第3讲　机械能守恒定律及其应用 讲义

1、.第3讲机械能守恒定律及其应用见学生用书P076微知识1 机械能1重力做功的特点重力做功与运动途径无关，只与初末位置的高度差有关，大小：WGmgh。2重力势能1概念：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。公式：Epmgh。2重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。3重力势能是物体和地球共有的。重力势能具有相对性，重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选择无关。4重力做功与重力势能变化的关系：重力做正功时，重力势能减少；重力做负功时，重力势能增加；重力做多少正负功，重力势能就减少增加多

2、少，即WGEp。3弹性势能1概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。2大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。3弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。即弹簧恢复原长过程中弹力做正功，弹性势能减少，形变量变大的过程中弹力做负功，弹性势能增加。微知识2 机械能守恒定律1内容在只有重力或弹簧的弹力做功的物体系统内，动能与重力势能或弹性势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。2表达式：Ek1Ep1Ek2Ep2。3机械能守恒的条件对单个物体，只有重力做功；对系统，只有重力或系统内的弹簧弹力做功。一、思维辨析

3、判断正误，正确的画“，错误的画“×。1被举到高处的物体的重力势能一定不为零。×2重力做正功物体的重力势能反而是减小的。3弹簧弹力做正功时，弹性势能增加。×4物体受到的合外力为零，物体的机械能一定守恒。×5物体除受重力外还受其他力作用，但其他力不做功，那么物体的机械能一定守恒。二、对点微练1重力做功与重力势能变化的关系将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，以下说法正确的选项是取g10 m/s2A重力做正功，重力势能增加1.0×104 JB重力做正功，重力势能减少1.0×104 JC重力做负功，重力势能增加1.

4、0×104 JD重力做负功，重力势能减少1.0×104 J解析WGmgh1.0×104 J，EpWG1.0×104 J，C项正确。答案C2弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系如下图，在光滑程度面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，以下说法正确的选项是A弹簧的弹性势能逐渐减少B物体的机械能不变C弹簧的弹性势能先增加后减少D弹簧的弹性势能先减少后增加解析因弹簧左端固定在墙上，右端与物体连接，故撤去F后，弹簧先伸长到原长后，再被物体拉伸，其弹性势能先减少后增

5、加，物体的机械能先增大后减小，故D项正确，A、B、C项错误。答案D3对机械能守恒的理解多项选择以下关于机械能是否守恒的阐述，正确的选项是A做变速曲线运动的物体，机械能可能守恒B沿程度面运动的物体，机械能一定守恒C合外力对物体做功等于零时，物体的机械能一定守恒D只有重力对物体做功时，机械能一定守恒解析判断机械能是否守恒，就要根据机械能守恒的条件来分析。要看是不是只有重力或系统内弹簧的弹力做功，而不是看物体如何运动。物体做变速曲线运动，机械能可能守恒，如平抛运动，A项对；合外力做功为零，只是动能不变，势能的变化情况不确定，机械能不一定守恒，如物体匀速下落，机械能减少，C项错；沿程度面运动的物体，重

6、力势能不变，假如不是匀速，动能发生变化，机械能就不守恒，B项错；只有重力对物体做功时，机械能一定守恒，D项对。答案AD4机械能守恒定律的简单应用在同一位置以一样的速率把三个小球分别沿程度、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，那么落在同一程度地面时的速度大小A一样大B程度抛的最大C斜向上抛的最大D斜向下抛的最大解析不计空气阻力，小球在空中只受重力作用，机械能守恒。抛出时高度、速度大小相等，落地时速度大小一定相等。答案A见学生用书P076微考点1机械能守恒的判断核|心|微|讲机械能守恒的判断方法1利用机械能的定义判断直接判断：假设物体动能、势能均不变，那么机械能不变。假设一个物体动能不变、重力势

7、能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加减小，其机械能一定变化。2用做功判断：假设物体或系统只有重力或弹簧的弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。3用能量转化来判断：假设物体或系统中只有动能和势能的互相转化而无机械能与其他形式的能的转化，那么物体或系统机械能守恒。4对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。典|例|微|探【例1】多项选择如下图，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一程度面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小

