研究生数学-数值计算试题库（证明题）

1、数值计算试题库（证明题）1、 （本题10分） 证明求积公式具有三次代数精度，其中是正常数。2、 （5分）设，证明由公式，得到的序列收敛于。3、 （5分）证明计算的切线法迭代公式为 ， 4、（10分） 证明向量的范数满足不等式 （1） (2)5、证明题（本题10分）设 ，证明对任意的有：.6、 (10分) 证明: 方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛.7、（10分）证明定积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度 8、（10分） 设 （1） 写出解 的Newton迭代格式（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 9、（10分） 设R=ICA，如果 ，证明： （1）A、C都是非奇异的矩阵（2） 参考答

2、案1、证明：（本题10分）（1）当时，左边右边 （2分）（2）当时，左边右边 （4分）（3）当时，左边右边（4）当时，左边右边（5）当时，左边， 右边 （8分）所以，该求积公式具有三次代数精度。 （10分）2、（5分）证明 由公式和两式相减得···所以有：3、（5分）证明 因为计算等同于求方程的正根，令，代入切线法迭代公式得：，···4、 证明题（共10分）证明（1）设是向量的分量，则，所以由向量范数的概念可知，结论成立。 5分（2）由 所以结论成立。 10分5、 证明题（共10分）证明:f (1, 2) = f (1) f (2)/

3、 (1 2)= 0 0/ (-1)= 0,对任意的x有f (2, x) = f (2) f (x)/ (2 x)= 0 (x-1) (x-2)/ (2 x)= (x-1),所以 f (1, 2, x) = f (1, 2) - f (2, x)/ (1 x)= 0 - (x-1)/ (1 x)= 16、 (10分) 证明: 方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛.证明 Jacobi迭代法的迭代矩阵为 （3分）的特征多项式为 （6分）的特征值为，故，因而Jacobi迭代法不收敛。 （10分）7、（10分）证明：当时，公式左边：      

4、;                     公式右边：       左边=右边 （1分）当时            左边：          

5、;               右边： 左边=右边 （2分）当时             左边：                     &

6、#160;   右边： 左边=右边 （2分）当时             左边：                         右边： 左边=右边 （2分）当时             左边： 右边： （2分）故具有三次代数精度。 （1分）8、（10分）证明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式：（3分）n=0,1, 得 ，n=0,1, （5分） （2）因迭代函数 ，而 ， （7分）又 ，则 （10分）故此迭代格式是线性收敛的。 （1分）9、（10分）证明：（1）因 ，所以IR非奇异，因IR=CA，所以C，A都是非奇异矩阵 （3分）（2）