数学物理方程综述

1、范定方程与边界条件构成本征值问题，得到关于范定方程在边界条件下一般解（本征函数解），加之初始条件得到一个物理问题的解。1. Laplace 方程在球坐标系中分离变数。（1） （2）分离得： （5）再次分离得：本征函数： （9）球谐方程 （10）作代换： （11）得： （12）即是l阶连带Legendre方程，m=0是Legendre方程.Legendre方程或连带Legendre方程往往与的边界条件构成本征值问题，决定了l只能取整数。2. Laplace 方程在柱坐标系中分离变数。 （13）分离变数： （14） （15）的本征函数： （9） （16） （17）得：（1） （20） （21）（2

2、） 令 （22） 得m阶Bessel方程 （23）m阶Bessel方程与齐次边界条件构成本征值问题。关于z: （24）（3） 令： （25）与圆柱的上下底面构成本征值问题。作代换： （26）得虚宗量Bessel方程： （27）.波动方程输运方程（28） （29） （30） （31） 关于时间的解： .方程： （34）（）球系： （35） （2）分离得：若，令 （37）得：， （38）若得uler方程 （39）（）柱系： （40）的本征函数：or (9)令得： (43)再令得：，即是m阶Bessel方程 (44)(41)式与处齐次边界条件构成本征值问题，决定的可能数值(43)或(44)式与处齐次

3、边界条件构成本征值问题， 决定可能是数值必然有，则为两个本征值的合并，因此5.球内轴对称（m=0,与无关）问题一般解 （45）考虑到球心为有限值，即有限，（1） 常用的Legendre公式： （46）（2） 微分表示： （47）（3） 模： （48）（4） 母函数： （49）6一般球函数 （50） （51）（1） 微分表示： （52）（2） 模： （53）（3） 广义Fourier级数： （54）或 （55） 综上所述：Laplace 方程在非对称情况下一般解为： （56）其中系数为 （57）其中 （58）（4）常用连带Legendre多项式： （59）注：1.f(x)为奇函数，广义Fouri

4、er展开，l=2n2.f(2)为偶函数，广义Fourier展开，l=2n+17.柱函数（1）Bessel方程：， （60）虚宗量Bessel方程：， （61）球Bessel方程：， （62）（2）线性对立解（60）的解： （63） 或： （64）其中为Neumann函数 （65）Hankel函数： （66）（3）渐进行为AB； （67） ； （68）注：1.Hankel函数很好地描述波的发射问题；2.实心柱问题只取 3.空心柱问题 不能排除Neumann 函数 4.柱外问题 和或和都要保留(4)本征值问题Bessel方程与柱侧齐次边界条件构成本征值问题。只讨论A 第一类齐次边界条件：，即。是第

5、n个零点本征值：，是第n个零点模： （69）B第二类齐次边界条件：，即。本征值：，是第n个零点。特别的，m=0：一般有： （70）模： （71）C.Fourier-Bessel 级数 （72）常用下列积分帮助计算系数： （73）有： （74）D解的一般形式：， （75-1）， （75-2）（5）虚宗量Bessel方程，其解是m阶虚宗量Bessel函数 （76）和m阶虚宗量Hankel函数 （77）虚宗量Bessel方程与处齐次边界条件构成本征值问题。A 一般解或 （78）B 渐进行为：； （79）（6）球Bessel方程，代换，A.线性独立解在下列五种中任取两种球Bessel函数, （80）球Neumann函数 （81）球Hankel函数, （82） B.常用初等表示：<1>， （83）<2>, （84） <3>, (85) , (86) C.渐进行为：，因此只取