8、球由A点摆向最低点B的过程中，以下说法正确的选项是A小球的机械能守恒B小球的机械能减少C小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D小球和弹簧组成的系统机械能守恒【解题导思】1假设以小球为研究对象，其机械能守恒吗？答：不守恒，对小球不只有重力做功，还有弹簧弹力对其做功，其机械能发生变化。2假设以小球和弹簧整体为研究对象，机械能守恒吗？答：守恒，对小球和弹簧整体，有重力和弹簧弹力做功，小球动能、重力势能和弹簧弹性势能互相转化，但总机械能不变。解析小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，应选项A错误，B项正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所

9、以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，应选项C错误，D项正确。答案BD【易错警示】1机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零。“只有重力做功不等于“只有重力作用。2分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统。题|组|微|练1.如下图，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于程度面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，那么在小球从释放到落至地面的过程中，以下说法正确的选项是A斜劈对小球的弹力不做功B斜劈与小球组成的系统机械能守恒C斜劈的机械能守恒D小球重力势能减小量等于斜劈动能的增加量解析不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈

10、组成的系统只有小球重力做功，系统机械能守恒，小球重力势能减小量等于斜劈和小球动能的增量之和，A、C、D项错。应选B项。答案B2.一轻质弹簧，固定于天花板上的O点处，原长为L，如下图，一个质量为m的物块从A点竖直向上抛出，以速度v与弹簧在B点相接触，然后向上压缩弹簧，到C点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，那么以下说法正确的选项是A由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变B由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变C由A到C的过程中，物块m的机械能守恒D由B到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒解析物块由A到C的过程中，只有重力、弹簧弹力做功，因此物块与弹簧组成的系统机械能守恒，由A到

11、B的过程中，弹性势能不变，物块动能与重力势能之和不变，但物块由B到C的过程中，弹性势能增大，物块的机械能减小，重力势能增大，弹性势能与动能之和减小，故只有D项正确。答案D微考点2单个物体的机械能守恒问题核|心|微|讲1机械能守恒问题的各种表达形式形式表达式意义最合适的研究对象守恒形式mghmv2mghmv2运动过程中初、末两状态的机械能相等单个物体转化形式EpEk动能的增加量等于势能的减少量一个或多个物体转移形式EAEBA物体增加的机械能等于B物体减少的机械能两个物体特别提醒用“守恒形式时，需要规定重力势能的参考平面。用“转化形式和“转移形式时那么不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变

12、量与参考平面的选取没有关系。2解题步骤1确定研究对象和研究过程。2判断机械能是否守恒。3选定一种表达式，列式求解。典|例|微|探【例2】如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开场自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。1求小球在B、A两点的动能之比。2通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。【解题导思】1小球由静止开场经A到B的过程中有哪些力做功？小球的机械能守恒吗？答：只有重力做功，机械能守恒。2假设小球能到达C点，在C点小球受力又如何？答：假设小球到达C点，在C点时满足N0。解析1设小球

13、的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkAmg，设小球在B点的动能为EkB，同理有EkBmg，由式得5。2假设小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N0。设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有Nmgm，由式得，vC应满足mgm，由机械能守恒有mgmv，由式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。答案152恰好运动到C点题|组|微|练3一小球以初速度v0竖直上抛，它能到达的最大高度为H，如图的几种情况中，小球不可能到达高度H的是忽略空气阻力A以初速度v0沿光滑斜面向上运动图甲B以初速度v0沿光滑的抛物线轨道，从最低点向上运动图乙C以初速度v

14、0沿半径为R的光滑圆轨道，从最低点向上运动图丙，HRD以初速度v0沿半径为R的光滑圆轨道，从最低点向上运动图丁，RH解析四种情况中只有C中到达最大高度时速度不能为零，故不能到达高度H。答案C4多项选择由光滑细管组成的轨道如下图，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m的小球，从间隔 程度地面高为H的管口D处由静止释放，最后可以从A端程度抛出落到地面上。以下说法正确的选项是A小球落到地面时相对于A点的程度位移值为2B小球落到地面时相对于A点的程度位移值为2C小球能从细管A端程度抛出的条件是H>2RD小球能从细管A端程度抛出的最小高度HminR解析要使小球

