选修2-1 3.1.4《空间向量的正交分解及其坐标表示》教案

1、.3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海中学 陈科钧一、教材分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书?数学?选修2-1中第三章空间向量与几何体：第一节“空间向量及其运算的第四课时；空间向量是平面向量的推广，是近代数学的一个重要工具，是联络代数、几何、三角的重要桥梁，为用空间向量解决立体几何问题做好铺垫，同时通过不断与平面向量的正交分解及根本定理进展类比学习，不断将三维空间问题向二维平面问题转化，充分表达了类比与转化思想在研究问题过程中的作用。二、教学目的1.理解空间向量根本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。2.通过类

2、比，转化，归纳，推广等思想，进步观察、分析、抽象概括的才能,进一步培养学生的空间观念。3.通过本节课学习，培养学生的积极探究，合作学习，不断创新的思维品质。三、学情分析学生在这之前已经学习了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第二章：点、直线、平面的位置关系以及第四章第四节：空间直角坐标系。已经掌握了平面向量的相关知识，空间向量的线性运算与数量积运算，同时体会到平面向量与空间向量的高度和谐性。但同时学生对向量的推广到空间还缺乏深化的考虑，思维还具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性过程认识还不到位。四、教学重点、难点重点：理解空间向量根本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示

3、。难点：理解平面向量根本定理及其意义及其证明过程任意性、唯一性、任意性。五、教学策略 1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用问题引入，启发诱导、类比探究的形式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成一般性的方法，另外恰当运用多媒体技术辅助教学，激发学生的学习兴趣，进步课堂效率。2.学法分析让学生通过观察、分析、类比，合作、总结、归纳，培养学生发现问题，分析问题、解决问题的才能，培养不断创新、追求精益求精的“工匠精神。六、教学过程一复习引入开门见山微课复习：微课展示共线向量、共面向量的表示方法，提出探究的问题“空间任一向量如何来表示飞机PO师生活动：假设某一时刻我们对空中的一架

4、飞机进展定点监测，如图，提出向量此时能否被向量表示出来？生：学生会说不可以.师：追问要想把此时飞机P定位，既向量表示出来，那我们需要如何改进呢？ 生：再添加一个向量.师：怎样添加？在地平面上任意取一个可以吗？生：不可以，向量必需与向量不在同一平面.师：换句话说，向量有什么约束条件?生：既不共面的三个设计意图：通过复习共线向量、平面向量的表示，引导学生类比到空间向量的表示；达成两点共识：可以表示；需要三个不共线的向量。二独立作图，分组探究，生成定理，定理运用1独立作图尝试1：如图1，在长方体中，请标出表示的向量.尝试2：如图2，是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，请你通过作图,尝试用向量表

5、示向量.图2图1师生活动：通过这两个问题的解决，启发，引导学生，当我们选三个两两垂直的向量去表示任意向量时，我们总是可以找到一个长方体，把放在以O为起点的三条侧棱上，把放在体对角线上.设计意图：通过作图尝试，使学生直观的体会，并能用长方体模型处理，为一般情况的提出做好铺垫.2小组探究问题1假如用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你觉得能得出怎么样的结论？问题2根据问题1的一般方法，及类比平面向量根本定理，请你尝试给出空间向量根本定理该如何表述？，同时指出空间向量根本定理与平面向量根本定理的区别问题3你觉得空间向量的根本定理有哪些注意点，改如何证明任意性、存在性、唯一性师生活动：老师先将学

6、生分成假设干组，每组假设干人；学生分组探究，组内每个学生发表自己的意见，由一名同学负责记录，每组再推选一名代表准备发言；在学生充分讨论的前提下，老师选定一个小组展示探究结果，如何将空间任意向量用给定的三个不共面向量表示作出分解图形：平行六面体模型；并且引导学生给出严谨、完好的证明；设计意图：分组讨论探究，使每个学生经历利用给定的三个不共面向量，表示空间任意向量的一般化过程，使学生对所学知识的认识从抽象到详细，从模糊到明晰。3生成定理在解决问题1的前提下，类比平面向量根本定理，引导学生归纳总结空间向量根本定理；并且观察、分析它们之间的区别与联络：注意联络有：1空间向量根本定理是平面向量根本定理的

7、推广，平面向量根本定理是空间向量根本定理的特殊情况2解决空间向量问题可转化为平面向量问题；主要区别：1基底向量的个数不同，2几何背景不同，3表达形式不同。在得到空间向量根本定理后，进一步引导学生理解基底选取的任意性问题用几何画板动态演示，在基底确定的情况下，任意向量表示的存在性问题与唯一性问题；设计意图：通过对两个定理的类比探究，小组讨论，小组展示，通过师生互动、生生互动完成对概念的辨析，从而到达共识，打破本节课的难点4定理运用例 假设9月3日大阅兵现场有两个地面测定点A、B和一个高空测定点C来测定空中直升机编队每架飞机的详细位置.O为长安街上一固定位置，O、A、B三点不共线.假设2号直升机恰

8、好位于的重心位置，试用向量表示.变式1：假设在平面内,试用表示师生活动：学生独立解决，学生上台展示解题想法，老师选择学生答复以下问题，并聆听和鼓励.设计意图：通过解决一个详细的问题，稳固空间三个不共面向量作为基底表示表示其他向量的一般化过程，同时以生活实例为背景表达了向量在实际生活的工具性作用，进步学生的学习积极性，变式的作业主要为了照应书本P88的问题2，同时为接下来解决详细的立体几何问题做铺垫。三坐标表示1.播放微课：展示单位正交基底，类比平面向量的坐标表示，给出空间向量的坐标表示，并给出当向量的起点与坐标原点重合时，点向量的终点P坐标即为.2.坐标运用：变式2：假设是一组单位正交基底，如图建立空间直角坐标系Oxyz.假设2号直升机恰好位于的重心位置G，那么向量的坐标是多少？设计意图：通过实例操作，让学生体会数学问题向量建模的思想，并且与例题前后照应，整节课一个问题的解决贯穿始终,脉络明晰.四 例题讲解例2 如图，正方体中，交平面于G，求证：G是的重心师生活动：老师选择学生答复以下问题，学生共同参与，解决问题.设计意图：通过空间向量根本定理以及平面向量的坐标表示，解决一个实际的立体几何问题，为本章学习点明重点，体会空间向量在解决立体几何问题的重要