泰勒级数及其应用毕业论文

1、目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11 泰勒公式11.1泰勒公式定义11.1.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式11.1.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式21.1.3带有积分型余项的泰勒公式21.2函数的泰勒公式展开21.2.1函数的泰勒展开式21.2.2可展条件31.3常见函数的展开式42泰勒公式的应用42.1利用泰勒公式求极限42.2利用泰勒公式证明不等式52.3利用泰勒公式判断级数敛散性52.4利用泰勒公式证明根的唯一存在性62.5利用泰勒公式求函数极值72.6利用泰勒公式近似计算82.7利用泰勒公式计算定积分82.8利用泰勒公式求行列式的值92.9泰勒公式在经济上的

2、应用10结束语11致谢11参考文献11泰勒公式及其应用 Taylor Formula and Its ApplicationsStudent majoring in mathematics and applied mathematics Abstract：In this paper, we introduce the Taylor formula and the expansion of several common functions, and we apply Taylor's formula to limit of function, the proof of inequalit

3、y, determining method of convergence and divergence for series, the proof of existence and uniqueness of root, the method of solving extreme, the method of solving approximate calculation, the method of solving definite integration and the value of determinant, the tool of solving the problem of eco

4、nomy.Key words: Taylor formula; limit; convergence; approximate calculation 引言 泰勒公式是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用.泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了希望并且很多都成了现实，所以我们有必要很好的掌握这一公式.1 泰勒公式1.1 泰勒公式定义1.1.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式如果函数在点的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点,有当时, 上式称为（带有佩亚诺

5、型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式.即,=x.1.1.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式如果函数在点 的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点, 有(介于与之间).当时, 上式称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式.即.1.1.3 带有积分型余项的泰勒公式泰勒定理： 若函数在点的邻域内有连续的阶导数，则，有其中 称为积分型余项. 1.2 函数的泰勒公式展开1.2.1 函数的泰勒展开式： 若在点的某邻域内函数的Taylor级数（Taylor公式仅有有限项时）用多项式逼近函数. 项数无限增多时，得 ，称此级数为函数在点的Taylor级数. 只要函数在点无限次可导，就

6、可写出其Taylor级数. 称=时的Taylor级数为Maclaurin 即级数收敛且和恰为 则称函数在点可展开成Taylor级数 称此时的Taylor级数为函数在点的Taylor展开式或幂级数展开式. 简称函数在点可展为幂级数. 当=0 时，称Taylor展开式为Maclaurin展开式.1.2.2 可展条件：定理(必要条件) 若函数在点可展，则必有在点有任意阶导数.定理(充要条件) 设函数在点有任意阶导数, 则在区间内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是：对，有. 其中是Taylor公式中的余项.定理(充分条件) 设函数在点有任意阶导数，且导函数所成函数列一致有界，则函数可展.例1

7、.1 展开函数，(1) 按幂；(2) 按幂.解： ， ， ； ， ， ；， ， ；， ， ；.所以， (1) .可见，的多项式的Maclaurin展开式就是其本身. (2) .常见函数的展开式. . .2 泰勒公式的应用2.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可以用某项的泰勒展开式代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出.例2.1 求极限.分析：此为型极限，若用罗比达法则很麻烦，这时可将和分别用其泰勒展开式代替，则可以简化此比式.解：由,得于是=.由泰勒公式计算的实质是用等价无穷小来计算极限，我们知道，当时，等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展

8、开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们所熟悉的等价无穷小结合，问题又能进一步简化.2.2 利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法. 下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例2.2 设在二次可导，而且，试求存在，使.证： 由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在内存在，使，由费马定理知，.又 （介于与之间），由于，令和，有,所以，.当时，而当时，可见与中必有一个大于或等于8. 2.3 利用泰勒公式判断级数敛散性当级数的通项表

9、达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则.例2.3 讨论级数的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到，若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应，会使判敛容易进行.解：因为,所以,所以,故该级数是正项级数.又因为,所以.因为收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.2.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例2.4 设在上二阶可导，且,对.证明：在内存在唯一实根.分析：这里是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设在上二阶可导且,可考虑将在点展开一阶泰勒公式,然后设法

10、应用介值定理证明.证明：因为,所以单调减少,又,因此时,故在上严格单调减少.在点展开一阶泰勒公式有.由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实根.2.5 利用泰勒公式求函数的极值例2.5 设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.(i)若,则在取得极大值.(ii) 若,则在取得极小值.证明： 由条件，可得在处的二阶泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(*)式取负值,从而对任意有,即在取得极大值. 同样对,可得在取得极小值.2.6 利用泰勒公式近似计算根据泰勒展开式的余项可以具

11、体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数 所产生的误差.由拉格朗日型余项，如果 为一定数，则其余项不会超过. 由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差.例 2.6 求的近似值，使误差不超过0.0001.解：设，将其在=0处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式,其中 (在0和之间)，令，则.要使,则取 即可.此时0.20.02 +0.002670.00040 +0.00006=0.1823，其误差.2.7 利用泰勒公式计算定积分例 2.7 计算 .解：设，则，由公式有.例 2.8 计算.解：.例 2.9 计算， .解：设，则, .2.8 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看作的函数（一般是的次多项

12、式），记作，按泰勒公式在某处展开，用这一方法可求得一些行列式的值.例2.10 求阶行列式 （1）解：记，按泰勒公式在处展开：, （2）易知 （3）由（3）得, 时都成立. 根据行列式求导的规则，有于是在处的各阶导数为, , , .把以上各导数代入（2）式中，有若，有.若，有.2.9 泰勒公式在经济学中的应用我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺的，在这里将以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题.例2.11 完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC=，假设产品的价格为66元，求：（1）由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？解：（1）由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发生亏损仍需要根据P=MC所