等差数列的前n项和

1、2.3 2.3 等差数列的等差数列的 前前n n项和（一）项和（一）上页上页下页下页复习引入复习引入1. 等差数列定义：等差数列定义： 即即anan1 d (n2).2. 等差数列通项公式：等差数列通项公式： (1) ana1(n1)d (n1).(2) anam(nm)d .(3) anpnq (p、q是常数是常数)上页上页下页下页复习引入复习引入11 naadnmnaadmn 1 nnaad3. 几种计算公差几种计算公差d的方法的方法: 上页上页下页下页复习引入复习引入4. 等差中项等差中项bAabaA,2 成等差数列成等差数列. mnpq amanapaq. (m，n，p，qN)5. 等

2、差数列的性质等差数列的性质上页上页下页下页复习引入复习引入6. 数列的前数列的前n项项和：和： 称为数列称为数列aan n 的前的前n n项和，记作项和，记作S Sn n，那么，那么S Sn n1 1表示什么？表示什么？a an n，S Sn n，S Sn n1 1三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？naaaa321 1)( 2)( 11nSnSSannn上页上页下页下页7.7.数列的通项公式能反映数列的基本特数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前性，在实际问题中常常需要求数列的前n n项和项和. .对于等差数列，为了方便运算，我对于等差数列，为了方便运算，我们

3、希望有一个求和公式，这是一个有待们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题研究的课题. .复习引入复习引入上页上页下页下页上页上页下页下页高斯（高斯（Gauss,17771855），），德国著名数学家，他研究的内德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为的巨星，被誉为“数学王子数学王子”.上页上页下页下页 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放

4、铅笔的现了一个堆放铅笔的V形架，形架，V形架的最下面一层放形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一都比它下面一层多放一支，最上面一层放支，最上面一层放100支支.老师问：高斯，你知道这老师问：高斯，你知道这个个V形架上共放着多少支铅笔吗？形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景创设情景问题就是：问题就是：计算计算1 2 3 99 100上页上页下页下页高斯的算法高斯的算法计算：计算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这高斯算法的高明之处在于他发现这100100个数可以分为个数可以分为5050组：组： 第一个数与最后一个数一组；第一个数与最后

5、一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一组， 每组数的和均相等，都等于每组数的和均相等，都等于101101，5050个个101101就等于就等于50505050了。高斯算法将加法问题了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. .首尾首尾配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？上页上页下页下页问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观

6、，为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有共有100100层（见左图），奢靡之程层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝你知道这个图案一共花了多少宝石吗？石吗？上页上页下页下页探究发现问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问

7、题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？ 上页上页下页下页探究发现问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。上页上页下页下页探究发现问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 12321212019121(121)212s获得算法：上页上页下页下页探究了以上两个实探究了以上两个实际问题的求和，我际问题的求和，我们对数列求和有了们对数列求和有了一定的认识，那么一定的认识，那么

8、能否将能否将“倒序相加倒序相加法法”推广到任意一推广到任意一个等差数列呢？个等差数列呢？这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：和，很有创意，用数学式子表示就是： 1+ 2+ 3+ 4+2121+20+19+18+1对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序）式子恰好是倒序）这实质上是我们数学中一种求和的重要方法这实质上是我们数学中一种求和的重要方法倒序相加法倒序相加法上页上页下页下页 若若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面

9、一层一层都比它下面一层多放一支，最上面多放一支，最上面一层有很多支铅笔，一层有很多支铅笔，老师说有老师说有n支。问：支。问：这个这个V形架上共放形架上共放着多少支铅笔？着多少支铅笔？ 创设情景创设情景问题就是：问题就是：1 2 3 (n-1) n若用首尾配对相加法，需要分类讨论若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形三角形平行四平行四边形边形上页上页下页下页nn) 1(321计算：2) 1() 1(321nnnnn (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前前n项和项和呢？前前n项和项和) 1() 1(3212nnnn分析：这分析：这其实是求其实是

10、求一个具体一个具体的等差数的等差数列前列前n项项和和.上页上页下页下页123nnSaaaa12()nnSn aa 1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又问题分析问题分析已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数，项数是是n，第，第n项为项为如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？121nnnnSaaaa1()2nnn aaS即上页上页下页下页求和公式求和公式1()2nnn aaS等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言；11 ,naand由于1(1)2nn nSn