15、从A点程度抛出，那么小球到达A点时的速度v>0，根据机械能守恒定律，有mgHmg·2Rmv2，所以H>2R，应选项C正确，选项D错误；小球从A点程度抛出时的速度v，小球分开A点后做平抛运动，那么有2Rgt2，程度位移xvt，联立以上各式可得程度位移x2 ，选项A错误，选项B正确。答案BC微考点3多个物体组成系统的机械能守恒的应用核|心|微|讲1对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。2注意寻找用绳或杆连接的物体间的速度关系和位移关系。3列机械能守恒方程时，一般选用EkEp的形式。典|例|微|探【例3】多项选择如下图，在倾角30°的光滑

16、固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L0.2 m的轻杆相连，小球B距程度面的高度h0.1 m。两球从静止开场下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2，那么以下说法正确的选项是A下滑的整个过程中A球机械能守恒B下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒C两球在光滑程度面上运动时的速度大小为2 m/sD下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J【解题导思】1以A、B整体为研究对象，机械能守恒吗？答：机械能守恒。2以A或B为研究对象，其机械能守恒吗？答：不守恒。解析当小球A在斜面上、小球B在平面上时杆分别对A、B做功，因此

17、下滑的整个过程中A球机械能不守恒，而两球组成的系统机械能守恒，A项错误，B项正确；从开场下滑到两球在光滑程度面上运动，利用机械能守恒定律可得mAgLsin30°hmBghmAmBv2，解得v m/s，C项错误；下滑的整个过程中B球机械能的增加量为EmBv2mBgh J，D项正确。答案BD题|组|微|练5如下图，把小车放在光滑的程度桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，小车的质量为M，小桶与沙子的总质量为m，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h的过程中，假设不计滑轮及空气的阻力，以下说法正确的选项是Am处于完全失重状态B轻绳对小车的拉力等于mgC小桶获得的动能为D

18、运动中小车的机械能增加，M和m组成系统机械能不守恒解析小车从静止释放后，以m为研究对象，有mgTma，以M为研究对象，有TMa，解得a、T，选项A、B错误；由v22ah及Ekmv2可知，下落h的过程中小车获得的动能为Ekmah，选项C正确；因为不计滑轮及空气阻力且程度桌面光滑，所以运动过程中无机械能损失，故M和m组成的系统机械能守恒，选项D错误。答案C6多项选择如下图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑程度地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开场运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，那么Aa落地前，轻杆对b一直做正功Ba落地时速度大小为

19、Ca下落过程中，其加速度大小始终不大于gDa落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg解析设轻杆与竖直杆夹角为，某一时刻a、b速度分别为va、vb，那么vacosvbsin。当a落到地面时，90°，cos0，故vb为0，可知a下落过程中b先加速后减速，轻杆对b先做正功后做负功，A项错误；轻杆对a的力先为支持力后为拉力，故a的加速度先小于g后大于g，C项错误；由于a、b系统只有重力做功，故a、b机械能守恒，a落地时b速度为零，由机械能守恒定律得mghmv，得va，B项正确；当a机械能最小时，b的机械能最大，即动能最大，此时F杆0，故Nmg，D项正确。答案BD见学生用书P078

20、与弹簧有关的机械能守恒问题素能培养对两个或两个以上物体与弹簧组成的系统在互相作用的过程中，在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，假设系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。假设还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能改变量。做功之和为正，系统总机械能增加，反之减少。在互相作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长或压缩至最短时，两端的物体具有一样的速度，弹性势能最大。如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度如绷紧的弹簧由静止释放。经典考题轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面

21、上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧程度放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的程度轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如下图。物块P与AB间的动摩擦因数0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开场沿轨道运动。重力加速度大小为g。1假设P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它分开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的间隔 。2假设P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。解析1依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零

22、，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能Ep5mgl，设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得EpMvMg·4l，联立式，取Mm并代入题给数据得vB。假设P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足mg0，设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得mvmvmg·2l，联立式得vD。vD满足式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD程度射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得2lgt2，P落回到AB上的位置与B点之间的间隔 为svDt，联立式得s2l。2为使P能

