因此PB.2设事件C为“x，y正好在第二象限，那么x<0，y>0，x有5种可能，y有4种可能，事件C包含的根本领件个数为5×420，因此PC.点评此题是古典概型与直角坐标系相结合

29、的综合题关键是把试验中所有可能出现的根本领件的个数及所求事件的个数分析透，找不准、找不全根本领件是常出现的错误4跨学科综合题例4把x，y两种遗传基因冷冻保存以供科研用，假设x基因有30个单位，y基因有20个单位，且在保存过程中有2个单位的基因失效，求x，y两种基因各失效一个单位的概率分析哪一个单位的基因失效是等可能的，且根本领件的个数是有限的，所以属于古典概型解2个单位的基因失效取自x，y两种基因各一个，共有30×20600种可能，而整个事件共有1 225种可能，故所求概率为P.点评此题考察了利用古典概型解决实际问题的才能.8概率中的数学思想概率的有关知识在实际生活中的应用非常广泛，

30、恰当合理地运用数学思想方法，可以帮助我们更快、更准确地解决问题下面举例说明求解概率问题时常用的三种思想方法一、数形结合思想例1 某学校成立了三个社团，共60人参加，A社团有39人，B社团有33人，C社团有32人，仅参加B社团的有8人，只参加A，B两社团的有10人，只参加A，C两社团的有11人，三个社团都参加的有8人从这60人中随机抽取一名成员，求1他只参加两个社团的概率为多少？2他至少参加两个社团的概率为多少？分析此题为古典概型问题，直接求解思路不太明晰，可以借助Venn图解由条件可得如下图的Venn图：设事件D表示“他只参加两个社团，事件E表示“他至少参加两个社团，那么有1随机抽取一名成员，他只参加两个社团的概率为PD.2随机抽取一名成员，他至少参加两个社团的概率为PE.点评此题借助于集合中的Venn图，将抽象的数学语言与直观图形结合起来，通过数与形的双向联络，实现了直观、快速、准确解题的目的例2 在一次商贸交易会上，某商家开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约参与抽奖假设甲方案