热传导方程的初值问题

1、§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy问题) （2.1）偏导数的多种记号.问题(2.1)也可记为.2.1 Fourier变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier变换的基本知识.Fourier变换在许多学科中是重要使用工具.可积函数,设是定义在上的函数, 且对任意，在上可积，若积分收敛,则称在上绝对可积。将上绝对可积函数形成的集合记为或，即 ，称为可积函数空间.连续函数空间: 上全体连续函数构成的集合,记为,，。定义2.1 若,那么积分 (2.2)有意义,称为Fourier变换, 称为的Fourier变式(或

2、Fourier变换的象).定理2.1 (Fourier积分定理)若,那么我们有 (2.3)公式(2.3)称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy主值.通常将由积分所定义的变换称为Fourier逆变换.因此(2.3)亦可写成即一个属于的函数作了一次Fourier变换以后,再接着作一次Fourier逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把称为的频谱.Fourier变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理2.1的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<

3、数学物理方程讲义>>)定理2.2 设，则是有界连续函数,且在运用Fourier变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier变换的性质.Fourier变换的性质：1.（线性性质）若则2.（微商性质）若则证明 由假设故,事实上由,则,因为,故有又因,必有.由,利用分部积分公式附注 这个性质说明微商运算经Fourier变换转化为乘积运算,因此利用Fourier变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier变换成为解微分方程的重要工具.3.（乘多项式）若则有.证明 由于,故是的连续可微函数,且有附注 作为性质2,3的推论,若则

4、若则4（平移性质）若则证明5.（伸缩性质）若则证明 无妨设由定义6.（对称性质）若则 证明7.（卷积定理）若称为与的卷积,则,且有证明 由积分交换次序定理故,又由积分交换次序定理下面作为例子,我们根据Fourier变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier变换.例1 设 ,(其中常数).求.解 由定义.例2 设,求.例3 设求.例4 设求 ，上面最后一个等式应用了性质3. 因为作为的函数适合下面常微分方程初值问题：,解之得.例5 设（）,求.由性质5.例6 ().,于是,因为,所以.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier变换的基本知识定义2.2 设那么积分,有意义,称为的Fourie

5、r变换,称为的Fourier变式.定理2.2（反演公式）若,则有.称为的Fourier逆变换.定理2.2表明容易证明关于一维Fourier变换的性质17对于多维Fourier变换依然成立.根据上面Fourier变换的定义,我们还有下面的结论：8. 若其中则有 （2.5）利用这一性质,我们可求出函数的Fourier变式.事实上,.2.2 Poisson公式在这一小节中我们应用Fourier变换解初值问题 （2.6）在方程（2.6）两边关于变量作Fourier变换, ,利用性质1和性质2,得到其中 ,.解之得,现在对上式两边求反演,由反演公式,得 （2.7）由取则,即,令,从而有 （2.8）同理我

6、们有 （2.9）于是得在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解.定理2.3 若,且有界,则在上连续,且在上具有任意阶的连续偏导数，是问题的解, 即满足方程和.特别说明：当连续,是某些无界函数时,的表达式亦是解（无界时，也可以是解）.例1 求解解 1、直接观察是解.2、, .例2求初值问题的解.例3求初值问题的解.解1 直接观察 2. 从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.定理 设在上连续且有界，在上连续且有界，令 ，其中常数，则有；问题的解。证明 由于，利用控制收敛定理，得； ；，显然成立，结论得证。定理 假设函数，关于都是解析的，则问题的解

7、可以写成其中和分别是和关于的阶导数。证明：。例 求解定解问题其中是常数。解 方法一：； 方法二：。解的性质与物理解释（对齐次方程1.（奇偶性与周期性）若是奇（偶,周期为的）函数,则解亦是的奇（偶,周期为的）函数.2.（无限传播速度）如果杆的初始温度只在小段上不为零,不妨假设,即,其它处.那么当,杆上各点的温度也就是说在顷刻之间,热量就传递到杆上的任意一点,当然在附近的点所受到的影响较大（来定）,而离较远的点受到的影响较小.这与我们知道的物理现象一致.初值问题解的渐近性态讨论当时,热传导方程初值问题解的渐近性态.由前面的讨论可知,当为有界连续函数时,热传导方程的初值问题的解的唯一性,由下列Possion积分给出.为了讨论解的渐近性态,还需要对加进一步的条件.如果收敛,则称并记.定理2.4设是有界连续函数,且则