23、滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由式可知5mgl>Mg·4l，要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道上的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有MvMgl，联立式得mM<m。答案12l2mM<m对法对题1如下图，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与程度状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开场下滑，弹簧原长为L，圆环下滑到最大间隔 时弹簧的长度变为2L未超过弹性限度，那么在圆环下滑到最大间隔 的过程中A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了mgLC圆环下滑到最大间隔 时，所受合力为零D圆环重力势能与

24、弹簧弹性势能之和保持不变解析在圆环下滑过程中拉伸弹簧，圆环的部分机械能转化为弹簧的弹性势能，圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，A项错误；由于系统机械能守恒，在圆环运动到最低点时圆环减小的重力势能全部转化成弹簧的弹性势能，EpmgL，B项正确；圆环刚开场运动时合力向下，加速下滑，当合力为零时速度最大，在最低点速度减小到零，合力方向应向上，C项错误；下滑过程中，圆环先加速后减速，动能一直改变，因此圆环重力势能与弹簧弹性势能之和也改变，D项错误。答案B2多项选择如下图，一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，C、D为圆的程度直径两端点。轻质弹簧的一端固定在圆心O点，另一

25、端与小球拴接，弹簧的劲度系数为k，原长为L2R，弹簧始终处于弹性限度内，假设给小球一程度初速度v0，重力加速度为g，那么A无论v0多大，小球均不会分开圆轨道B假设<v0<那么小球会在B、D间脱离圆轨道C只要v0>2，小球就能做完好的圆周运动D只要小球能做完好圆周运动，那么小球与轨道间的最大压力与最小压力之差与v0无关解析因弹簧的劲度系数为k，原长为L2R，所以小球始终会受到弹簧的弹力作用，大小为FkLRkRmg，方向始终背离圆心，无论小球在CD以上的哪个位置速度为零，重力在沿半径方向上的分量都小于等于弹簧的弹力在CD以下，轨道对小球一定有指向圆心的支持力，所以无论v0多大，小

26、球均不会分开圆轨道，选项A正确，选项B错误；小球在运动过程中只有重力做功，弹簧的弹力和轨道的支持力不做功，机械能守恒，当运动到最高点速度为零，在最低点的速度最小，有mv2mgR，解得v02，所以只要v02，小球就能做完好的圆周运动，选项C正确；在最低点时，设小球受到的支持力为N，有NkRmg，解得N2mgm。运动到最高点时受到轨道的支持力最小，设为N，设此时的速度为v，由机械能守恒有mv2mgRmv2，此时合外力提供向心力，有NkRmgm，联立解得Nm4mg，联立得压力差为N6mg，与初速度无关，选项D正确。答案ACD见学生用书P0791. 多项选择如下图，A物体用板托着，细绳跨过轻质光滑定滑

27、轮与A、B相连，绳处于绷直状态，A、B的质量分别为2m和m。现将板抽走，那么A下落一段间隔 的过程中AA物体减少的机械能大于B物体增加的机械能BA物体减少的机械能等于B物体增加的机械能C悬挂滑轮的绳子对天花板的拉力大于3mgD悬挂滑轮的绳子对天花板的拉力小于3mg解析对A、B组成的系统，没有机械能与其他形式能的转化，因此系统的机械能守恒，A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能，A项错误，B项正确；对滑轮受力分析，根据平衡条件得F2T，对A、B整体受力分析，根据牛顿第二定律得2mgmg3ma，对B物体受力分析得Tmgma，联立得F2Tmg，C项错误，D项正确。答案BD2. 多项选择如下图，光滑半球的半径为R，球心为O，固定在程度面上，其上方有一个光滑曲面轨道AB，高度为。轨道底端程度并与半球顶端相切，质量为m的小球由A点静止滑下，最后落在程度面上的C点，重力加速度为g，那么A小球将沿半球外表做一段圆周运动后抛至C点B小球将从B点开场做平抛运动到达C点COC之间的间隔 为2RD小球运动到C点的速率为解析小球从A到B的过程