深度思维训练讨论题22a数项级数

1、品味数学（观察、发现，试探，整理，品味），提高思维讨论题221、证明：级数收敛，并求其和。证 用定义，设级数的前项和为由于故题设级数收敛，其和为1+、利用定义证明下列级数收敛，并求和。（1）；（2）（1）；（2）2、设是两个任意常数，试研究级数的敛散性解 设原级数的前项和为，令，于是又所以当时，原级数收敛；当时，不存在，原级数发散。3、判别下列级数的敛散性：（1）；（2）解 （1）因为不存在，故发散；（2）因为，于是，故级数发散4、判断级数的敛散性解 因为又，所以由比较判别法的极限形式可知，当时原级数收敛；当时原级数发散。5、判断级数的敛散性解 因为，由比值判别法，当时级数收敛，当时级数发散。

2、当时，比值法失效，但由于，由此可知，从而，故级数也发散。6、判断级数的敛散性解法1 因为，又发散，故由比较判别法的极限形式可知，原级数发散。解法2 因为，由比较判别法可知，原级数发散。7、判别级数的敛散性解法1 因为，又，所以收敛，由比较判别法知，原级数收敛解法2 由于，又从而，由根值审敛法可知，原级数收敛。8、判别下列级数的敛散性：（1）；（2）解 （1）因为 当时，又，所以由根值法收敛，进而由比较判别法知，原级数收敛；（2）因为，又，所以由根值法收敛，进而由比较判别法知，原级数收敛。9、判别下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；解 （1

3、），因为，由根值判别法收敛，故原级数绝对收敛；（2），因为，故由根值判别法当时原级数绝对收敛；当时原级数发散；当时原级数为，发散；当时原级数为，条件收敛；（3）当时，因发散，从而也发散，即原级数非绝对收敛。因为，考虑用莱布尼茨判别法检验是否条件收敛。，再设，当时，为单调下降函数，从而当时，为单调递减数列，从而满足莱布尼茨判别法的两个条件，所原级数收敛且为条件收敛；（4）因为，而发散，故也发撒，即原级数非绝对收敛；又，而条件收敛，发散，因此，由级数的基本性质知原级数发散。（5）因为，而发散，故也发撒，即原级数非绝对收敛；虽然原级数不满足莱布尼茨判别法的第二个条件，但是单调递减的数列，又，故有下界

4、，从而有极限，设，又，从而，故，有收敛的定义知原级数收敛，综合可知该级数是条件收敛的。10、设级数和皆收敛，且。证明级数也收敛。证 令，则和皆为正项级数，因，由已知收敛。因为，由正项级数的比较判别法知收敛，在由，从而级数也收敛。11、设，且收敛，则当时绝对收敛。证 因为，且，又当时收敛，从而收敛，故当时绝对收敛。12、证明 证 对于级数，因为从而由必值法正项级数收敛，再由级数收敛的必要条件，得13、设有方程，其中为正整数。证明此方程存在唯一正实根，并证明当时，级数收敛。证 记，则其在上连续，且，由零点定理知存在，使；又因为在上，从而在上单调增加，故知此方程存在唯一正实根。由于，即，故当时，由于

5、级数收敛，所以由正项级数的比较判别法，得当时，级数收敛。14、证明：若两正项级数和均收敛，则和都收敛证 由已知，从而对，存在正整数，当时，由正项性知，于是，从而由比较判别法都收敛，进而由级数性质知都收敛。再由和比较判别法知收敛，因为和级数性质知收敛。14+、设正项级数收敛，证明：和均收敛15、设，利用泰勒公式估计无穷小量的阶，并判别级数的收敛性解 从而无穷小量是的阶，由级数的收敛性与比较判别法的极限形式，得其收敛。16、当为何值时收敛。解 由级数的收敛性与比较判别法的极限形式，得其收敛的必要条件是17、已知，证明级数收敛，并求和。证 其前项和由于，从而，易知，当时均有，从而，18、设，证明：若

6、收敛，则收敛，；若发散，则发散证 由已知，由正项级数的比较判别法，可得若收敛，则收敛，；若发散，则发散19、判断下列各命题题的对错。1) 若收敛，则也收敛。（错）2) 若级数发散，则。（错）3) 若与均发散，则必发散。（对）4) 若与均条件收敛，则必条件收敛。（错）5) 若收敛，则必收敛。（错）6) 若，则收敛。（对）7) 若收敛，又，则也收敛。（错）8) 若收敛，则。（错）9) 收敛的充要条件是其部分和数列有界。（错）10) 若收敛，则。（错）11) 设收敛，则收敛。（对）12) 设发散，则发散。（错）13) 设为正项级数，若存在非零常数，使得，则级数发散。（对）14) 设正项级数收敛，则。（错