11、ad故（2）公式的特点；）公式的特点；不含不含d可知三可知三求一求一1(1)2nn nSnad等差数列的等差数列的前前n项和等项和等于于首末两项首末两项的和与项数的和与项数乘积的一半乘积的一半。上页上页下页下页 dnnnaSn2)11 （dnaan)1(1 上页上页下页下页公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an1()2nnn aaS上页上页下页下页公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.a1(n-1)dna1an将图

12、形分割成一个平行四边形和一个三角形将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.1(1)2nn nSnad上页上页下页下页公式应用公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550 1()12nnn aaS解：10 (595)2500 1(1)22nn nSnad解：50 (50 1)50 100-222550上页上页下页下页例例1 1、计算、计算（1 1） 5+6+7+79+80（2 2） 1+3+5+1+3+5+ +（2 2n-1-1）（3 3）1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+

13、+（2 2n-1-1）-2-2n-n例题讲解例题讲解n2 135+ 21n2 解：22nn2n 135+ 212+4+6+2nn3 解：原式21nn n1212nnn 3230提示：提示：n=76法二：法二：1212222nnnn上页上页下页下页 例例2 2 在等差数列在等差数列aan n 中，中， 已知已知 ，求求S S7.7.4053 aa1777()74014022aaS+=例题讲解例题讲解上页上页下页下页例题讲解例题讲解 例例3 3、20002000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中小关于在中小学实施学实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市据此提出了实

14、，某市据此提出了实施施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万元。万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加上一年增加5050万元。那么，从万元。那么，从20012001年起的未来年起的未来1010年内，年内，该市在该市在“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？分析：分析：找

15、关键句；找关键句；求什么，如何求；求什么，如何求；解：由题意，该市在解：由题意，该市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的资金构成等差数列的资金构成等差数列an，且，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来故，该市在未来10年内的总投入为：年内的总投入为：101010 110 5005072502S万元答答上页上页下页下页变式练习变式练习 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的

16、瓦解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列片数构成等差数列an，且，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：于是，屋顶斜面共铺瓦片：191919 119 2115702S 块答：屋顶斜面共铺瓦片答：屋顶斜面共铺瓦片570块块.上页上页下页下页100,7*mNnnmmM且1007 n72147100nnM71a9814a7352)987(14nS例例4求集合求集合 的元素个的元素个数，数，并求这些元素的和并求这些元素的和.解：解：由由 得得正整数正整数 共有共有14个即个即 中共有中共有14个元素个元素即：即：7，14，21，98 是以是以 为首项，为首项，以以 为末项

17、的等差数列为末项的等差数列.例题讲解例题讲解上页上页下页下页课堂练习课堂练习答案答案: 27练习练习1、练习练习2、等差数列10，6，2，2，的前_项的和为54？ na在等差数列中，120,54,999,.nnaaSn求答案答案: n=9，或，或n=-3（舍去）（舍去）14,541042n ndn 提示：20+549992n提示：仍是仍是知三知三求一求一上页上页下页下页练习练习3 已知一个共有已知一个共有n项的等差数列项的等差数列前前4项之和为项之和为26,末四项之和为末四项之和为110,且所有项的和为且所有项的和为187，求，求n.课堂练习课堂练习上页上页下页下页，1010010010SS=

18、练习练习4 4 在等差数列在等差数列aan n 中，中， 求求 . .110S课堂练习课堂练习上页上页下页下页知识打包知识打包 存放备用存放备用an=a1+(n-1)d对于对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，五个量，“知三求二知三求二”.2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1方程方程(组组)思想思想(待定系数法待定系数法)倒序求和法倒序求和法 掌握与应用掌握与应用上页上页下页下页课堂小结课堂小结 1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式； 2 2等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法倒序相加法；倒序相加法； 3.3.在两个求和公式中在两个求和公

19、式中,各有五个元素各有五个元素,只要只要知道其中三个元素知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另结合通项公式就可求出另两个元素两个元素.上页上页下页下页（两个）（两个）1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad2.3 2.3 等差数列的等差数列的 前前n n项和（二）项和（二）上页上页下页下页1.等差数列前等差数列前n项和项和Sn公式的推导公式的推导2.等差数列前等差数列前n项和项和Sn公式：公式：an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1 2)(1nnaanS -倒序相加法倒序相加法上页上页下页下页3.3.深入研究等差数列的概念与前深入研究等差数列的概念与前n n项和公项和公式及

20、通项公式的内在联系，可发掘出等式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究简单探究. .上页上页下页下页上页上页下页下页 1. 1.将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？2) 1(1dnnnaSn当当d0d0时，时，S Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数探究探究上页上页下页下页例例1. 已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为,212nnSn 求这个数列的通项公式求这个数列的通项公式. 这个数列这个数列是等差

