第3章 §1 1.2 类比推理

1、.1.2类比推理1通过详细实例理解类比推理的意义重点2会用类比推理对详细问题作出判断难点根底·初探教材整理1类比推理阅读教材P56内容，完成以下问题由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此根底上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理类比推理是两类事物特征之间的推理类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等的性质，可推知正四面体的以下性质，你认为比较恰当的是_填序号各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等【解析】正

2、四面体的面或棱可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角或共顶点的两棱的夹角可与正三角形相邻两边的夹角类比，故都对【答案】教材整理2合情推理阅读教材P57内容，完成以下问题合情推理是根据实验和理论的结果、个人的经历和直觉、已有的事实和正确的结论定义、公理、定理等，推测出某些结果的推理方式合情推理的结果不一定正确以下说法正确的选项是A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜测D合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论【答案】B质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：

3、_疑问2：_解惑：_小组合作型类比推理在数列中的应用在公比为4的等比数列bn中，假设Tn是数列bn的前n项积，那么有，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列an中，假设Sn是an的前n项和1写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；2写出一个更为一般的结论不必证明【精彩点拨】结合等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质【自主解答】1数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的证明如下：等差数列an的公差d3，S30S20S20S10a21a22a30a11a12a2010d10d10100d300，同

4、理可得：S40S30S30S20300，所以数列S20S10，S30S20，S40S30是等差数列，且公差为300.2对于任意kN，都有数列S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列，且公差为k2d.1此题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点2类比推理的思维过程观察、比较联想、类推猜测新的结论即在两类不同事物之间进展比照，找出假设干一样或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的一样或相似之处再练一题1设等差数列an的前n项和为Sn，那么S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设

5、等比数列bn的前n项积为Tn，那么T4，_，_，成等比数列【解析】等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为Tn，那么T4，成等比数列【答案】类比推理在几何中的应用如图3­1­10所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是ABC三条边上的高，P为ABC内任意一点，P到相应三边的间隔 分别为pa，pb，pc，可以得到结论1. 【导学号：67720193】图3­1­10证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一

6、面为底面的高【自主解答】，同理，.SPBCSPACSPABSABC，1.类比上述结论得出以下结论：如下图，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的间隔 ，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的间隔 分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论1.证明如下：，同理，.VP­BCDVP­ACDVP­ABDVP­ABCVA­BCD，1.1一般地，平面图形与空间图形类比方下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤：1找出两类事物之间的相似性或一致性；2用一类事物的性质推

7、测另一类事物的性质，得出一个明确的结论再练一题2在上例中，假设ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由ab·cos Cc·cos B可类比四面体的什么性质？【解】在如下图的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜测SS1·cos S2·cos S3·cos .探究共研型类比推理在其他问题中的应用探究1鲁班创造锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子能“锯开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似

8、，“锯子应该是齿形的你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理探究2以下过程可以求123n的和因为n12n22n1，n2n122n11，22122×11，有n121212nn，所以123n.类比以上过程试求122232n2的和【提示】因为n13n33n23n1，n3n133n123n11，23133×123×11，有n13131222n23123nn，所以1222n2.椭圆具有性质：假设M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线1a

9、>0，b>0具有类似特征的性质，并加以证明【精彩点拨】 【自主解答】类似性质：假设M，N为双曲线1a>0，b>0上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明如下：设点M，P的坐标分别为m，n，x，y，那么Nm，n因为点Mm，n是双曲线上的点，所以n2m2b2.同理y2x2b2，那么kPM·kPN··定值1两类事物能进展类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征2进展类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征然后，用一类对象的

10、特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜测再练一题3如图3­1­11所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆类比“黄金椭圆，可推算出“黄金双曲线的离心率e等于_图3­1­11【解析】如下图，设双曲线方程为1a>0，b>0，那么Fc,0，B0，b，Aa,0，所以c，b，a，b又因为，所以·b2ac0，所以c2a2ac0，所以e2e10，所以e或e舍去【答案】构建·体系1下面使用类比推理恰当的是A“假设a·3b·3，那么ab类比推出“假设a·0b·

11、;0，那么abB“abcacbc类比推出“a·bcac·bcC“abcacbc类比推出“c0D“abnanbn类比推出“abnanbn【解析】由实数运算的知识易得C项正确【答案】C2扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可知扇形面积公式为A.BC.D无法确定【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S.【答案】C3在平面上，假设两个正三角形的边长的比为12，那么它们的面积比为14，类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长的比为12，那么它们的体积比为_【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积

12、之比与棱长之比成立方关系，故假设两个正四面体的棱长的比为12，那么它们的体积之比为18.【答案】184bn为等比数列，b52，那么b1b2b3b929.假设an为等差数列，a52，那么an的类似结论为_【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3b929可得，在an中，假设a52，那么有a1a2a3a92×9.【答案】a1a2a3a92×95如图3­1­12，在三角形ABC中，ABAC，假设ADBC，那么AB2BD·BC.假设类比该命题，如图3­1­12，三棱锥A­BCD中，AD平面ABC，假设A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，那么可以得到什么命题？命题是否是真命题，并加以证明图3­1­12【解】命题是：三棱锥