选修2-2第2章第2节直接证明与间接证明（理）（学案含答案）

1、.年级高二学科数学版本苏教版理课程标题选修2-2第2章第2节直接证明与间接证明一、学习目的：1. 理解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；理解分析法和综合法的考虑过程、特点。2. 理解间接证明的一种根本方法反证法；理解反证法的考虑过程、特点。二、重点、难点重点：理解分析法和综合法的考虑过程、特点。难点：运用分析法、综合法进步分析问题和解决问题的才能。三、考点分析：对两种直接证明方法的考察在选择题、填空题和解答题中都有出现，单纯的考察并不常见，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出。它可以和很多知识，如函数、数列、三角函数、导数等相联络，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用

2、到其他数学知识、技能和技巧，而且还考察了运算才能，分析问题和解决问题的才能。对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进展证题思路的判断那么经常用到，有独到之处。 三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为断定一个明显成立的条件条件、定义、公理、定理等为止的证明方法。3. 假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证

3、明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。用这种方法证明一个命题的一般步骤：1假设命题的结论不成立；2根据假设进展推理，直到推理中导出矛盾为止；3断言假设不成立；4肯定原命题的结论成立。知识点一：综合法例1 对于定义域为的函数，假如同时满足以下三个条件：对任意的，总有；假设，都有成立，那么称函数为理想函数。 1假设函数为理想函数，求的值； 2判断函数是否为理想函数，并予以证明。思路分析：1取可得。由此可求出f0的值。2在0，1满足条件； 也满足条件。假设，满足条件，收此知故gx理想函数。解题过程：1取可得。 又由条件，故。 2显然在0，1满足条件； 也满足条件。假设，那么 ，

4、即满足条件， 故为理想函数。 解题后反思：要证明函数满足三个条件，得紧扣定义，逐个验证。知识点二：分析法例2 ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：思路分析：此题的关键是将等价转换，以及三个内角A、B、C成等差数列的应用。解题过程：证明：要证， 需证。 即证。 需证，需证 ABC三个内角A、B、C成等差数列。B60°。 由余弦定理，有，即。 成立，命题得证。解题后反思：注意分析法的书写“格式是“要证只需证，而不是“因为所以知识点三：反证法例3 ，求证：不能同时大于。思路分析：求证：不能同时大于，可用反证法假设可以同时大于，让三个等式左边右边分别相乘得到，根据可以判断错误，故假设

5、不成立，即得证。解题过程：证法一：假设三式同时大于，即，三式同向相乘得，又，同理，这与假设矛盾，故原命题得证。证法二：假设三式同时大于，同理三式相加得，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题得证。解题后反思：“不能同时大于包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。即正难那么反：1当遇到否认性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法。2用反证法的步骤是：否认结论；而不合理；因此结论不能否认，原结论成立。反证法属于“间接证明法，是从反面角度考虑问题的证明方法，即：肯定题设而否认结论，从而导出矛盾推理。反证法就是从否认命题的结论入手，并把对命题结论的否认作为推理的条件，进展正确的逻辑推理，

6、使之得到与条件、公理、定理、法那么或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。知识点四：综合法、分析法综合应用例4 设，为正实数，求证：。思路分析：由想到可应用不等式。解题过程：因为为正实数，由平均不等式可得，即 ，所以，而，所以。解题后反思：综合法是从到未知的逻辑推理方法，即从题设中的条件或从已证的命题出发，经过一系列的推理，最后导出要证的结论。证明不等式常用的性质有，等，但应用这些不等式证明时，要注意不等式应用的范围和“获得的充要条件。例5 如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于、两点。1求抛物线的焦点F的坐标及准线

7、l的方程；2假设为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值。思路分析：使用常规思路，即可以采用综合法解决问题。解题过程：1抛物线的标准方程为，那么焦点的坐标为2，0，准线l的方程为。2证明：如图，作，垂足为、，那么由抛物线的定义知，记、的横坐标分别为，那么解得类似地，解得。记直线与的交点为，那么，所以。故。解题后反思：此题是应用综合法解决解析几何问题，掌握综合法证明的根本方法是“由因导果，即由条件出发，顺着推证，逐步推出求证的结论，综合法的特点是表述简单，条理明晰，它常用的是“，或“因为，所以，或“等表述方法。天津高考对实数与，定义新运算“： 设函数假设函数的图象与轴恰有两个公

8、共点，那么实数的取值范围是 A. B. C. D. 解题思路：在新定义下给出分段函数，利用数形结合求出参数C的取值范围。解答过程： 那么的图象如图的图象与轴恰有两个公共点，与的图象恰有两个公共点，由图象知，或。解题后反思：新定义问题考察的是即时反响才能，数形结合能使问题形象化。1. 分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢。2. 综合法的特点是：从看可知，逐步推出未知。3. 分析法和综合法各有优缺点：分析法考虑起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，表达较繁；综合法从条件推出结论，能较简捷地解决问题，但不便于考虑，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探究证明的思路，然后再用综合法表达出来。4. 对证明的考察往往会结合函数、数列、解析几何、导数等知识，既要掌握根本