21、数列吗是等差数列吗?如果是，它的首项如果是，它的首项与公差分别是什么与公差分别是什么?例题讲解例题讲解上页上页下页下页2.2. 若数列若数列aan n 的前的前n n项和是项和是S Sn npnpn2 2qnqn， 那么数列那么数列aan n 是等差数列吗？是等差数列吗？aan n 是等差数列是等差数列 S Sn npnpn2 2qnqn. .探究探究若若S Sn npnpn2 2qnqnr r呢？呢？上页上页下页下页3.3. 若数列若数列aan n 为等差数列，那么数列为等差数列，那么数列 是什么数列？是什么数列？nSn探究探究aan n 是等差数列是等差数列 是等差数列是等差数列nSn上页

22、上页下页下页例题讲解例题讲解例例2、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，由此可以确定，由此可以确定求其前求其前n项和的公式吗？项和的公式吗？解：由于解：由于S10310，S201220，将它们代，将它们代入公式入公式1(1)2nn nSnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nSnnn 上页上页下页下页例题讲解例题讲解例例2、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，由此可以确定，由此可以确定求其

23、前求其前n项和的公式吗？项和的公式吗？1101011010()310622aaSaa1202012020()12201222aaSaa201060aa1060d6d14a 21132nn nSa ndnn（）另解： 两式相减得上页上页下页下页4.4.在等差数列在等差数列aan n 中，中，S Sn n，S S2n2n- S- Sn n ，S S3n3n-S-S2n2n构成一个怎样的数列？构成一个怎样的数列？S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n) )探究探究;,2232dnSSSSSnadnnnnnn公差为仍成等差数列，项之和中依次每的等差数列公差为上页上页下页下页30113030 2

24、9602Sad10.55:0.1ad解得例例例题讲解例题讲解上页上页下页下页309003030(30)60SABAB10010103024002030ABABAB解得例题讲解例题讲解上页上页下页下页解法三：解法三：设设a1+a2+a10=A， a11+a12+a20=B，a21+a22+a30=C，则则A，B，C成等差数列，成等差数列，且且A=10，A+B=30,解得解得B=20，所以所以C=30，S30=A+B+C=60.例题讲解例题讲解上页上页下页下页 等差数列等差数列an中中, S4=1,S8=4,求求a9+a10+a11+a12=5练习练习2.3 2.3 等差数列的等差数列的 前前n

25、n项和（三）项和（三）上页上页下页下页上页上页下页下页当当d0d0时，时，S Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数1 1、对于一个等差数列、对于一个等差数列aan n 的前的前n n项和而言项和而言aan n 是等差数列是等差数列 S Sn npnpn2 2qnqn. .2 2、aan n 是等差数列是等差数列 是等差数列是等差数列nSn3 3、上页上页下页下页;,42232dnSSSSSnadnnnnnn公差为仍成等差数列，项之和中依次每的等差数列公差为S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n) )上页上页下页下页上页上页下页下页 S S1 1S S2 2ndnd， 1

26、12nnaSSa+=5. 5. 在等差数列在等差数列aan n 中，设中，设 S S1 1a a2 2a a4 4a a2n2n， S S2 2a a1 1a a3 3a a2n2n1 1， 则则 S S1 1S S2 2 与与 分别等于什么？分别等于什么？12SS探究探究上页上页下页下页.,)(),21112*nnnnnnnaaSSndSSaaaanSNnn奇偶奇偶且为中间两项）则（若等差数列的项数是如果将项数改为奇如果将项数改为奇数项，即数项，即2n-12n-1，那，那么结论会怎样呢？么结论会怎样呢？.1,()12(),1212*nnSSaSSaanSNnnnnnn奇偶偶奇且为中间项）则（

27、若等差数列的项数是上页上页下页下页 例例4 4 设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为2 2， 且且 求求 的值的值. .1479750aaaa36999aaaa-82-82例题讲解例题讲解上页上页下页下页6.6.设等差数列设等差数列aan n 、bbn n 的前的前n n项和项和 分别为分别为S Sn n、T Tn n，则，则 等于什么？等于什么？2121nnnnaSbTnnab探究探究上页上页下页下页例例5 5 设等差数列设等差数列aan n 、bbn n 的前的前n n项项 和分别为和分别为S Sn n、T Tn n，若，若 ， 求求 的值的值. .231nnSnTn88ab1

