选修1-1综合水平测试1

1、.选修11综合水平测试(一)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1“m>3”是“曲线mx2(m2)y21为双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析曲线1表示双曲线，则·>0，即m(m2)>0，所以m>2或m<0.故选A.2下列说法错误的是()A若a，bR，且ab>4，则a，b至少有一个大于2B“x0R,2x01”的否定是“xR,2x1”Ca>1，b>1是ab>1的必

2、要条件D在ABC中，A是最大角，则sin2A>sin2Bsin2C是ABC为钝角三角形的充要条件答案C解析若a，b都不大于2，即a2，b2，则ab4，所以若ab>4，则a，b中至少有一个大于2，选项A正确；特称命题的否定是全称命题，根据特称命题否定的规则可知选项B正确；若a>1，b>1，则ab>1，当a1，b2时，ab>1，但是不满足“a>1，b>1”，所以a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件，选项C错误；在ABC中，sin2A>sin2Bsin2Ca2b2c2cosA<0，则A为钝角，又A是最大角，所以若ABC

3、是钝角三角形，则A为钝角，D正确3若函数f(x)x3f(1)·x2x，则f(1)的值为()A0 B2 C1 D1答案A解析f(x)x22f(1)·x1，则f(1)122f(1)·11，解得f(1)0.4设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy30垂直，则a()A2 B2 C. D答案B解析函数的导函数为y，所以函数在(3,2)处的切线斜率为k，直线axy30的斜率为a，所以a·1，解得a2，选B.5双曲线y21的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为()A. B. C. D1答案A解析根据双曲线的对称性，可求双曲线y21的右顶点(2,0)到一条渐近线x2y

4、0的距离为.6yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D.或答案C解析依题意，y(x1)24当a1时，函数y(x1)24在a,2上的最大值为4，不合题意当a>1时，且在xa时，y最大a22a3.解得a或a(舍去)所以a.故选C.7在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9，则p()A2 B4 C5 D8答案B解析由圆的面积等于9，得OFM外接圆的半径r3.由题意可得，圆心到焦点F的距离等于圆心到准线的距离，都等于圆的半径，所以圆心在抛物线C上，根据外接圆圆心的特点

5、，可知外接圆圆心在线段OF的垂直平分线上，所以圆心，所以半径r3，解得p4.8定义在R上的可导函数f(x)，已知yef(x)的图象如图所示，则yf(x)的增区间是()A(，1)B(，2)C(0,1)D(1,2)答案B解析由题中图象知当x<2时，ef(x)1，即f(x)0时，x2，yf(x)的增区间为(，2)9设F1，F2是椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析由题意，可以得出PF2F1F2，PF1F230°.设直线x与x轴的交点为A，则在F2PF1

6、中，PF22c，PF2A60°，则F2Acc，即c，所以椭圆C的离心率e.10已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a等于()A9 B6 C9 D6答案D解析y4x32ax，由导数的几何意义知在点(1，a2)处的切线斜率ky|x142a8，解得a6.11把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为()A1 B2 C12 D21答案D解析设圆柱高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积V2x(x312x236x)(0<x<6)，V(x2)(x6)当x2时，V最大，此时底面周长为6x4，(6x)x4221.12已知一

7、抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且它的焦点F是椭圆1的右顶点，经过点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长度为()A. B5 C. D.答案D解析依题意，抛物线的焦点为F(2,0)，则抛物线方程为y28x.直线AB的倾斜角为，斜率为，故方程为y(x2)，联立方程消去y，得3x220x120.可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，所以由抛物线的焦点弦长公式，得|AB|x1x244，故选D.第卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13命题“xR,2x23ax9<0”为假命题，则实数a的取值范围是_答案