28、523例题讲解例题讲解上页上页下页下页例例6己知等差数列己知等差数列 5, 4 , 3 , 的前的前n项和为项和为Sn, 求使得求使得Sn最大的序号最大的序号n的值的值.7274例题讲解例题讲解上页上页下页下页解解:由题意知由题意知,等差数列等差数列5, 4 , 3 , 的公差的公差为为 ,所以所以sn= 25+(n-1)( ) = = ( n- )2+ 75727475145752nn 1452155611252n于是，当于是，当n取与取与15/2最接近的整数最接近的整数7或或8时，时，Sn取得最大值。取得最大值。上页上页下页下页7、等差数列前等差数列前n项和的最值问题有两种方法：项和的最值

29、问题有两种方法：探究探究(1) 当当an0，d0，前，前n项和有项和有最大值最大值. 可由可由an0，且，且an1 0，求得，求得n的值；的值；当当an0，d0，前，前n项和有项和有最小值最小值. 可由可由an0，且，且an10，求得，求得n的值的值. (2) 由由 ndandSn)2(212 数数配方法配方法求得最值时求得最值时n的值的值.利用二次函利用二次函上页上页下页下页课堂练习课堂练习1 1(1)(1)已知等差数列已知等差数列aan n 的的a an n24243n3n，则，则前多少项和最大？前多少项和最大？(2)(2)已知等差数列已知等差数列bbn n 的通项的通项b bn n2n-

30、17,2n-17,则则前多少项和最小前多少项和最小? ?2. 2. 数列数列aan n 是首项为是首项为a a1 100的等差数列的等差数列, ,又又S S9 9= S= S1212. .问数列的前几项和最小问数列的前几项和最小? ?3已知等差数列已知等差数列an,满足满足an=404n ,求前多少项的和最大求前多少项的和最大?最大值是多少最大值是多少?上页上页下页下页课堂小结课堂小结上页上页下页下页当当d0d0时，时，S Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数1 1、对于一个等差数列、对于一个等差数列aan n 的前的前n n项和而言项和而言aan n 是等差数列是等差数列 S

31、 Sn npnpn2 2qnqn. .2 2、aan n 是等差数列是等差数列 是等差数列是等差数列nSn3 3、上页上页下页下页;,42232dnSSSSSnadnnnnnn公差为仍成等差数列，项之和中依次每的等差数列公差为S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n) )课堂小结课堂小结上页上页下页下页.,)(),251112*nnnnnnnaaSSndSSaaaanSNnn奇偶奇偶且为中间两项）则（若等差数列的项数是.1,()12(),1212*nnSSaSSaanSNnnnnnn奇偶偶奇且为中间项）则（若等差数列的项数是课堂小结课堂小结上页上页下页下页6.6.设等差数列设等差数列aa

32、n n 、bbn n 的前的前n n项和项和 分别为分别为S Sn n、T Tn n，则，则2121nnnnaSbT课堂小结课堂小结上页上页下页下页7、等差数列前等差数列前n项和的最值问题有两种方法：项和的最值问题有两种方法：(1) 当当an0，d0，前，前n项和有项和有最大值最大值. 可由可由an0，且，且an1 0，求得，求得n的值；的值；当当an0，d0，前，前n项和有项和有最小值最小值. 可由可由an0，且，且an10，求得，求得n的值的值. (2) 由由 ndandSn)2(212 数数配方法配方法求得最值时求得最值时n的值的值.利用二次函利用二次函课堂小结课堂小结2.3 2.3 等

33、差数列的等差数列的 前前n n项和（四）项和（四）上页上页下页下页1.1.等差数列的定义特征等差数列的定义特征从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数于同一个常数. .或an1an12 an(n2).2.2.等差数列的递推公式等差数列的递推公式anan1 d (n2).上页上页下页下页3.3.等差数列的通项公式等差数列的通项公式ana1( (n1) )dam( (nm) )dpnq. .4.4.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式11()(1)22nnn aan ndSna+-=+上页上页下页下页5.5.等差数列的主要性质等差数列的主要性质（1 1）若数列）若数列aan n 、bbn n 都是等差数列，都是等差数列，则数列则数列papan n ，aan na an n1 1 ，aan nb bn n ，aan nb bn n 也是等差数列也是等差数列. .（3 3）aan n 是等差数列是等差数列 S Sn npnpn2 2qnqn. .(2)mnpq amanapaq. 上页上页下页下页;,)5(2232dnSSSSSnadnnnnnn公差为仍成等差数列，项之和中依次每的等差数列公差为S S3n3n3(S3(S2n2nS S