8、2，2解析xR,2x23ax9<0为假命题，xR,2x23ax90为真命题，9a24×2×90，即a28，2a2.14已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率e是_答案解析ABF2是正三角形，|AF1|F1F2|，将xc代入椭圆方程1得A或A，从而×2c，即a2c2×2ac，整理得e2e10，解之得e或，又e(0,1)得e.15直线ya与函数f(x)x33x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是_答案(2,2)解析令f(x)3x230，得x±1，可求得f(

9、x)的极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图所示，2<a<2时，恰有三个不同公共点16以下四个关于圆锥曲线的命题：设A，B为两个定点，k为正常数，|PA|PB|k，则动点P的轨迹为椭圆；双曲线1与椭圆x21有相同的焦点；方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A，B满足3，则弦AB的中点P到准线的距离为.其中真命题的序号为_答案解析由椭圆的定义知，只有当k>|AB|时，点P的轨迹才是椭圆，是假命题；双曲线1的焦点坐标是(±，0)，椭圆x21的焦点坐标是(0，±)，是假命题；方程2x25x20的两根

10、，2可以分别作为椭圆和双曲线的离心率，是真命题；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得则弦AB的中点到准线x1的距离为1，是真命题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线1的离心率e，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围解若p真，则有9m>2m>0，即0<m<3.若q真，则有m>0，且e211，即<m<5.若p，q中有且只有一个为真命题，则p，q一真一假若p真、q假，则0<m<3，且m5或m，即0<

11、m；若p假、q真，则m3或m0，且<m<5，即3m<5.故所求范围为：0<m或3m<5.18(本小题满分12分)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)当a 时，讨论f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a时，f(x)x33x23x1，f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.当x(，1)时，f(x)>0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f(x)<0，f(x)在(1，1)上是减函数；当x(1，)时，f(x)>0，f(x)在(1，)上是增函数(2)由f(2)0，得a.当a，x(2，)

12、时，f(x)3(x22ax1)33(x2)>0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.19(本小题满分12分)已知抛物线C：y22px(p>0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，已知点N(2，m)为抛物线C上一点，且|NF|4.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过点F交抛物线C于不同的两点A，B，交y轴于点M，且a，b(a，bR)，对任意的直线l，ab是否为定值？若是，求出ab的值；若不是，说明理由解(1)因为|NF|4，由抛物线的定义知xN4，即24，p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)显然直线l的斜率存在且一定不

13、等于零，设其方程为xty2(t0)，则直线l与y轴交点为M.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y28ty160.所以(8t)2(64)64(t21)>0.所以y1y28t，y1y216.由a得a(2x1，y1)，所以a1，同理可得b1.所以ab221.20(本小题满分12分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？解设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15m)辆车，则总利润y5.06m0.15m22(15m)0.15m23.06m

14、30，所以y0.3m3.06，令y0，得m10.2.当0m<10.2时，y>0；当10.2<m15时，y<0.故当m10.2时，y取得极大值，也就是最大值，又由于m为正整数，且当m10时，y45.6；当m11时，y45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元21(本小题满分12分)设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a3时，求函数f(x)的极值；(2)当a>1时，讨论函数f(x)的单调性解(1)函数f(x)的定义域为(0，)当a3时，f(x)x23xln x，f(x).当<x<1时，f(x)>0，f(x)单调递增；当0<x&l

15、t;及x>1时，f(x)<0，f(x)单调递减所以f(x)极大值f(1)2，f(x)极小值fln 2.(2)f(x)(1a)xa.当1，即a2时，f(x)0，f(x)在定义域上是减函数当0<<1，即a>2时，令f(x)<0，得0<x<或x>1；令f(x)>0，得<x<1.当>1，即1<a<2时，令f(x)>0，得1<x<；令f(x)<0，得0<x<1或x>.综上，当a2时，f(x)在(0，)上是减函数；当a>2时，f(x)在和(1，)上单调递减，在上单调递增；当1<a<2时，f(x)在(0,1)和上单调递减，在上单调递增22(本小题满分12分)已知椭圆G：1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解(1)由已